[watermark] 余新河数学问题的证明
一 关于余新河数学问题
1993年4月6日人民日报副刊载文“百万元巨奖征解余新河数学问题”(福建师范大学数学系1993年2月28日征解)，全文抄录如下：
近十几年来，我在研究哥德巴赫（Christain Goldbach）猜想的过程中推导出如下四组数列（每组两个，共八个数列）：A1和A2，B1和B2，C1和C2，D1和D2。详列如下：
数列A1 ：
N＝(31k+5)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(11k+3)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+7)/3 + (10k+3)P, (K=1,4,7,10,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+4)/3 + (10k+3)P, (K=2,5,8,11,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+28)/3 +(10k+9)P, (K=1,4,7,10,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+19)/3 +(10k+9)P, (K=2,5,8,11,……), (P＝0,1,2,3,……)
数列A1具体写出即为：6，8，12，13，19，20，21，23，25，27，29，……为了方便起见，我约定自然数列扣除其数列余下的数列称为该数列的对偶数列。数列A1的对偶数列A1';即为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，……
数列A2：
N＝(11k+4)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(31k+6)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+5)/3 + (10k+3)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+8)/3 + (10k+3)P, (K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+20)/3 +(10k+9)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+29)/3 +(10k+9)P, (K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
A2 即为：4，5，11，13，14，16，17，18，25，27，29，30，……
A2';即为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，……
数列B1：
N＝(13k+2)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(23k+3)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+21)/3 +(10k+7)P, (K=0,3,6,9,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+14)/3+(10k+7)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
B1 即为：5，7，11，14，16，18，21，24，27，28，30，……
B1';即为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，…
数列B2:
N＝(23k+4)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(13k+3)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+19)/3 + (10k+7)P, (K= 0,3,6,9,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+22)/3 + (10k+7)P, (K= 1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
B2 即为：5，9，12，14，17，19，20，24，26，27，……
B2';即为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，…
数列C1:
N＝(7k+2)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+10)+ (10k+3)P,(K= 1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+7)/3 + (10k+3)P,(K= 2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
C1 即为：3，10，13，14，15，17，18，24，25，26，……
C1';即为：1，2，4，5, 6，7, 8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29,……
数列C2:
N＝(17k+4)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+8)/3 + (10k+3)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+11)/3 + (10k+3)P,(K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
C2 即为：7，8，9，15，18，22，23，24，28，29,……
C2';即为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25，26，27，……
数列D1:
N＝(23k+7)/3 + (10k+3)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(13k+4)/3 + (10k+3)P,(K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+2)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+12)/3 + (10k+7)P,(K=0,3,6,9,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+5)/3 + (10k+7)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
D1 即为：4，7，10，11，18，21，23，25，26，29，30,……
D1';即为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，……
数列D2：
N＝(13k+5)/3 + (10k+3)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(23k+8)/3 + (10k+3)P,(K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+4)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+6)/3 + (10k+7)P,(K=0,3,6,9,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+13)/3 + (10k+7)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
D 2即为：2，6，9,10,11，16，18，19，20, 23，27，30，……
D2';即为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，……
在上述四组对偶数列（每组两个，共八个：A1';和A2';，B1';和B2';，C1';和C2';，D1';和D2';）中，很明显可以看出（但不是证明出）：不同组的所有两个数列的所有两数相加可得到除1以外的自然数列。此结论非常重要。由于我商务繁忙，尤其是我本人水平有限，故将此结论公布于众，请教各位学者！
香港 余新河
余新河数学题的证明
二 余新河数学题的基本性质
余新河数学问题四组数列计有40个代数解析关系式，对它们进行深入研究与认真分析后，我们发现余新河数学问题具有下列基本性质：
1. 余新河数学问题的结构特征
余新河数学问题的本质是多因素的无穷等差数列问题。
40个数列的通项公式的解析关系全部是由一个正整数的商式与另一个正整数的积式之和而构成，即代数式的运算关系只含一级与二级运算关系（＋与×、÷）。
2. 余新河数学问题运的初等性与封闭性
正整数的加法、乘法、除法四则运算系初等运算，其结果仍为正整数，即在自然数集合中封闭。
3. 余新河数学问题的八卦性质
所有分数式子的分母都是素数3，而分子的和式中k的系数相应为素数“7、13、19、31、11、17、23、29”与我们研究的八卦数论中的八卦素数完全一致，此八个素数是除掉三极素数“2、3、5”外其余素数的原子，可称之为八卦素数，它们相应又是八卦素合数系的首素。欲证明哥德巴赫猜想必须要依据十五偶数系与八卦素合数天然系存在的36个关系式。
八卦素合数系为：
{i+30n} (i=7、13、19、31、11、17、23、29 n属于N)
十五偶数系为：
{j+30n} (j=0,2,4,6,……,26,28 n属于N)
十五偶数系与八卦素合数系之间天然自在的36个关系式为：
1) ｛0+30n｝中的偶数
｛ 7+30n'; }并+｛23+30n';';｝真包含于｛0+30n｝，
｛13+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛0+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛0+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛0+30n｝； (n';、n';';、n属于N，下同)
* 符号 “并+”表示两数系中相应二数两两求和，下同。
2) ｛6+30n｝中的偶数
｛ 7+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛6+30n｝，
｛13+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛6+30n｝,
｛19+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛6+30n｝；
3）｛12+30n｝中的偶数
｛13+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛12+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛12+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛12+30n｝；
4) ｛18+30n｝中的偶数
｛ 7+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛18+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛18+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛18+30n｝；
5) ｛24+30n｝中的偶数
｛ 7+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛24+30n｝，
｛13+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛24+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛24+30n｝；
6) ｛2+30n｝中的偶数
｛19+30n';｝并+｛13+30n';';｝真包含于｛2+30n｝，2×｛31+30n';｝真包含于｛ 2+30n｝；
7) ｛8+30n｝中的偶数
｛7+30n';｝并+｛31+30n';';｝真包含于{8+30n｝，2×｛19+30n';｝真包含于｛8+30n｝；
8) ｛14+30n｝中的偶数
｛13+30n';｝并+｛31+30n';';｝｛14+30n｝， 2×｛7+30n';｝真包含于｛14+30n｝；
9) ｛20+30n｝中的偶数
｛7+30n'; ｝并+｛13+30n';';｝真包含于 ｛20+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛31+30n';';｝真包含于｛20+30n｝；
10) ｛26+30n｝中的偶数
｛7+30n';｝并+｛19+30n';';｝真包含于｛26+30 n｝， 2×｛13+30n';｝真包含于｛26+30n｝；
11) ｛4+30n｝中的偶数
｛11+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛4+30 n｝， 2×｛17+30n';｝真包含于｛4+30n｝；
12) ｛10+30 n｝中的偶数
｛11+30n';｝并+ ｛29+30n';';｝真包含于｛10+30n｝，
｛17+30n';｝并+ ｛23+30n';';｝真包含于｛10 +30n｝；
13) ｛16+30n｝中的偶数
｛17+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛16+30n｝，2×｛23+30n';｝真包含于｛16+30n｝；
14) ｛22+30n｝中的偶数
｛23+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛22+30n｝，2×｛11+30n';｝真包含于｛22+30n｝；
15 ｛28+30n｝中的偶数
｛11+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛28+30n｝，2×｛29+30n';｝真包含于｛28+30n｝．
4. 余新河数学问题中的40个分数的分子之和的各位数字和都能被3整除，因而这40个分数均有正整商。
余新河数学题的证明
二 余新河数学题的基本性质
余新河数学问题四组数列计有40个代数解析关系式，对它们进行深入研究与认真分析后，我们发现余新河数学问题具有下列基本性质：
1. 余新河数学问题的结构特征
余新河数学问题的本质是多因素的无穷等差数列问题。
40个数列的通项公式的解析关系全部是由一个正整数的商式与另一个正整数的积式之和而构成，即代数式的运算关系只含一级与二级运算关系（＋与×、÷）。
2. 余新河数学问题运的初等性与封闭性
正整数的加法、乘法、除法四则运算系初等运算，其结果仍为正整数，即在自然数集合中封闭。
3. 余新河数学问题的八卦性质
所有分数式子的分母都是素数3，而分子的和式中k的系数相应为素数“7、13、19、31、11、17、23、29”与我们研究的八卦数论中的八卦素数完全一致，此八个素数是除掉三极素数“2、3、5”外其余素数的原子，可称之为八卦素数，它们相应又是八卦素合数系的首素。欲证明哥德巴赫猜想必须要依据十五偶数系与八卦素合数天然系存在的36个关系式。
八卦素合数系为：
{i+30n} (i=7、13、19、31、11、17、23、29 n属于N)
十五偶数系为：
{j+30n} (j=0,2,4,6,……,26,28 n属于N)
十五偶数系与八卦素合数系之间天然自在的36个关系式为：
1) ｛0+30n｝中的偶数
｛ 7+30n'; }并+｛23+30n';';｝真包含于｛0+30n｝，
｛13+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛0+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛0+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛0+30n｝； (n';、n';';、n属于N，下同)
* 符号 “并+”表示两数系中相应二数两两求和，下同。
2) ｛6+30n｝中的偶数
｛ 7+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛6+30n｝，
｛13+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛6+30n｝,
｛19+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛6+30n｝；
3）｛12+30n｝中的偶数
｛13+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛12+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛12+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛12+30n｝；
