把 3 个黑球和 21 个白球平均分在 4 个桶里，求 3 个黑球分在同一个桶里的概率

波斯猫猫

把3个黑球和21个白球平均分在4个桶里，求3个黑球分在一个桶里的概率。
（1）黑球、白球和桶各完全相同；
（2）黑球和白球各完全相同，桶有编号；
（3）黑球、白球和桶都各有编号。

Ysu2008

21个白球好像不用管，就考虑3黑装4桶。

luyuanhong

题  把 3 个黑球和 21 个白球平均分在 4 个桶里，求 3 个黑球分在同一个桶里的概率。

解  设想每一个桶里都有 6 个格子，每个格子放一个球。

    4 个桶共有 24 个格子，在这 24 个格子中，任选 3 个格子放黑球，其余格子放白球，

共有 C(24,3) = 24×23×22/3! = 2024 种不同的情形。

   要使得 3 个黑球分在同一个桶里，可以先选定一个桶，有 4 种选法，然后在这个桶里

的 6 个格子中选 3 个格子放黑球，有 C(6,3) = 6×5×4/3! = 20 种选法。总之，3 个

黑球分在同一个桶里，共有 4×20 = 80 种不同的情形。

   所以，3 个黑球分在同一个桶里的概率为 80/2024 = 10/253 。


注  在现实生活中，其实任何一个宏观物体都是可区别的，只要仔细观察，深入到最细微处，

就会发现，世界上并不存在两个完全一模一样的宏观物体。所以，我们解一个实际概率问题时，

从原则上来说，问题中出现的任何宏观物体，都应该认为是可区别的，是有编号的。有时候，

为了解题方便，我们也可以假设概率问题中出现的物体是完全相同、无区别、无编号的。但是，

在这样的假设下求出的概率，应该与在认为物体有区别、有编号的情况下求出的概率是一样的。

如果两者不一样，我们就应该放弃假设，只能接受在物体有区别、有编号的情况下求出的概率。

    在本题中，我们必须认为 4 个桶是可区别、有编号的。因为，如果假设 4 个桶是无区别的，

算出的概率，就会与认为 4 个桶可区别情况下求出的概率不一样，就会出错。后面计算放球的

方法数时，我们假设黑球都是相同的无区别的，白球也都是相同的无区别的，这是为了简化计算。

其实，不简化也是可以的，可以认为 3 个黑球、21 个白球都是有区别的，计算总的情形数时，

就要再乘以黑球、白球的排列数 3!×21! ，计算 3 个黑球在同一个桶里的情形数时，也要乘以

黑球、白球的排列数 3!×21! ，但是，最后计算概率时，这两个乘上去的排列数会互相约掉，所以，

算出来的概率，与认为黑球、白球无区别、无编号时，算出来的概率，其实是一样的。也正因为如此，

说明我们假设黑球、白球无区别、无编号，在简化的情形下作概率计算，是完全可以的。

波斯猫猫

昨天中午转路，某君口述在网上得一题，称黑球、白球和桶都没有区别，大家众说纷纭，答案很不一致，于是就有了上面楼主所述的题。今天下午，有人证实，说是某地今年考公务员的试题中的一个题，并且已找不到原题了。楼主昨天的答案是C（4,1）C（21,3）C（18,6）C（12,6）C（6,6）/C（24,6）C（18,6）C（12,6）C（6,6）。

luyuanhong

C（4,1）C（21,3）C（18,6）C（12,6）C（6,6）/C（24,6）C（18,6）C（12,6）C（6,6）= 10/253 。

楼上的解题思路，可能与我不同，但是最后的答案，与第 2 楼中我的答案是一样的。

波斯猫猫

思路不同，殊途同归。谢谢！