立交桥布局中的曲线之美 (下)

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立交桥布局中的曲线之美 (下)

作者：蒋迅

4.  涡轮型立交桥

第三种立交桥叫涡轮型（Turbine）。也有人把它称为涡流型（whirlpool）。这是环状型立交桥的一个变形，在山区等地形复杂的地方往往有用武之地。比起苜蓿叶型，它少了一些交错，比起环状型，它又少了一些起伏，所以是道路设计者的一个理想的选择。最漂亮的例子大概是在美国佛罗里达州的洲际公路I-295上的一个涡轮型立交桥（见图7(b)），其对称性近乎完美。

  
图7.(a) 涡轮型立交桥的布局。  (b) 佛罗里达州的一个涡轮型立交桥。

为了帮助读者理解这种立交桥的名字的来源，我们特地找了一个涡轮机叶片的例子和一个水的涡流的例子（图8）。

  
图8.(a) 涡轮机的叶片。(b) 水的涡流。

数学上最接近于这种类型立交桥的曲线应该是螺线了。螺线的种类有很多，比如阿基米德螺线、等角螺线（对数螺线）、双曲螺线、费马螺线、欧拉螺线、对数螺线等等。用哪种螺线来与此类交汇相比都不为过。下面我们用斐波那契螺线（Fibonacci spiral）来展示。欧拉螺线也很有意思。我们希望有机会另文介绍。斐波那契螺线又叫做黄金螺线（golden spiral），是对数螺线的一个特殊情况。在极坐标系中，对数螺线的方程是

r=ae^(bθ) 或 θ=(1/b)ln(r/a) ，

其中 e 是自然对数的底，θ 是极角，r 是极半径，a 和 b 为螺线常数。常数 a 代表的是螺线初始时的半径，常数 b 代表的是增长因子。用参数方程，上述方程变为：

x(θ)=r(θ)cosθ=ae^(bθ)cosθ ，y(θ)=r(θ)sinθ=qe^(bθ) 。

斐波那契螺线就是让增长因子与黄金分割数 φ 挂上钩。具体地说就是当 θ=π/2（或者 -π/2）时，半径增加的倍数正好是 φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618。即：

｜b｜=lnφ/(π/2)≈0.3063489 。　

对数螺线是自然界中常见的螺线。对数螺线有许多漂亮的性质，比如对数螺线是自我相似的，经放大后可与原图完全相同；对数螺线之臂的距离以几何级数递增；对数螺线上任意一点与原点连线与其本身形成一个褂讪的角；等等。除此之外，斐波那契螺线还有一个特殊的性质：给任意四个共线的点  A, B, C, D，分别是当角度为 θ, θ+π, θ+2π, θ+3π 时对数螺线上的点。那么有交比等式：(A,D;B,C) = (A,D;C,B)。在所有对数螺线中，这个性质只在斐波那契螺线时成立。

用 desmos 和 Wolfram Mathematica 制作斐波那契螺线也很方便。下面分别是用这两个软件得到的四条有不同起始点的斐波那契螺线。


图9. 四个斐波那契螺线的叠加。

5.  风车型立交桥

风车型（windmill）立交桥类似于涡轮型立交桥，只是拐弯处比较急，使得它的效率比起涡轮型降低了很多。荷兰在1977年建设了这样一条高速交叉路口，这是它建成后的样子。后来这个路口被改造，已经变得非常复杂。