4) ｛18+30n｝中的偶数
｛ 7+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛18+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛18+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛18+30n｝；
5) ｛24+30n｝中的偶数
｛ 7+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛24+30n｝，
｛13+30n';｝并+｛11+30n';';｝真包含于｛24+30n｝，
｛31+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛24+30n｝；
6) ｛2+30n｝中的偶数
｛19+30n';｝并+｛13+30n';';｝真包含于｛2+30n｝，2×｛31+30n';｝真包含于｛ 2+30n｝；
7) ｛8+30n｝中的偶数
｛7+30n';｝并+｛31+30n';';｝真包含于{8+30n｝，2×｛19+30n';｝真包含于｛8+30n｝；
8) ｛14+30n｝中的偶数
｛13+30n';｝并+｛31+30n';';｝｛14+30n｝， 2×｛7+30n';｝真包含于｛14+30n｝；
9) ｛20+30n｝中的偶数
｛7+30n'; ｝并+｛13+30n';';｝真包含于 ｛20+30n｝，
｛19+30n';｝并+｛31+30n';';｝真包含于｛20+30n｝；
10) ｛26+30n｝中的偶数
｛7+30n';｝并+｛19+30n';';｝真包含于｛26+30 n｝， 2×｛13+30n';｝真包含于｛26+30n｝；
11) ｛4+30n｝中的偶数
｛11+30n';｝并+｛23+30n';';｝真包含于｛4+30 n｝， 2×｛17+30n';｝真包含于｛4+30n｝；
12) ｛10+30 n｝中的偶数
｛11+30n';｝并+ ｛29+30n';';｝真包含于｛10+30n｝，
｛17+30n';｝并+ ｛23+30n';';｝真包含于｛10 +30n｝；
13) ｛16+30n｝中的偶数
｛17+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛16+30n｝，2×｛23+30n';｝真包含于｛16+30n｝；
14) ｛22+30n｝中的偶数
｛23+30n';｝并+｛29+30n';';｝真包含于｛22+30n｝，2×｛11+30n';｝真包含于｛22+30n｝；
15 ｛28+30n｝中的偶数
｛11+30n';｝并+｛17+30n';';｝真包含于｛28+30n｝，2×｛29+30n';｝真包含于｛28+30n｝．
4. 余新河数学问题中的40个分数的分子之和的各位数字和都能被3整除，因而这40个分数均有正整商。
关于无穷等差数列之数列组A2
1.(2) 同理同法，在数列A2中：
N＝(11k+4)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(31k+6)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+5)/3 + (10k+3)P, (K=1,4,7,10,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+8)/3 + (10k+3)P, (K=2,5,8,11,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+20)/3 +(10k+9)P, (K=1,4,7,10,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(9k+29)/3 + (10k+9)P, (K=2,5,8,11,……), (P＝0,1,2,3,……）
我们再分别对6个数列的通项公式进行研究如下：
1） 在N＝(11k+4)/3 + (10k+1)P中, 当k= 1,4,7,10,…,1+3n,…，而P＝0,1,2,3,…时,有
5， 16， 27， 38， 49， 60， 71， 82， 93，…， 5+11P, …
16， 57， 98，139，180，221，262， 303， 344，…， 16+41P, …
27， 98，169，240，311，382，453， 524， 595，…， 27+71P, …
38，139，240，341，442，543，644， 745， 846，…，38+101P, …
49，180，311，442，573，704，835， 966，1097，…，49+131P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=11、41、71、101、131、161、191、221、251、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列，且此无穷方阵的元素以由5起向右下的对角线数列为轴对称的关系；
2） N＝(31k+6)/3 +(10k+1)P中, 当K=3,6,9,12,…,3+3n，…，而P＝0,1,2,3,…时,有
33, 64， 95，126，157，188， 219， 250， 281，…, 33+31p, …
64, 125，186，247，308，369， 430， 491， 552，…, 64+61p, …
95, 186，277，368，459，550， 641， 732， 823，… ,95+91p, …
126, 247，368，489，610，731， 852， 973，1094，…,126+121p, …
157，308，459，610，761，912，1063，1214，1365，…,157+151p, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=31、61、91、121、151、181、211、241、271、…的无穷等差数列，分别由左上向右下看，从第二项起后项减前项所成数列都是d=60的无穷等差数列，且此无穷方阵的元素以由5起向右下的对角线数列为轴对称的关系；
3） 在N＝(7k+5)/3 + (10k+3)P中, 当K=1,4,7,10,…，1+3n…),而P＝0,1,2,3,……时，有
4， 17， 30， 43， 56， 69， 82， 95，108，…， 4+13P，…
11， 54， 97，140，183，226，269，312，355，…, 11+43P，…
18， 91, 164, 237, 310, 383, 456, 529, 602, …, 18+73P，…
25，128, 231, 334, 437, 540, 643, 746, 849, …, 25+103P, …
32, 165, 298, 431, 564, 697, 830, 963,1096, …, 32+133P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=13、43、73、103、133、…的无穷等差数列，按列看相应是d=7、37、67、97、127、157、187、217、247、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
4） 在N＝(17k+8)/3 + (10k+3)P中, 当K=2,5,8,11,…，2+3n，…, 而P＝0,1,2,3,……时，有
14, 37, 60, 83, 106, 129, 152, 175, 198,…, 14+23n，…,
31, 84, 137, 190, 243, 296, 349, 402, 455,…, 31+53n，…,
48, 131, 214, 297, 380, 463, 546, 629, 712,…, 48+83n，…,
65, 178, 291, 404, 517, 630, 743, 856, 969,…, 65+113n，…,
82, 225, 368, 511, 654, 797, 940,1083,1226,…, 82+143n，…,
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=23、53、83、113、143、…的无穷等差数列，按列看相应是d=17、47、77、107、137、167、197、227、257、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
5）在N＝(19k+20)/3 +(10k+9)P中, 当K=1,4,7,10,…，1+3n，…, 而P＝0,1,2,3,……时，有
13, 32, 51, 70, 89, 108, 127, 146, 165,…， 13+19P，…,
32, 81, 130, 179, 228, 277, 326, 375, 424,…， 32+49P，…,
51, 130, 209, 288, 367, 446, 525, 604, 683,…， 51+79P，…,
70, 179, 288, 397, 506, 615, 724, 833, 942,…，70+109P, …,
89, 228, 367, 506, 645, 784, 923,1062,1201,…，89+139P, …,
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=19、49、79、109、139、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列,且此无穷方阵的元素以由13起向右下的对角线数列为轴对称的关系；
6）在N＝(29k+29)/3 +(10k+9)P中, 当K=2,5,8,11,…，2+3n，…, 而P＝0,1,2,3,……时，有
29， 58， 87，116，145，174， 203， 232， 261,…， 29+29P，…
58，117，176，235，294，353， 412， 471， 530,…， 58+59P，…
87，176，265，354，443，532， 621， 710， 799,…， 87+89P，…
116，235，354，473，592，711， 830， 949，1068,…，116+119P，…
145，294，443，592，741，890，1039，1188，1337,…，145+149P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=29、59、89、119、149、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列,且此无穷方阵的元素以由29起向右下的对角线数列为轴对称的关系。
显然，数列组之A2的6个通项公式为二元公式，由k、p的条件就决定了它们都是无穷多个等差数列。我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列。
由这6个无穷正整数集求并集即可得到数列A2,具体写出为：4，5，11，13，14，16，17，18，25，27，29，30，31, 32, 33, 37, 38, 39, 43, 46, 48, 49, 51, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60,64，65，67，69，70，71，……
数列A2 的对偶数列A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 50, 52, 55, 61，62，63，66，68，……
关于无穷等差数列之数列组B1、B2
2. （1）同理同法，在数列B1中：
N＝(13k+2)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(23k+3)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+21)/3 +(10k+7)P, (K=0,3,6,9,……), (P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+14)/3+ (10k+7)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
我们再分别对4个数列的通项公式进行研究如下：
1）在N＝(13k+2)/3 + (10k+1)P中, 当k= 1,4,7,10,…,1+3n,…，而P＝0,1,2,3,…时,有
5, 16, 27, 38, 49, 60, 71, 82, 93, … , 5+11P, …
18, 59, 100, 141, 182, 223, 264, 305, 346, … , 18+41P, …
31, 102, 173, 244, 315, 386, 457, 528, 599, … , 18+71P, …
44, 145, 246, 347, 448, 549, 650, 751, 852, … , 18+101P, …
57, 188, 319, 450, 581, 712, 843, 974, 1005, … , 18+131P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=13、43、73、103、133、163、193、223、253、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
2）N＝(23k+3)/3 + (10k+1)P中, 当K=3,6,9,12,…,3+3n，…时，而P＝0,1,2,3,…时,有
24， 55， 86，117，148，179， 210， 241， 272，…, 24+31P, …
47，108，169，230，291，352， 413， 474， 535，…, 47+61P, …
70，161，252，343，434，525， 616， 707， 798，…, 70+91P, …
93，214，335，456，577，698， 819， 940，1061，…, 93+121P, …
116，267，418，569，720，871，1022，1173，1324，…,116+151P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=23、53、83、113、143、173、203、233、263、…的无穷等差数列，分别由左上向右下看，从第二项起后项减前项所成数列都是d=60的无穷等差数列；
3） 在N＝(29k+21)/3 + (10k+7)P中, 当K=0,3,6,9,…，0+3n…),而P＝0,1,2,3,……时，有
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, …, 7+7P, …
36, 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, …, 36+37P, …
65, 132, 199, 266, 333, 400, 467, 534, 601, …, 65+67P, …
94, 191, 288, 385, 482, 579, 676, 773, 870, …, 94+97P, …
123, 250, 377, 504, 631, 758, 885, 1012,1139, …, 123+127P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=7、37、67、97、127、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
4） 在N＝(19k+14)/3 + (10k+7)P中, 当K=1,4,7,10,…，1+3n，…, 而P＝0,1,2,3,……时，有
11, 28, 45, 62, 79, 96, 113, 130, 147, …, 11+17P, …
30, 77, 124, 171, 218, 265, 312, 359, 406, …, 30+47P, …
49, 126, 203, 280, 357, 434, 511, 588, 665, …, 49+77P, …
68, 175, 282, 389, 496, 603, 710, 817, 924, …, 68+107P, …
87, 224, 361, 498, 635, 772, 909, 1046, 1183, …, 87+137P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=17、47、77、107、137、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
由这4个无穷正整数集求并集即可得到数列B1,具体写出B1为：5，7，11，14，16，18，21，24，27，28，30，31，35，36，38，42，44，45，47，49，55，56，57，59，60，……
B1的对偶数列B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，58，…
（2）同理同法，在数列B2中：
