什么是坎泊链、坎泊链法和坎泊构形？

雷明85639720

什么是坎泊链、坎泊链法和坎泊构形？
雷  明
（二○一八年八月六日）

在证明四色猜测时，经常要用到坎泊链、坎泊链法和坎泊构形的术语。究竟什么是坎泊链？什么是坎泊链法？什么是坎泊构形？我的理解是这样的，与四色爱好者朋友们共同商讨。
1、什么是色链：
这里所说的链，就是指色链。由两种颜色交替着色的顶点所构成的序列，这就是色链。也就是我们平常所说的链。
按上面对链的定义，在由A、B、C、D四种颜色着色的图中，最多只可能有A—B、A—C，A—D，B—C、B—D，C—D六种色链。这六种链正好是A—B和C—D，A—C和B—D以及A—D和B—C三对相反色链，即两条相反链中的颜色完全不同。
而在5—轮构形中，按5—轮轮沿顶点的相邻关系，这六种色链又可分为对角链和邻角链。如5—轮的轮沿顶点顺时针转时，若顶点1、2、3、4、5分别着色为B、A、B、D、C，其对角链就是经过2A和5C的A—C链、经过2A和4D的A—D链、经过3B和5C的B—C链、经过1B和4D的B—D链四种；而邻角链则是经过1B、2A和3B的A—B链，经过5C和4D的C—D链，经过1B和5C的B—C链，经过3B和4D的B—D链四种。
2、什么是交换：
在给图顶点着色时，只要两对角顶点颜色所构成的对角链是连通的，两对角顶点又都与待着色顶点V相邻，这就构成了一个环，该环把其相反色链分成了环内、环外互不连通的两部分，交换了环内、环外的任一部分相反链，都可以使轮构形的轮沿顶点的颜色由四种变成三种，空出一种颜色给待着色顶点着上。这就是色链颜色的交换，简称交换。
坎泊在证明四色猜测时，用以上的方法证明了4—轮构形都是可4—着色的，即可约的。但在证明5—轮构形时，却只证明了连通的A—C链和A—D链没有交叉顶点的情况，而没有看到两链还有可能交叉的另一种情况。当5—轮构形中存在连通的A—B链和A—D链，但两链又不交叉时，可以从1B交换B—D链，再从3B交换B—C链，或者先从3B交换B—C链，再从1B交换B—D链，都可以连续移去两个同色B，使5—轮的5个轮沿顶点的颜色由四种变成三种，空出一种颜色B给待着色顶点V着上。
但当5—轮构形中的连通的A—B链和A—D链还有交叉顶点时，上述交换办法是不能空出颜色给待着色顶点的。原因是在先从1B交换了B—D链后，虽然移去一个B，却又产生了从3B到5C的连通的B—C链，就不可能再从3B交换B—C后而移去另一个B。同样的道理，若先从3B交换了B—C链后，虽然也移去了一个B，却也又产生了从1B到4D的连通的B—D链，也就不可能再从1B交换B—D后而移去另一个B。这一类构形的代表就是赫渥特图。
3、什么是坎泊链，什么是坎泊链法：
由以上的分析我们可以得出：坎泊链主要指的是对角链。而坎泊链法主要指的是通过一次或最多两次对角链（坎泊链）的交换，就可以空出一种颜色给待着色顶点V着上的着色交换方法。当5—轮构形中的连通的A—C链和A—D链还有别的交叉顶点时，不可能最多两次交换就空出颜色给待着色顶点V，所以解决这一类构形的方法就不能再用坎泊链法了，而必须改用别的方法。
以前大家都说赫渥特图（构形）是一个反例图，但[分竟是谁的反例，还不明确，现在就可以对号入座了：从现在看，赫渥特图是可以4—着色的，所以它一定不是四色猜测的反例；其着色时，不能直接经两次对角链的交换而空出颜色给待着色顶点V着上，所以它只能坎泊链法的反例。
4、什么是坎泊构形（K—构形）：
从上以的分析可以看出，可以用坎泊链法解决的构形就是坎泊构形，即K—构形。而不能用坎泊链法解决的构形就是H—构形。我们在着色过程中还看到一种构形，其中虽也含有连通且交叉的A—C链和A—D链，但也可以通过两次坎泊链（对角链）的交换，空出颜色B给待着色顶点V着上。这样的构形我们把它也同样归入K—构形（坎泊构形）之列。
5、邻角链的交换：
5、1  断链交换：
解决H—构形的可约性问题，必须对H—构形进行分类，找其不可免集。我把H—构形分为三类：即A、B、C三类。因为在H—构形中，A—C，A—D链是连通的，不能交换；B—C链和B—D链又不可能同时交换；那么剩下的就只能交换A—B链和C—D链了。按A—B链和C—D链的关系，把H—构形分为：有经过5—轮1B、2A和3B三个轮沿顶点的A—B环形链的构形是A类构形；有经过5—轮4D和5C两个轮沿顶点的C—D环形链的构形是B类构形，没有以上任何环形链的构形是C类构形。
解决A类和B类构形的方法分别是交换5—轮轮沿顶点的、并与环形链呈相反色链的邻角链，就可以使H—构形中的连通且交叉的A—C链和A—D链断开，成为K—构形而可约。由于这种交换能使图中连通且交叉的两链断开，所以我就把这种交换叫做断链交换。
5、2  转型交换：
解决C类构形时，5—轮的轮沿顶点的两对邻角链A—B和C—D也成了不可交换的了，因为它他都各是一条直链，交换了也没有用处。这时，也只有交换一个关于B的链，先移去一个B，使构形转型，再对转型后的H—构形进行研究、解决。
因为H—构形中5—轮轮沿有两个B色顶点，所以转型交换就有两种方法。从顶点1交换B—D链时，叫逆时针转形；从顶点3交换B—C链时，叫顺时针转型。不论是那一种转型交换，对于C类构形，转型后的图都有两种可能的构形：
一是转型后成为可连续移去两个同色D或C的DCD型或CDC型的K—构形，再对两个同色的对角链交换两次，一次移去一个同色，共三次交换就可解决问题；二是转型后成为DCD型或CDC型的、只有经过5—轮两个轮沿顶点的A—B环形链的B类H—构形，再交换经过5—轮轮沿顶点的C—D邻角链，也可使连通且交叉的两链断链，构形变成K—构形而可约，再进行一次对角链的交换，即可空出颜色来，也是共计交换了三次就解决问题。由于这种交换能使构形转型，所以我把这种交换叫做转型交换。
5、3  以上解决C类构形的方法只是在构形是不对称情况下的解决办法，但当构形是有一条以A—B链为对称轴的构形时，则要多进行两次转型交换，把对称的构形变成非对称的C类构形再进行解决，总共需要五次交换。把这一种情况列为D类也是可以的。
5、4  有一种情况是以上的A—B环形链和C—D环形链同时存在的构形，这种构形既可以是A类构形，也可以是B类构形，既用解决A类的办法可以解决，也用解决B类的办法可以解决。
5、5  H—构形除了以上的几种情况以外，再也没有其他的情况了，所以我的这个H—构形的不可免集是完全的。该不可免集中的每一个构形都是可约的，所以四色猜测是正确的。

雷  明
二○一八年八月六日于长安

注：此文已于二○一八年八月六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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雷明85639720

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wangyangke

雷明85639720说得对：wangyangke ，你真无耻！