  
图10.(a) 风车型立交桥的布局。(b) 荷兰建成的一个风车型立交桥。

风车型这个名字显然来自于风车的形状。它的四个左转路很像是风车的四个叶片。下面是在奥地利雷茨市的一个古老的风车（图11(a)）。


图11.(a) 位于奥地利的一个风车。(b) 纸风车。

下面左图是用 desmos 制作的风车的图案。图案的方程是：

r=asin(3θ)cos(3θ)+bcos(2θ) ，a=4.5 ，b=10 。

建议读者在 desmos 上用不同的 a 和 b 的值来看看将会得到什么曲线。结果一定让你惊讶。

我们还可以从追踪曲线（pursuit curve）问题来得到类似风车的图案。追踪曲线是由追踪特定曲线轨迹一个或多个点所形成的曲线。追踪曲线中有类似被追踪者及追踪者的角色，追踪者形成的曲线即为追踪曲线。有一个特殊的追踪问题是说，在正方形的四个顶点上各有一个轨迹，每个点又是追踪相邻顶点轨迹的追?曲线，也被另一边的相邻顶点所追踪。这个问题又叫做“老鼠问题”（mice  problem）。这四条曲线就形成了我们这里考虑的风车。这个追踪曲线也可以用  做出来，不过比较复杂一点。下面的图12(b)就是在 desmos 上做来的。

   
图12.(a) 用三角函数画出的风车。(b) 追踪曲线（desmos ）。(c) 追踪曲线（Wolfram Mathematica ）

Wolfram有一个网页专门介绍这个问题。上面图12(c)是其效果图。

6.  环岛型立交桥

高速公路上环岛型（roundabout）立交桥是由三层道路组成：两个垂直的道路和一个在中间一层的匝道。主要干道上的交通不受管制。所有需要转弯的车辆都右转上匝道，然后真正需要右转的从第一个路口出去，需要左转的车辆从第三个路口出去。下面是荷兰的一个三层环岛型立交桥（图13(b)）。

  
图13.(a) 环岛型立交型的布局。(b) 荷兰的一个三层环岛型立交桥。

从数学上看，在所有类型的立交桥当中，最缺少数学曲线之美的就是环岛型立交桥了：它不过是一个直角坐标系加一个单位圆。为统一起见，我们也把它的方程列在这里。单位圆的极坐标方程为 r=1，直角坐标方程为 x^2+y^2=1，参数方程为

x(θ)=cosθ ，y(θ)=sinθ 。

如果觉得这个太不过瘾的话，我们也可以联想一下其他数学概念。在抽象代数里，直和（direct sum）一般是用符合⊕来表示。例如，假定 R 是实数空间，那么直和 R⊕R 就是 XY 平面 R^2。这个概念在抽象代数里发挥了重要作用。在数学形态学（Mathematical morphology）里，⊕是膨胀算子。另外，在天文学和占星学中，⊕代表地球。

7.  混合型立交桥

在实际的规划设计中，大量的立交桥是上面五种桥型的变异和混合。将苜蓿叶型和环状型结合起来就得到了环状苜蓿叶型（CloverStack）。它不但可以拥有环状型立交桥的优点，造价也相对便宜。在苜蓿叶型上增加集散道（cloverleaf  with collector/distributor  roads）就解决了主干道上车流受干扰的麻烦。也有一半涡轮型和一半环状型的混合型（Turbine-stack  hybrid），部分苜蓿叶型（Parclo），钻石型（Diamond），分道排球型（Divided  volleyball），U形转弯型（U-turns），等等。我们不再一一介绍。

   
图14. 各种混合型和改进型立交桥

近年来，由于收费的需要，还发展了双喇叭型（double-trumpet）立交。我们也略去不谈。

8.  立交桥和凯尔特结

所有的标准立交桥都有一个共同的特点：它们都具有多条交织的、畅通无阻的和具有一定对称性的曲线。在这一点上，立交桥很像凯尔特结（Celtic knot）。凯尔特结是一种由连续不断的缎带组成的结和程式化的图案，它们创造出精美复杂的曲线阵列（比如篮子编织结）。这些结被用于装饰基督教的纪念碑和文稿。凯尔特结作为凯尔特文化中的重要标志历来深受欧洲人的喜爱。

  
图15. 凯尔特结的两个例子。

上图的第二个凯尔特结是一位叫Xah Lee的写手上了颜色的，目的就是让人们可以清楚地看清结的走向。事实上，整个中间的十字架都是一条缎带。使用不同颜色是为了让读者看清路径，否则整条结都是一个颜色了。这这里，我们注意到凯尔特结的几何布局多样匀称和连续贯通。我们同样应该注意到凯尔特结的拓扑结构。总之，凯尔特结的这两个方面与高速公路的均匀性、对称性和连通性有着惊人的相似之处。对凯尔特结的数学性质研究似乎不多，但已经证明，凯尔特结和交错结（alternating  knot，即有交错的投影图）是等价的。