N＝(23k+4)/3 + (10k+1)P, (K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(13k+3)/3 + (10k+1)P, (K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+15)/3 + (10k+7)P, (K= 0,3,6,9,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+22)/3 + (10k+7)P, (K= 1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
我们再分别对4个数列的通项公式进行研究如下：
1）在N＝(23k+4)/3 + (10k+1)P中,当K=1,4,7,10,…，1+3n,…，而P＝0,1,2,3,…时，有
9， 20， 31， 42， 53， 64， 75， 86， 97， …, 9+11P, …
32， 73，114，155，196，237，278 319， 360， …, 32+41P, …
55，126，197，268，339，410，481， 552， 623， …, 55+71P, …
78，179，280，381，482，583，684， 785， 886， …, 78+101P, …
91，222，353，484，615，746，877，1008，1139， …, 91+131P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=23、53、83、113、143、173、203、233、263、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
2）在N＝(13k+3)/3 + (10k+1)P中,当K=3,6,9,12,…，3+3n，…,而P＝0,1,2,3,…时，有
14， 45， 76， 107， 138， 169， 200， 231， 262，…, 14+31P, …
27， 88，149， 210， 271， 332， 393， 454， 515，…, 27+61P, …
40，131，222， 313， 404， 495， 586， 677， 768，…, 40+91P, …
53，174，295， 416， 537， 658， 779， 900，1021，…, 53+121P, …
66，217，368， 519， 670， 821， 972，1123，1274，…, 66+151P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=13、43、73、103、133、163、193、223、253、…的无穷等差数列，分别由左上向右下看，从第二项起后项减前项所成数列都是d=60的无穷等差数列；
3） 在N＝(19k+15)/3 + (10k+7)P中,当K= 0,3,6,9,…，0+3n，…,而P＝0,1,2,3,…时，有
5, 12, 19, 26, 33, 40, 47, 54, 61, …， 5+7P，…
24, 61, 98, 135, 172, 209, 246, 283, 320, …， 24+37P，…
43, 110, 177, 244, 311, 378, 445, 512, 579, …， 43+67P，…
62, 159, 256, 353, 450, 547, 644, 741, 838, …， 62+97P，…
81, 208, 335, 462, 589, 716, 843, 970, 1097, …，81+127P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=7、37、67、97、127、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
4）在N＝(29k+22)/3 +(10k+7)P中,当K= 1,4,7,10,…，1+3n，…,而P＝0,1,2,3,…时，有
17, 34, 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153,…， 17+17P，…
46, 93, 140, 187, 234, 281, 328, 375, 422,…， 46+47P，…
75, 152, 229, 306, 383, 460, 537, 614, 691,…， 75+77P，…
104, 211, 318 425 532, 639, 746, 853, 960,…，104+107P，…
133, 270, 407, 544, 681, 818, 955, 1092, 1229,…，133+137P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=17、47、77、107、137、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
由这4个无穷正整数集求并集即可得到数列B2,具体写出为B2为：5，9，12，14，17，19，20，24，26，27，31, 32, 33, 34, 40, 42, 43, 45, 46, 51, 53, 55,……
B2的对偶数列B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 57, 58, 59, 60,…
关于无穷等差数列之数列组C1、C2
3. （1）同理同法，在数列C1中：
N＝(7k+2)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+10)+ (10k+3)P,(K= 1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+7)/3 + (10k+3)P,(K= 2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
我们再分别对这4个数列的通项公式进行研究如下：
1) 在N＝(7k+2)/3 + (10k+1)P中,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
3, 14， 25， 36， 47， 58， 69， 80， 91， …， 3+11P，…
10， 51， 92，133，174，215，256，297，338， …， 10+41P，…
17, 88, 159, 230, 301, 372, 443, 514, 585, …， 17+71P，…
24, 125, 226, 327, 428, 529, 630, 731, 832, …，24+101P，…
31, 162, 293, 424, 555, 686, 817, 948,1079, …，31+131P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=7、37、67、97、127、157、187、217、247、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
2）在N＝(17k+3)/3 + (10k+1)P中,当K=3,6,9,12,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
18， 49， 80，111，142， 173， 204， 235， 266，…， 18+31P，…
35， 96，157，218，279， 340， 401， 462， 523，…， 35+61P，…
52，143，234，325，416， 507， 598， 689， 780，…， 52+91P，…
69，190，311，432，553， 674， 795， 916 1037，…，69+121P，…
86，237，388，539，690， 841， 992，1143，1294，…，86+151P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=17、47、77、107、137、167、197、227、257、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
3）在N＝(29k+10)/3 +(10k+3)P中,当K= 1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
13， 26， 39， 52， 65， 78， 91， 104， 117， …， 13+13P，…
42， 85，128，171，214，257，300， 343， 386， …， 42+43P，…
71，144，217，290，363，436，509， 582， 655， …， 71+73P，…
100，203，306，409，512，615，718， 821， 924， …，100+103P，…
129，262，395，528，661，794，927，1060，1193， …，129+133P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=13、43、73、103、133、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
4）在N＝(19k+7)/3 + (10k+3)P中,当K= 2,5,8,11,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
15， 38， 61， 84，107，130，153， 176， 199， …， 15+23P，…
34， 87，140，193，246，299，352， 405， 458， …， 34+53P，…
53，136，219，302，385，468，551， 634， 717， …， 53+83P，…
72，185，298，411，524，637，750， 863， 976， …， 72+113P，…
91，234，377，520，663，806，949，1092，1235， …， 91+143P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=23、53、83、113、143、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
由这4个无穷正整数集求并集即可得到数列C1,具体写出C1为：3，10，13，14，15，17，18，24，25，26，31, 34, 35, 36, 38, 39, 42, 45, 47, 49, 51, 52, 53, 58, 59, 61，65，66，69，71，72，73，……
C1的对偶数列C1';为：1，2，4，5, 6，7, 8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32, 33, 37, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 54, 55, 56, 57, 60,62，63，64，67，68，70，……
（2） 同理同法，在数列C2中:
N＝(17k+4)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+8)/3 + (10k+3)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+11)/3 + (10k+3)P,(K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
我们再分别对这4个数列的通项公式进行研究如下：
1) 在N＝(17k+4)/3 + (10k+1)P中,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
7, 18, 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95, …， 7+11P，…
24, 65, 106, 147, 188, 229, 270, 311, 452, …， 24+41P，…
41, 112, 183, 254, 325, 396, 467, 538, 609, …， 41+71P，…
58, 159, 260, 361, 462, 563, 664, 765, 866, …，58+101P，…
75, 206, 337, 468, 599, 730, 861, 962, 1093 …，75+131P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=17、47、77、107、137、167、197、227、257、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
2）在N＝(7k+3)/3 +(10k+1)P,当K=3,6,9,12,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
8， 39， 70，101， 132， 163， 194， 225， 256，…， 8+31P，…
15， 76，137，198， 259， 320， 381， 442， 503，…， 15+61P，…
22，113，204，295， 386， 477， 568， 659， 750，…， 22+91P，…
29，150，271，392， 513， 634， 755， 876， 997，…，29+121P，…
36，187，338，489， 640， 791， 942，1093，1244 …，36+151P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=7、37、67、97、127、157、187、217、247、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
3）在N＝(19k+8)/3 +(10k+3)P,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
9， 22， 35， 48， 61， 74， 87， 100， 113， …， 9+13P，…
28， 71，114，157，200，243，286， 329， 372， …， 28+43P，…
47，120，193，266，339，412，485， 558， 631， …， 47+73P，…
66，169，272，375，478，581，684， 787， 890， …，66+103P，…
85，218，351，484，617，750，883，1016，1149， …，85+133P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=13、43、73、103、133、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
4）在N＝(29k+11)/3 +(10k+3)P,当K=2,5,8,11,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
23， 46， 69， 92，115，138，161， 184， 207，…， 23+23P，…
52，105，158，211，264，317，370， 423， 476，…， 52+53P，…
81，164，247，330，413，496，579， 662， 745，…， 81+83P，…
110，223，336，449，562，675，788， 901，1014，…，110+113P，…
139，282，425，568，711，854，997，1140，1283，…，139+143P，…
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=23、53、83、113、143、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
由这4个无穷正整数集求并集即可得到数列B1,具体写出C2为： 7，8，9，15，18，22，23，24，28，29, 31, 34, 35, 36, 38, 39, 42, 45, 47, 49, 51, 52, 53 ,58, 59, 61，62，64，……
C2的对偶数列C2';即为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32, 33, 37, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 54, 55, 56, 57, 60, 63，……
关于无穷等差数列之数列组D1
4.(1) 数列D1:
N＝(23k+7)/3 + (10k+3)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(13k+4)/3 + (10k+3)P,(K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+2)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+12)/3 + (10k+7)P,(K=0,3,6,9,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+5)/3 + (10k+7)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
我们再分别对这6个数列的通项公式进行研究如下：
