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一个六位数,其中每个数字 n 都恰好出现 n 次,这样的六位数共有几个?

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发表于 2018-8-15 09:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子,

欢迎大家一起来想想如何解答:


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 楼主| 发表于 2018-8-15 11:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 luyuanhong 于 2018-8-15 11:13 编辑

一个六位数,其中每个数字 n 都恰好出现 n 次,这样的六位数共有几个?

  符合题目要求的六位数,可分为下列四类:

(一)6 个“6”。只有 1 种。

(二)5 个“5”,1 个“1”。在 6 个位置中取 1 个位置放“1”,有 6 种取法。

(三)4 个“4”,2 个“2”。在 6 个位置中取 2 个位置放“2”,有 C(6,2) 种取法。

(四)3 个“3”,2 个“2”,1 个“1”。先在 6 个位置中取 1 个位置放“1”,有 6

种取法,再在剩下 5 个位置中取 2 个位置放“2”,有 C(5,2) 种取法。

    综合以上分析,可知这样的六位数共有

             1+6+C(6,2)+6 C(5,2)=1+6+15+6×10=82 个。
发表于 2018-8-16 11:04 | 显示全部楼层
本帖最后由 drc2000再来 于 2018-8-16 11:05 编辑

陆教授,“自我描述数”的个数是否有限?
若是有限个,个数为多少?
 楼主| 发表于 2018-8-16 11:36 | 显示全部楼层
drc2000再来 发表于 2018-8-16 11:04
陆教授,“自我描述数”的个数是否有限?
若是有限个,个数为多少?

“自我描述数” 可以有许许多多,但数量还是有限的,因为最大只能是

   999999999888888887777777666666555554444333221 。

至于总共有多少个,你若有兴趣可以自己计算,我估计是一个极其庞大的数字。
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