也许有读者会注意到，凯尔特结很多用在了十字架上，而这个结构与前面提到的环岛型立交桥很像。这的确是事实，而且专门有一个词就是凯尔特十字（Celtic cross），描述的就是这类凯尔特结。但不幸的是，凯尔特十字被一个已被禁止的新纳粹党所采用，故德国政府禁止这个标志的公众展示。其政治和公众上对此标志的禁止是为了防止纳粹主义的复苏。我们也只好在此回避把凯尔特十字与本文的主题联系起来。

9.  右转匝道的情况

以上的讨论都是关于左转的情况。右转的匝道一般都是钻石型的。在下面的图16(b)里，左转和右转都使用了钻石型，所以是全钻石型（full diamond）。


图16.(a) 钻石型立交型的布局。(b) 美国俄克拉荷马市的一个全钻石型立交桥。

这种钻石型的立交桥可以对应于数学上的星形线（astroid）。星形线的直角坐标方程是 x^(2/3)+y^(2/3)=a^(2/3)，极坐标方程是 r=a[(cosθ)^(2/3)+(sinθ)^2/3]^(3/2) ，参数方程是：

x(θ)=a(cost)^3=a(3cost+cos3t)/4 ，y(θ)=a(sint)^3=a(3sint-sin3t)/4 。

星形线是一个几何亏格为0的代数曲线的实数轨迹，其方程式为：(x^2+y^2-a^2)^3+27a^2 x^2 y^2=0。因此，星形线为六次曲线，在实数平面上有四个尖瓣的奇点，分别是星形线的四个顶点，在无限远处还有两个复数的尖瓣的奇点，四个重根的复数奇点，因此星形线共有十个奇点。

星形线是一个特殊的超椭圆（superellipse）。超椭圆是指满足方程

｜x/a｜^n +｜y/b｜^n = 1

的曲线，其中 n, a, b 都是正实数。显然，星形线就是当 a=b，n=2/3 时的一个特例。只要 0<n<1，超椭圆都有四个尖点。因此，它们都可以作为钻石型立交桥的数学化身。

我们最后来看看如何用 Wolfram Mathematica 得到这一族超椭圆。先令 a=b=1 ，r=1.1 ，然后做

ContourPlot[Evaluate[Table[Abs[x/a]^n+Abs[y/b]^n=
=1,{n,{5,3,2,1.5,.7,.5,.3}}]],{x,-r,r},{y,-r,r},ImageSize→500,PlotPoint→50,
PlotLegends→SwatchLegends[Automatic,{5,3,2,1.5,.7,.5,.3}]]

图17(b)是效果图。

  
图17.(a) 星形线。          (b) 超椭圆。

星形线还能被看作是一条有四个尖点的内摆线（hypocycloid）。内摆线也叫做圆内螺线。假设有一个定圆，若有另一个半径是此圆半径的 1/n + 1 倍的圆在其内部滚动，则圆周上的一定点在滚动时划出的轨迹就是一条内摆线（圆内螺线）。显然，内摆线是一类特殊的内旋轮线。我们在前面已经讨论过这类曲线。

10.       结束语

本文仅仅是以高速公路立交桥布局的不同特徵为线索介绍一些有意思的数学曲线，并着重演示了使用  和  作图的威力。当然，如果我们考虑更多的立交桥的类型，我们一定还会联系到更多漂亮的数学曲线。这个工作就留给读者吧。

本文发表在《数学文化》第9卷第2期上。

鸣谢：作者衷心感谢Wolfram中国布道师李想老师的大力支持！

drc2000再来

非常棒！谢谢楼主推荐这么美的文章。

brinicleii

体验到建筑之美