1） 在N＝(23k+7)/3 +(10k+3)P中,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
10, 23, 36, 49, 62, 75, 88, 101, 114, …, 10+13P, …
33, 76, 119, 162, 205, 248, 291, 334, 377, …, 33+43P, …
56, 129, 202, 275, 348, 421, 494, 567, 640, …, 56+73P, …
79, 182, 285, 388, 491, 594, 697, 800, 903 …, 79+103P, …
102, 235, 368, 501, 634, 767, 900, 1033,1166, …,102+133P, …
… … … … … … … … … … … …
这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=13、43、73、103、133、…的无穷等差数列，按列看相应是d=23、53、83、113、143、173、203、233、263、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
2） 在N＝(13k+4)/3 +(10k+3)P中,当K=2,5,8,11,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
10, 33, 56, 79, 102, 125, 148, 171, 194, …, 10+23P, …
23, 76, 129, 182, 235, 288, 341, 394, 447, …, 23+53P, …
36, 119, 202, 285, 368, 451, 534, 617, 700, …, 36+83P, …
49, 162, 275, 388, 501, 614, 727, 840, 953, …, 49+113P, …
62, 205, 348, 491, 634, 777, 920, 1063,1206, …, 62+143P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=23、53、83、113、143、…的无穷等差数列，按列看相应是d=13、43、73、103、133、163、193、223、253、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
3） 在N＝(19k+2)/3 +(10k+1)P中,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
7, 18, 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95, …, 7+11P, …
26, 67, 108, 149, 190, 231, 272, 313, 354, …, 26+41P, …
45, 116, 187, 258, 329, 400, 471, 542, 613, …, 45+71P, …
64, 165, 266. 367, 468, 569, 670, 771, 872, …, 64+101P, …
83, 214, 345, 476, 607, 738, 869, 1000, 1131, …, 81+131P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
4） 在N＝(29k+3)/3 +(10k+1)P中,当K=3,6,9,12,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
30, 61, 92, 123, 154, 185, 216, 247, 278, …, 30+31P, …
59, 120, 181, 242, 303, 364, 425, 486, 547, …, 59+61P, …
88, 179, 270, 361, 452, 543, 634, 725, 816, …, 88+91P, …
117, 238, 359, 480, 601, 722, 843, 964, 1085, …,117+121P, …
146, 297, 448, 599, 750, 901, 1052, 1203, 1354, …,146+151P, …
… … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
5） 在N＝(17k+12)/3 +(10k+7)P中,当K=0,3,6,9,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, …, 4+7P, …
21, 58, 95, 132, 169, 206, 243, 280, 317, …, 21+37P, …
38, 105, 172, 239, 306, 373, 440, 507, 574, …, 38+67P, …
55, 152, 249, 346, 443, 540, 637, 734, 831, …, 55+97P, …
72, 199, 326, 453, 580, 707, 834, 961, 1088, …,72+127P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=7、37、67、97、127、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
6） 在N＝(7k+5)/3 +(10k+7)P,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
4, 21, 38, 55, 72, 89, 106, 123, 140, …, 4+17P, …
11, 58, 105, 152, 199, 246, 293, 340, 387, …, 11+47P, …
18, 95, 172, 249, 326, 403, 480, 557, 634, …, 18+77P, …
25, 132, 239, 346, 453, 560, 667, 774, 881, …, 25+107P, …
32, 169, 306, 443, 580, 717, 854, 991,1128, …, 32+137P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=17、47、77、107、137、…的无穷等差数列，按列看相应是d=7、37、67、97、127、157、187、217、247、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
将这6个无穷正整数集分别记为N1、N2、N3、N4、N5、N6。 比较1）与 2），5）与 6），它们的行与列的通项公式分别依次为
行序 1 2 3 4 5 …
1） 10+13P， 33+43P, 56+73P, 79+103P, 102+133P, …
2） 10+23p, 23+53p, 36+83p， 49+113p, 62+143p, …
5） 4+7P， 21+37P， 38+67P， 55+97P， 72+127P, …
6） 4+17P， 11+47P， 18+77P， 25+107P， 32+137P， …
列序 1 2 3 4 5 …
1） 10+23q, 23+53q, 36+83q， 49+113q, 62+143q, …
2） 10+13q， 33+43q, 56+73q, 79+103q, 102+133q, …
5） 4+17q， 11+47q， 18+77q， 25+107q， 32+137q, …
6） 4+7q， 21+37q， 38+67q， 55+97q， 72+127q， …
显然发现1）与 2），5）与 6）它们之间行与列为互为调换的关系，即有
N1 = N2 N5 = N6
由这6个无穷正整数集求并集即可得到数列D1,具体写出D1为：4，7，10，11，18，21，23，25，26，29，30, 32, 33, 36, 38, 39, 40, 51, 53, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64, 67,……
D1的对偶数列D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34, 35, 37, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 57, 61, 63, 65, 66,……
关于无穷等差数列之数列组D1
4.(1) 数列D1:
N＝(23k+7)/3 + (10k+3)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(13k+4)/3 + (10k+3)P,(K=2,5,8,11,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(19k+2)/3 + (10k+1)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(29k+3)/3 + (10k+1)P,(K=3,6,9,12,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(17k+12)/3 + (10k+7)P,(K=0,3,6,9,……),(P＝0,1,2,3,……)
N＝(7k+5)/3 + (10k+7)P,(K=1,4,7,10,……),(P＝0,1,2,3,……)
我们再分别对这6个数列的通项公式进行研究如下：
1） 在N＝(23k+7)/3 +(10k+3)P中,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
10, 23, 36, 49, 62, 75, 88, 101, 114, …, 10+13P, …
33, 76, 119, 162, 205, 248, 291, 334, 377, …, 33+43P, …
56, 129, 202, 275, 348, 421, 494, 567, 640, …, 56+73P, …
79, 182, 285, 388, 491, 594, 697, 800, 903 …, 79+103P, …
102, 235, 368, 501, 634, 767, 900, 1033,1166, …,102+133P, …
… … … … … … … … … … … …
这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=13、43、73、103、133、…的无穷等差数列，按列看相应是d=23、53、83、113、143、173、203、233、263、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
2） 在N＝(13k+4)/3 +(10k+3)P中,当K=2,5,8,11,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
10, 33, 56, 79, 102, 125, 148, 171, 194, …, 10+23P, …
23, 76, 129, 182, 235, 288, 341, 394, 447, …, 23+53P, …
36, 119, 202, 285, 368, 451, 534, 617, 700, …, 36+83P, …
49, 162, 275, 388, 501, 614, 727, 840, 953, …, 49+113P, …
62, 205, 348, 491, 634, 777, 920, 1063,1206, …, 62+143P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=23、53、83、113、143、…的无穷等差数列，按列看相应是d=13、43、73、103、133、163、193、223、253、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
3） 在N＝(19k+2)/3 +(10k+1)P中,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
7, 18, 29, 40, 51, 62, 73, 84, 95, …, 7+11P, …
26, 67, 108, 149, 190, 231, 272, 313, 354, …, 26+41P, …
45, 116, 187, 258, 329, 400, 471, 542, 613, …, 45+71P, …
64, 165, 266. 367, 468, 569, 670, 771, 872, …, 64+101P, …
83, 214, 345, 476, 607, 738, 869, 1000, 1131, …, 81+131P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=11、41、71、101、131、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
4） 在N＝(29k+3)/3 +(10k+1)P中,当K=3,6,9,12,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
30, 61, 92, 123, 154, 185, 216, 247, 278, …, 30+31P, …
59, 120, 181, 242, 303, 364, 425, 486, 547, …, 59+61P, …
88, 179, 270, 361, 452, 543, 634, 725, 816, …, 88+91P, …
117, 238, 359, 480, 601, 722, 843, 964, 1085, …,117+121P, …
146, 297, 448, 599, 750, 901, 1052, 1203, 1354, …,146+151P, …
… … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=31、61、91、121、151、…的无穷等差数列，按列看相应是d=19、49、79、109、139、169、199、229、259、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数3都是d=60的无穷等差数列；
5） 在N＝(17k+12)/3 +(10k+7)P中,当K=0,3,6,9,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, …, 4+7P, …
21, 58, 95, 132, 169, 206, 243, 280, 317, …, 21+37P, …
38, 105, 172, 239, 306, 373, 440, 507, 574, …, 38+67P, …
55, 152, 249, 346, 443, 540, 637, 734, 831, …, 55+97P, …
72, 199, 326, 453, 580, 707, 834, 961, 1088, …,72+127P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=7、37、67、97、127、…的无穷等差数列，按列看相应是d=29、59、89、119、149、179、209、239、269、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
6） 在N＝(7k+5)/3 +(10k+7)P,当K=1,4,7,10,…,而P＝0,1,2,3,…时，有
4, 21, 38, 55, 72, 89, 106, 123, 140, …, 4+17P, …
11, 58, 105, 152, 199, 246, 293, 340, 387, …, 11+47P, …
18, 95, 172, 249, 326, 403, 480, 557, 634, …, 18+77P, …
25, 132, 239, 346, 453, 560, 667, 774, 881, …, 25+107P, …
32, 169, 306, 443, 580, 717, 854, 991,1128, …, 32+137P, …
… … … … … … … … … … … …
在这个整数的无穷方阵中，我们无论按行、按列，或由左上向右下去看它们都是无穷等差数列，按行看相应是d=17、47、77、107、137、…的无穷等差数列，按列看相应是d=7、37、67、97、127、157、187、217、247、…的无穷等差数列，由左上向右下看去，从第二项起后项减前项所成的数列都是d=60的无穷等差数列；
将这6个无穷正整数集分别记为N1、N2、N3、N4、N5、N6。 比较1）与 2），5）与 6），它们的行与列的通项公式分别依次为
行序 1 2 3 4 5 …
1） 10+13P， 33+43P, 56+73P, 79+103P, 102+133P, …
2） 10+23p, 23+53p, 36+83p， 49+113p, 62+143p, …
5） 4+7P， 21+37P， 38+67P， 55+97P， 72+127P, …
6） 4+17P， 11+47P， 18+77P， 25+107P， 32+137P， …
