一道基础数学难题,不会证明,算几个数 n = (a^2+b) / (a+b^2)

dlpangong

我看到了一些证明，好像并不理想，
继续分析数据的美妙之处
等待有人说：我证明了，或说：某人证明了

dlpangong

最近在数学研发论坛学习了此题的mathe的证明，
重复了全部证明过程，并且进行了验算，确认已经此题已证明
下面给出一个快速计算求解方法
快速求 n = (a^2+b) / (a+b^2)的基本解和其它多组解的方法
(见过 x^2-dy^2=k的解的递推公式，现在找不到了，哪位可告知？
利用递推公式更快)
n>1 并且不是平方数的情况 ：对于给定 n，有无穷组解（a,b）
求解基本解快熟的方法：
设 不定方程 nA^-B^2=n^3-1的解（A，B）
已知 基本解（A1=n,B1=1）
求得其其它解（Ai，Bi），
判断 满足
(（Ai+n) % 2) && ( (Bi+1) % (2*n)) 则 可计算得(a,b)
依次的基本解和其它解
下面给出 n=2 ,n=333 的结果：
参见 wayne 32#数据
cnt：    (A，B)的序号
found： （a,b）的序号, =1是基本解

给定n,求解(A,B)各解
(搜B算A)

n=   2 ,cnt=   1 ,A=       2 ,B=       1 :
n=   2 ,cnt=   2 ,A=       4 ,B=       5 :
n=   2 ,cnt=   3 ,A=       8 ,B=      11 : found=   1 ,a=   5 ,b=   3  基本解
n=   2 ,cnt=   4 ,A=      22 ,B=      31 : found=   2 ,a=  12 ,b=   8  
n=   2 ,cnt=   5 ,A=      46 ,B=      65 :
n=   2 ,cnt=   6 ,A=     128 ,B=     181 :
n=   2 ,cnt=   7 ,A=     268 ,B=     379 : found=   3 ,a= 135 ,b=  95  
n=   2 ,cnt=   8 ,A=     746 ,B=    1055 : found=   4 ,a= 374 ,b= 264  
n=   2 ,cnt=   9 ,A=    1562 ,B=    2209 :
n=   2 ,cnt=  10 ,A=    4348 ,B=    6149 :
n=   2 ,cnt=  11 ,A=    9104 ,B=   12875 : found=   5 ,a=4553 ,b=3219  
n=   2 ,cnt=  12 ,A=   25342 ,B=   35839 : found=   6 ,a=12672 ,b=8960  
n=   2 ,cnt=  13 ,A=   53062 ,B=   75041 :
n=   2 ,cnt=  14 ,A=  147704 ,B=  208885 :
n=   2 ,cnt=  15 ,A=  309268 ,B=  437371 : found=   7 ,a=154635 ,b=109343  
n=   2 ,cnt=  16 ,A=  860882 ,B= 1217471 : found=   8 ,a=430442 ,b=304368  
n=   2 ,cnt=  17 ,A= 1802546 ,B= 2549185 :
n=   2 ,cnt=  18 ,A= 5017588 ,B= 7095941 :
n=   2 ,cnt=  19 ,A=10506008 ,B=14857739 : found=   9 ,a=5253005 ,b=3714435  
n=   2 ,cnt=  20 ,A=29244646 ,B=41358175 : found=  10 ,a=14622324 ,b=10339544  
n=   2 ,cnt=  21 ,A=61233502 ,B=86597249 :


n= 333 ,cnt=   1 ,A=     333 ,B=       1 :
n= 333 ,cnt=   2 ,A=     335 ,B=     667 :
n= 333 ,cnt=   3 ,A=     547 ,B=    7919 :
n= 333 ,cnt=   4 ,A=     598 ,B=    9064 :
n= 333 ,cnt=   5 ,A=    7398 ,B=  134864 :
n= 333 ,cnt=   6 ,A=    8255 ,B=  150517 :
n= 333 ,cnt=   7 ,A=   21787 ,B=  397529 :
n= 333 ,cnt=   8 ,A=   24305 ,B=  443483 :
n= 333 ,cnt=   9 ,A=   24313 ,B=  443629 :
n= 333 ,cnt=  10 ,A=   27123 ,B=  494911 :
n= 333 ,cnt=  11 ,A=   71607 ,B= 1306691 : found=   1 ,a=35970 ,b=1962 基本解
n= 333 ,cnt=  12 ,A=   79910 ,B= 1458208 :
n= 333 ,cnt=  13 ,A= 1079510 ,B=19699208 :
n= 333 ,cnt=  14 ,A= 1204683 ,B=21983401 :
n= 333 ,cnt=  15 ,A= 3180567 ,B=58039901 : found=   2 ,a=1590450 ,b=87147  
n= 333 ,cnt=  16 ,A= 3548197 ,B=64748519 : found=   3 ,a=1774265 ,b=97220  
n= 333 ,cnt=  17 ,A= 3549365 ,B=64769833 :
n= 333 ,cnt=  18 ,A= 3959623 ,B=72256339 :

dlpangong

求 x^2-dY^2=k的解的递推公式
其中d>0,不是平方数，k>0