列序 1 2 3 4 5 …
1） 10+23q, 23+53q, 36+83q， 49+113q, 62+143q, …
2） 10+13q， 33+43q, 56+73q, 79+103q, 102+133q, …
5） 4+17q， 11+47q， 18+77q， 25+107q， 32+137q, …
6） 4+7q， 21+37q， 38+67q， 55+97q， 72+127q， …
显然发现1）与 2），5）与 6）它们之间行与列为互为调换的关系，即有
N1 = N2 N5 = N6
由这6个无穷正整数集求并集即可得到数列D1,具体写出D1为：4，7，10，11，18，21，23，25，26，29，30, 32, 33, 36, 38, 39, 40, 51, 53, 55, 56, 58, 59, 60, 62, 64, 67,……
D1的对偶数列D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34, 35, 37, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 57, 61, 63, 65, 66,……
四 命题的最后证明
一.前面计算的四组数列的结果：
1. (1) 数列A1 为：6，8，12，13，19，20，21，23，25，27，29，34，38，41，42，43，45，47，48，52，55，56，57，59，60，…；
A1的对偶数列A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58，…
(2) 数列A2, 为：4，5，11，13，14，16，17，18，25，27，29，30，31, 32, 33, 37, 38, 39, 43, 46, 48, 49, 51, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 60,……
A2的对偶数列A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 50, 52, 55, ……
2. (1) 数列B1为：5，7，11，14，16，18，21，24，27，28，30，31，35，36，38，42，44，45，47，49，55，56，57，59，60，……
B1的对偶数列B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，58，…
(2) 数列B2为：5，9，12，14，17，19，20，24，26，27，31, 32, 33, 34, 40, 42, 43, 45, 46, 51, 53, 55,……
B2的对偶数列B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 57, 58, 59, 60,…
3. (1) 数列C1为：3，10，13，14，15，17，18，24，25，26，31, 34, 35, 36, 38, 39, 42, 45, 47, 49, 51, 52, 53, 58, 59, ……
C1的对偶数列C1';为：1，2，4，5, 6，7, 8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32, 33, 37, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 54, 55, 56, 57, 60,……
(2) 数列C2为： 7，8，9，15，18，22，23，24，28，29, 31, 34, 35, 36, 38, 39, 42, 45, 47, 49, 51, 52, 53 ,58, 59, ……
C2的对偶数列C2';即为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32, 33, 37, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 54, 55, 56, 57, 60, ……
4.(1) 数列D1为：4，7，10，11，18，21，23，25，26，29，30, 32, 33, 36, 38, 39, 40, 51, 53, 55, 56, 58, 59, 60, ……
D1的对偶数列D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34, 35, 37, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 57,……
(2) 数列D2为：2，6，9,10,11，16，18，19，20, 23，27，30，32, 33, 36, 37, 39, 41, 44, 45, 49,51, 58, ……
D2的对偶数列D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38, 40, 42, 43, 46, 47, 48, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, ……
二.余新河数学题之待证命题
在上述四组对偶数列（每组两个，共八个：A1';和A2';，B1';和B2';，C1';和C2';，D1';和D2';）中，很明显可以看出（但不是证明出）：不同组的所有两个数列的所有两数相加可得到除1以外的自然数列。
不妨先在这里插上几句话：人民日报1993年4月6日第8版刊登的余新河数学题这一消息，是我们易经数论研究的挚友刘世发老师于当月18日下午告诉我的，他说：“咱们研究的八卦数论试图证明世界数学难题哥德巴赫猜想与费马大定理，无独有偶，你看余新河先生欲证明哥德巴赫猜想而得到的四组数列中都有八卦素数7、13、19、31、11、17、23、29，这不算奇怪的事，这是太极八卦图的必然，是天然自在的素数性质，的的确确是一个惊人的发现！他的问题咱们是不难证明的，先放下它，关键的问题是现在咱们研究的用八卦方法要证明的难题到了节骨眼上了。”上苍也是不知道的，仅仅才过了六年刘老师不幸遇到车祸逝世了，连续几年我都感到无限地悲痛与孤独，我们的研究被迫中断了。又经过了六年，我时常回想到在刘老师的追悼会上我致悼辞讲的话：“刘世发老师你安息吧，你的遗志未了，咱哥俩的研究我一要继续搞下去的，生命不息奋斗不止！”
十分幸运，我孤军奋斗终于2006年元月出版了《河洛象数理——解圆与数论》（陕内资图批字04号），书中有许多重大发现，如“太极化生八卦尺规作图公法、偏太极八卦图、莫莱定理的对偶定理——三角形外三分角定理、双共形定理、圆与三角形异形线、素数的八卦判定定理、素数定理新论\哥德巴赫猜想与费马大定理的八卦证明等等，目前还未得到认定。我坚信总有一天会有“今日专家鉴定，明日后人评说”的。
余先生的数学题我是在06年3月时就已经证明了，曾经与有关大学联系而无人问津，原来存在移动硬盘里文件在今年4月份丢失了，现在不得不重新再证明了。
四 命题的最后证明 （续）
4组8个对偶数列为：
1. A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,……，
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 50, 52, 55,……
2. B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，58，……
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 57, 58, 59, 60,……
3. C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32, 33, 37, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 54, 55, 56, 57, 60,……
C2'; 为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32, 33, 37, 40, 41, 43, 44, 46, 48, 50, 54, 55, 56, 57, 60,……
4. D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34, 35, 37, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 57,……
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38, 40, 42, 43, 46, 47, 48, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 59, 60, ……
三. 证明的数学哲学思想
世人皆知,中国的科学发展史实是具有从宏观抽象到微观研究，象性直觉思维与类比旁通的趋向性特征。换言之,东方思维是从宏观到微观的象性直觉思维，再从微观到宏观去进行演绎推理与综合归纳，显然与西方思维是具有互为逆向性的思维特征。但东方思维并不排斥逻辑推理与归纳分析的思想，事实上西方思维明显具有东方的象性直觉思维过程，诸如在现代科学中人们搞“天文观测”，拍摄“卫星云图”，作“CT、X片、胃镜、B超”检查都是为了看象，还有基楚数学中不少的解析式问题实质就是象性直觉思维问题，如套数学公式呀，“数学归纳法”第二步归纳假设当n=k时命题成立，再去推证n=k+1时命题也成立，不正好是在看归纳假设解析关系式的象吗？西方数学科学体系中也不乏有“以象理性为特征的象性宏观思维与与微观研究的数学科学事实”。国际《易经》学会主席成中英先生说过：《周易》是生命的学问，宇宙的真理，文化的智慧，价值的源泉。《人民日报》曾为易经研究发表过报道并宣传了“易理与象理兼顾，向多学科、多层次、多渠道、多角度的综合研究”的发展方针。《易经》在世界上享有“宇宙代数学”与“科学皇冠上明珠”的美称。我们研究易经数学科学是受到了《易经》数学思想与哲学思想的指引，笔者认为数学科学研究的对象决定了它具有象理科学和数理科学的区别与联系以及各自的基本特征的，而古中国的太极八卦图所展示的象理数学的科学性是笛氏体系的数理手段永远无法比拟和所能取代的，如果说“以数理性为主要特征的数学科学的存在是必然的”，那么“以象理性为主要特征的象理科学存在则更有理由具有无可否定的天然性”。我们曾在1990年11月陕西省《中国神秘文化学术讨论会》大会上发言时提出：象征东方文明的太极八卦图与西方文明的数学科学，它们在从抽象到研究的方向上存在着神奇的对应逆向性，乃至在东、西方科学体系上也存在着这种差异。北京大学季羡林教授曾宣称 —— 二十一世纪属东方文化时代，他指出：“东方的思维方式、东方的文化特点是综合；西方的思维方式、西方的文化特点是分析”，“西方的形而上学分析方法快走上穷途末路，而它的对立面东方的寻求整体综合必将取而代之”。
四. 命题的最后证明
引理：自然数列是数尾以数字“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”为有序循环节的无穷递增数列。
* 整数的数尾系指自然数的个位数字。正整数列的数尾是以数字“1、2、3、4、5、6、7、8、9、0”为有序循环节的无穷递增数列。古人称这十个数字为“十天干”。
证明：（1）首先，数列A1、A2、B1、B2、C1、C2，D1、D2分别由相关的无穷多个公差均为30的无穷等差数列求并集而构成，它们的对偶数列A1';、A2';、B1';、B2';、C1';、C2';，D1';、D2';都必有元素1，我们由命题的条件四组八个对偶数列“不同组的所有两个数列的所有两数相加”在命题的结论中就必有1+1=2，而不再会有自然数1这个元素了；
（2）其次，由（1）知八个对偶数列A1';、A2';、B1';、B2';、C1';、C2';，D1';、D2';中的整数都是不连续的，或曰间断连续，间断点或为1个点（数）或为连续2个点、3个点（数）。例如将这八个数列中不大于60的元素个数统计出来，它们分别包含有35、30、35、38、35、35、36、36个整数。然后再将各数列从1开始逐次放大区间长度来研究所要证明的问题，目的是为了从宏观转为微观而便于研究；
老子曰：“一生二，二生三，三生万物”，在正整数集中数的演绎变化过程正好遵循这样的自然法则。自然数集里有无穷多个元素，每一个后继数总比前一数多1，众所周知
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，1+7=8，1+8=9，1+9=10，1+10=11，…
2+1=3，2+2=4，2+3=5，2+4=6，2+5=7，2+6=8，2+7=9，2+8=10，2+9=11，…
3+1=4，3+2=5，3+3=6，3+4=7，3+5=8，3+6=9，3+7=10，3+8=11，…
4+1=5，4+2=6，4+3=7，4+4=8，4+5=9，4+6=10，4+7=11，…
5+1=6，5+2=7，5+3=8，5+4=9，5+5=10，5+6=11，…
…………………………………………
依据自然数的性质任给整数n,则有n=1+（n-1）=2+（n-2）=3+（n-3）=…，所以 “不同组的所有两个数列的所有两数相加”，在任给整数区间[1，a]、[1,b]上错综求和之结果必有整数区间[2,a+b]。换言之，在自然数集[1，∞）中“不同组的所有两个数列的所有两数相加”具有天然的弥合性、连续性，其结果是自然数集[2，∞）。
我们从微观研究上入手，在任给整数区间[1，a]、[1,b]上“不同组的所有两个数列的所有两数相加”必有整数区间[2,a+b]。具体地说，我们能够将不同组的从1开始的任两整数区间所有两数相加，一般地演绎结果都为从2起至两右端点数之和止的连续整数区间了,或者在新区间右端点邻近出现1个间断点（数），或连续2个、3个间断点（数）的这种现象；更或许在新区间右端点邻近出现2截以上的连续3个间断点（数）的特殊情况，这全是局部现象。我们是在无穷整数列中证明问题的，这种个别与特殊间断现象在从1开始的含有更多元素的新的任意两区间上会得到解决的，它不会妨碍待证命题最后的成立。例如我们在A1';与B1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]：
1）A1';取：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，…
B1';取：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，…
由B1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（B1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，1+7=8，1+9=10，1+10=11，…，22+25=47，22+26=48，23+26=49，22+28=50，22+29=51，26+26=52，25+28=53，26+28=54，26+29=55，26+30=56，28+29=57，29+30=59，… , 注意这里少了一个点（数）58；
2）A1';取：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，…
B1';取：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，…
同理，由B1';（A1';）第二区间的第1、2、3、… 数依次与A1';（B1';）第二区间相应的第1、2、3、… 数两两相加，或相应交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，…，39+39=58，29+30=59，29+31=60， 28+33=61，26+36=62，40+23=63，25+39=64，32+33=65，32+34=66，33+34=67，32+36=68，
34+35=69，31+39=70，31+40=71，32+40=72，33+40=73，33+41=74，35+40=75， 36+39=75，37+39=76，37+41=78，39+40=79，39+41=80，40+41=81，39+43=82，40+43=83，…
结果是从2起至两右端点数之和83止的连续整数区间;
3）A1';取：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,…
B1';取：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，58，…
同理，由B1';（A1';）第三区间的第1、2、3、… 数依次与A1';（B1';）第三区间相应的第1、2、3、… 数两两相加，或相应交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，…，40+41=81，39+43=82，40+43=83,
40+44=84，39+46=85，40+46=86,37+40=87,30+58=88,49+40=89,50+40=90,51+40=91,54+38=92,
35+58=93,36+58=94,37+58=95,46+50=96,44+53=97,44+54=98,46+53=99,46+54=100,49+52=101, 49+53=102,49+54=103,50+54=104,51+54=105,53+53=106,53+54=107,58+50=108,58+51=109,
58+52=110,58+53=111,58+54=112,58+58=116, …，
新区间右端点邻近出现连续3个间断点（数）113、114、115 。为解决这种间断现象我们可再放大区间令区间右端点向右逐渐移动下去即可，‘两两相加’产生的作用是对较小区间可能出现的间断现象进行弥合,。如
4）A1';取：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,61，63，64，65，70，71，72，…
B1';取：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，58， 61，64，66，67，69，72，74，75，76，78，…
同理，由B1';（A1';）第三区间的第1、2、3、… 数依次与A1';（B1';）第三区间相应的第1、2、3、… 数两两相加，或相应交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，…， 72+69=141，70+72=142，71+72=143，72+72=144，71+74=145，71+75=146，71+76=147，70+78=148，71+78=149，72+78=150,…
结果是从2起至两右端点数之和150止的连续整数区间;
逐次放大区间，假设在第k次放大时A1';、B1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A1';、B2';在区间[1，ak+1]、区间[1， bk+1]上，由B1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（B1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6， …，71+78=149，72+78=150,…,ak+1+bk+1,…
这就证明了A1';、C1'; 两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
这正是由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎变化，分析推理，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合归纳，此时命题乃至无穷亦为真。与数学归纳法比对，此法可称之为区间归纳法。
数论
（3） 依据待证命题的条件“不同组的所有两个数列的所有两数相加”，我们可将欲证的情况分为如下24种去分类讨论：
1） A1';与B1';两数列的所有两数相加此前已证；
2） 在A1';与B2';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]，仿1），
A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,…
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35,36,37,38,39,41,44,47,48,49,50,52,54,56,57,58,59,60,…
首先，在整数区间[1，58]、[1,60]上两数列的所有两数相加， 由B2';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（B2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，5+2=7，5+3=8，3+6=9，7+3=10，…，54+59=113，58+56=114，58+57=115，58+58=116，58+59=117，58+60=118，…
则A1';、B2';两数列在整数区间[1，58]、[1,60]上的所有两数相加得连续整数区间[2，118]，命题成立；
其次，放大整数区间为[1，72]、[1,77]
A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,61，63，64，65，70，71，72，…
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35,36,37,38,39,41,44,47,48,49,50,52,54,56,57,58,59,60,63，65，67，69，70，71，72，74，77，…
由B2';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（B2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，5+2=7，5+3=8，3+6=9，7+3=10，7+4=12，…，
70+71=141，70+72=142，71+72=143，72+72=144，77+74=145，72+74=146，70+77=147，
71+147=148，72+77=149，
则A1';、B2';两数列在整数区间[1，72]、[1,77]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，149]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A1';、B2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A1';、B2';在区间[1，ak+1]、区间[1， bk+1]上，由B2';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（B2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，5+2=7，5+3=8，3+6=9，7+3=10，7+4=12，10+3=13，…，70+77=147，71+147=148，72+77=149，70+80=150，71+80=151，72+80=152，…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A1';、B2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
3） 在A1';与C1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,61，…
C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32, 33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57，…
由C1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，5+1=6，1+6=7，…，58+56=114，61+54=115，61+55=116，61+56=117，61+57=118，…
则 A1';、C1';两数列在整数区间[1，61]、[1,57]上的所有两数相加，得整数区间[2，118]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A1';、C1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A1';、C1';在区间[1，ak+1]、区间[1， bk+1]上，由C1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，5+1=6，1+6=7，1+7=8，7+2=9，1+9=10，…，58+56=114，61+54=115，61+55=116，…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A1';、C1'; 两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
4） A1';与C2';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 …
C2';为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,…
同理同法，由C2';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，7+1=8，7+2=9，7+3=10，…，51+54=105，51+55=106，51+56=107，51+57=108，53+56=109，54+56=110，54+57=111，58+54=112，58+55=113，54+60=114，58+57=115，…
则A1';、C2';两数列在整数区间[1，58]、[1,57]上的所有两数相加，得整数区间[2，115]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A1';、C1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A1';、C1';在区间[1，ak+1]、区间[1， bk+1]上，由C1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，5+1=6，1+6=7，7+1=8，…，53+56=109， 58+54=112，58+55=113，54+60=114，58+57=115，… ，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A1';、C1'; 两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
5） A1';与D1';中，在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,61，62，63，64，65，…
D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34,35,37,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50，52,54,57,63，65，…
同理同法，由D1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，7+1=8，8+1=9，… ，53+52=105，
54+52=106，50+57=107，54+54=108，61+48=109，61+49=110，61+50=111，58+54=112，
61+52=113，61+53=114，61+54=115，53+63=116，54+63=117，61+57=118，62+57=119，
63+57=120，58+63=121，65+57=122，58+65=123，61+63=124，62+63=125，61+65=126，
62+65=127，63+65=128，64+65=129，65+65=130，…
则 A1';、D1';两数列在整数区间[1，65]、[1,65]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，130]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A1';、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A1';、C1';在区间[1，ak+1]、区间[1， bk+1]上，由C1';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，7+1=8， … ，63+65=128，64+65=129，65+65=130，…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A1';、D1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
四 命题的最后证明 （续）
6） A1';与D2';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A1';为：1，2，3，4，5，7，9，10，11，14，15，16，17，18，22，24，26，28，30，31，32，33，35，36，37，39，40，44，46，49，50，51，53，54，58 ,62，63，…
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38,40,42,43,46,47,48,50,52,53,54,55,56,57,59,60，…
同理同法，由D2';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，5+2=7，5+3=8，…,58+56=114,
58+57=115，62+54=116，58+59=117,58+60=118,62+57=119，63+57=120，
62+59=121，62+60=122，63+60=123，…
则 A1';、D2';两数列在整数区间[1，63]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，123]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A1';、D2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A1';、D2';在区间[1，ak+1]与区间[1， bk+1]上，由D2';（A1';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，5+2=7，5+3=8，…,62+57=119，63+57=120，62+59=121，62+60=122，63+60=123，…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A1';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
7） A2';与B1';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 50, 52, 55, 61，…
B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，…
同理同法，由B1';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（B1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7,7+1=8,7+2=9,7+3=10,7+4=11, …,
52+54=106,55+52=107,55+58=108,55+54=109,52+58=110,61+50=111，61+51=112，61+52=113,61+53=114，61+54=115，…
则 A2';、B1';两数列在整数区间[1，61]、[1,54]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，119]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A2';、B1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A2';、B1';在区间[1，ak+1]与区间[1， bk+1]上，由B1';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7,7+1=8,7+2=9,7+3=10,
7+4=11, …,55+54=109, 52+58=110,61+50=111，61+51=112，61+52=113,
61+53=114，61+54=115，…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A2';、B1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
8） A2';与B2';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36,40,41,42,44,45,47,50,52,55,……
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35,36,37,38,39,41,44,47,48,49,50,52,54,56,57,58,59,60,……
同理同法，由B2';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（B2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5,2+4=6,3+4=7,2+6=8,3+6=9,3+7=10,3+8=11,9+3=12, …,
52+58=110,55+56=111,55+57=112,55+58=113,55+59=114,55+60=115,…
则 A2';、B2';两数列在整数区间[1，55]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，115]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A2';、B2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A2';、B2';在区间[1，ak+1]与区间[1， bk+1]上，由B2';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（B2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5,2+4=6,3+4=7,2+6=8,3+6=9,3+7=10,3+8=11,9+3=12, …,55+57=112,55+58=113,55+59=114,55+60=115,…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A2';、B2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
9） A2';与C1';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 50, 52, 55,…
C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29,30,32, 33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57，…
同理同法，由C1';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，2+1=3，3+1=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，…，52+56=108，52+57=109，55+55=110，55+56=111，55+57=112，…
则 A2';、C1';两数列在整数区间[1，55]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，112]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A2';、C1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A2';、B2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由C1';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，2+1=3，3+1=4，1+4=5，1+5=6，1+6=7，…，52+56=108，52+57=109，55+55=110，55+56=111，55+57=112，…，ak+1 + bk+1，…
这就证明了A2';、C1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
10） A2';与C2';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36, 40, 41, 42, 44, 45, 47, 50, 52, 55,61，62，63，…
C2';为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,60,…
同理同法，由C2';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5,1+5=6,1+6=7,7+1=8,8+1=9,…,55+60=115,61+55=116,
62+55=117,63+55=118,63+56=119,63+57=120,61+60=121,62+60=122,63+60=123,…,
则 A2';、C2';两数列在整数区间[1，63]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，123]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A2';、C2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A2';、C2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由C2';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，1+4=5,1+5=6,1+6=7,7+1=8,8+1=9,…,55+60=115,61+55=116,
62+55=117,63+55=118,63+56=119,63+57=120,61+60=121,62+60=122,…,ak+1 + bk+1，…
这就证明了A2';、C2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整数区间[2，ak+1 + bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
四 命题的最后证明
11） A2';与D1';中，在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34, 35, 36,40,41,42,44,45,47,50,52,55,61,…
D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34,35,37,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50, …
由D1';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,1+2=3,1+3=4,3+2=5,3+3=6,6+1=7,7+1=8,8+1=9,9+1=10,…,55+49=104,55+50=105,
61+45=106,61+46=107,61+47=108,61+48=109,61+49=110,61+50=111,…
则 A2';、D1';两数列在整数区间[1，61]、[1,50]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，111]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A2';、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A2';、D1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D1';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,1+2=3,1+3=4,3+2=5,3+3=6,6+1=7,7+1=8,8+1=9,…,61+46=107,61+47=108,
61+48=109,61+49=110,61+50=111,…,ak+1 + bk+1，…
这就证明了A2';、D1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
12） A2';与D2';中，在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
A2';为：1，2，3，6，7，8，9，10，12，15，19，20，21，22，23，24，26，28，34,35, 36,40,41,42,44,45,47,50,52,55,…
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38,40,42,43,46,47,48,50,52,53,54,55,56,57,…
由D2';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，2+1=3，3+1=4，2+3=5，3+3=6，3+4=7，3+5=8，6+3=9，…，50+55=105，50+56=106，52+55=107，52+56=108，52+57=109，55+55=110，55+56=111，55+57=112，…
则 A2';、D2';两数列在整数区间[1，55]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，111]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时A2';、D2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，A2';、D2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D2';（A2';）的第1、2、3、… 数依次与A2';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,2+3=5,3+3=6,3+4=7,3+5=8,6+3=9,…，50+55=105，50+56=106，52+55=107，52+56=108，52+57=109，55+55=110，55+56=111，55+57=112， …,ak+1+bk+1，…
这就证明了A2';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
13） B1';与C1';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，…
C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29,30,32, 33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57，60,…
由C1';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,4+2=6,1+6=7,1+7=8,…,50+60=110,51+60=111,52+60=112,
53+60=113,54+60=114,…,
则 B1';、C1';两数列在整数区间[1，54]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，114]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、C1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B1';、C1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由C1';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,4+2=6,1+6=7,1+7=8…,50+60=110,51+60=111,
52+60=112,53+60=113,54+60=114,…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B1';、C1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
14） B1';与C2';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，58，…
C2';为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,…
由C2';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7,2+6=8,3+6=9,4+6=10，…,53+54=107,50+58=108,
54+55=109,54+56=110,54+57=111,58+54=112,58+55=113,58+56=114,58+57=115,…
则 B1';、C2';两数列在整数区间[1，58]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，115]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、C2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B1';、C2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由C2';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7,2+6=8,3+6=9,4+6=10，…,54+56=110,54+57=111,
58+54=112,58+55=113,58+56=114,58+57=115,…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B1';、C2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
四 命题的最后证明
15） B1';与D1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，…
D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34,35,37,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,54,57,…
由D1';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,4+2=6,6+1=7,6+2=8,8+1=9,9+1=10，10+1=11,…,54+52=106,
57+50=107,51+57=108,52+57=109,53+57=110,54+57=111，…
则 B1';、D1';两数列在整数区间[1，54]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，111]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B1';、D1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D1';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,4+2=6,6+1=7,6+2=8,8+1=9,9+1=10，10+1=11,…,54+52=106,
57+50=107,51+57=108,52+57=109,53+57=110,54+57=111，…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B1';、D1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
16） B1';与D2';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B1';为：1，2，3，4，6，8，9，10，12，13，15，17，19，20，22，23，25，26，29，32，33，34，37，39，40，41，43，46，48，50，51，52，53，54，…
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38,40,42,43,46,47,48,50,52,53,54,55,56,57,59,60，…
由D2';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,2+4=6,6+1=7,6+2=8,8+1=9,9+1=10，10+1=11,…,52+56=108,
52+57=109,54+56=110,54+57=111,52+60=112,53+60=113,54+60=114,…
则 B1';、D2';两数列在整数区间[1，54]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，114]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、D2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B1';、D2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D2';（B1';）的第1、2、3、… 数依次与B1';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,2+4=6,6+1=7,6+2=8,8+1=9,9+1=10，10+1=11,…,52+56=108,
52+57=109,54+56=110,54+57=111,52+60=112,53+60=113,54+60=114,…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B1';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
17） B2';与C1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 44, 47, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 57, 58, 59, 60,……
C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,60,……
由C1';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,2+4=6,6+1=7,6+2=8,8+1=9,1+9=10，10+1=11,…,60+54=104,
57+48=105,60+56=106,60+57=107,60+58=118,60+59=119,60+60=120,…
则 B2';、C1';两数列在整数区间[1，60]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，120]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、D2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B2';、C1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由C1';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（C1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,2+4=6,6+1=7,6+2=8,8+1=9,1+9=10，10+1=11,…,60+54=104,
57+48=105,60+56=106,60+57=107,60+58=118,60+59=119,60+60=120,…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B2';、C1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
18） B2';与C2';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35,36,37,38,39,41,44,47,48,49,50,52,54,56,57,58,59,60,…
C2'; 为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,60,…
由C2';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7,7+1=8,7+2=9,7+3=10,… ,60+56=116,57+60=117,
58+60=118,59+60=119,60+60=120,…
则 B2';、C2';两数列在整数区间[1，60]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，120]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、C2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B2';、C2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由C2';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（C2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7,7+1=8,7+2=9,7+3=10,… ,60+56=116,57+60=117,58+60=118,59+60=119,60+60=120 ,…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B2';、C2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
四 命题的最后证明
19） B2';与D1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35,36,37,38,39,41,44,47,48,49,50,52,54,56,57,58,59,60,…
D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34,35,37,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,54,57,…
由D1';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,4+2=6,6+2=8,6+3=9,3+8=11,… ,58+54=112,
56+57=113,57+57=114,57+58=115,57+59=116,57+60=117,…
则 B2';、D1';两数列在整数区间[1，60]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，117]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B2';、D1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D1';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,4+2=6,6+2=8,6+3=9,3+8=11,… ,58+54=112,
56+57=113,57+57=114,57+58=115,57+59=116,57+60=117,…,ak+1+bk+1，…
这就证明了B2';、D1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
20） B2';与D2';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
B2';为：1，2，3，4，6，7，8，10，11，13，15，16，18，21，22，23，25，28，29，30, 35,36,37,38,39,41,44,47,48,49,50,52,54,56,57,58,59,60,…
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38,40,42,43,46,47,48,50,52,53,54,55,56,57,59,60, …
由D2';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,3+3=6,3+4=7,3+5=8,6+3=9,…57+59=116,…,57+60=117,
59+59=118,60+59=119,60+60=120,…
则 B2';、D2';两数列在整数区间[1，60]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，120]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时B1';、D2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，B2';、D1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D2';（B2';）的第1、2、3、… 数依次与B2';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3,3+1=4,4+1=5,3+3=6,3+4=7,3+5=8,6+3=9,…,57+59=116,…,57+60=117,
59+59=118,60+59=119,60+60=120,… ,ak+1+bk+1，…
这就证明了B2';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
21） C1';与D1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,…
D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34,35,37,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,54,57,…
由D1';（C1';）的第1、2、3、… 数依次与C1';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，2+3=5，4+2=6，4+3=7，5+3=8，4+5=9，5+5=10，5+6=11，…，
56+54=110，54+57=111，55+57=112，56+57=113，57+57=114，…
则 C1';、D1';两数列在整数区间[1，57]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，114]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时C1';、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，C1';、D1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D1';（C1';）的第1、2、3、… 数依次与C1';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，1+2=3，1+3=4，2+3=5，4+2=6，4+3=7，5+3=8，4+5=9，5+5=10，5+6=11，…，
56+54=110，54+57=111，55+57=112，56+57=113，57+57=114，…，ak+1+bk+1，…
这就证明了C1';、D1';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
22） C1';与D2';中，首先在任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
C1';为：1，2，4，5, 6，7，8，9，11，12，16，19，20，21，22，23，27，28，29, 30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,…
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38,40,42,43,46,47,48,50,52,53,54,55,56,57,59,60, …
由D2';（C1';）的第1、2、3、… 数依次与C1';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，2+1=3，1+3=4，4+1=5，1+5=6，4+3=7，5+3=8，6+3=9，7+3=10，…，55+57=112，
56+57=113，57+57=114，55+60=115，57+59=116，57+60=117，…
则 C1';、D2';两数列在整数区间[1，57]、[1,60]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，117]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时C1';、D2';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时，C1';、D2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D2';（C1';）的第1、2、3、… 数依次与C1';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，2+1=3，1+3=4，4+1=5，1+5=6，4+3=7，5+3=8，6+3=9，7+3=10，…，55+57=112，
56+57=113，57+57=114，55+60=115，57+59=116，57+60=117，…，ak+1+bk+1，…
这就证明了C1';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
23） C2';与D1';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
C2'; 为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,…
D1';为：1，2，3，5，6，8,9，12，13，14，15，16，17，19，20, 22，24，27，28，31, 34,35,37,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,52,54,57,…
由D1';（C2';）的第1、2、3、… 数依次与C2';（D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2，2+1=3，3+1=4，4+1=5，5+1=6，4+3=7，3+5=8，6+3=9，…，54+57=111，55+57=112，
56+57=113，57+57=114，…
则C2'; 、D1';两数列在整数区间[1，57]、[1,57]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，117]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时 C2'; 、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时， C2'; 、D1';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D1';（ C2'; ）的第1、2、3、… 数依次与 C2'; （D1';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2，2+1=3，3+1=4，4+1=5，5+1=6，4+3=7，3+5=8，6+3=9，…，54+57=111，55+57=112， 56+57=113，57+57=114，… ，ak+1+bk+1，…
这就证明了C1';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
24） C2';与D2';中，任给整数区间[1，a]、[1,b]上两数列的所有两数相加：
C2'; 为：1，2，3，4，5,6，10，11，12,13，14，16，17，19,20, 21，25， 26，27，30, 32,33,37,40,41,43,44,46,48,50,54,55,56,57,…
D2';为：1，3，4，5,7，8，12，13,14, 15，17，21，22，24，25, 26，29，31, 34, 35, 38,40,42,43,46,47,48,50,52,53,54,55,56,57,59, …
由D2';（C2';）的第1、2、3、… 数依次与C2';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，可得
1+1=2,2+1=3，3+1=4，4+1=5，5+1=6，6+1=7,5+3=8,2+7=9,3+7=10,…,56+56=112,
54+59=113,55+59=114,56+59=115,57+59=116,…
则C2';、D2';两数列在整数区间[1，57]、[1,59]上的所有两数相加，得连续整数区间[2，116]，命题成立；
逐次放大区间，假设在第k次放大时 C2';、D1';两数列在整数区间[1，ak]、[1,bk]上所有两数相加，得整数在区间[2，ak +bk]上命题成立，那么在第k+1次放大时， C2'; 、D2';在区间[1，ak+1]与[1， bk+1]上，由D2';（C2';）的第1、2、3、… 数依次与 C2';（D2';）的第1、2、3、… 数两两相加，或交错两两相加，必可得
1+1=2,2+1=3，3+1=4，4+1=5，5+1=6，6+1=7,5+3=8,2+7=9,3+7=10,…,56+56=112,
54+59=113,55+59=114,56+59=115,57+59=116,…，ak+1+bk+1，…
这就证明了C1';、D2';两数列在第k+1次放大区间时所有两数相加，得连续整区间[2，ak+1+bk+1]，命题成立；
由宏观到微观、再由微观到宏观的一个局部过程，错综其数，两两相加，演绎推理，分析归纳，放大区间，逐次证明，依据象性直觉思维规律最后整体综合，此时命题乃至无穷亦为真。
五 最后证明中的区间归纳法
[数学归纳法] 对于与自然数n有关的公式，即从某一数起后面所有自然数都成立的公式，有时可用数学归纳法来证明，其步骤如下：
1） 验证n取第一个值n0 （如 n0 = 0，1或2等）公式成立；
2） 假设当n=k时公式成立，验证当n=k+1时公式也成立。
因为公式当n=n0时成立，所以由2）可知，当n=n0 +1时公式也成立，再由2）可知，当n=n0+1+1=n0+2时公式也成立，如此继续推下去可知，对一切大于n0的自然数n公式都成立。
[区间归纳法] 余新河先生在研究哥德巴赫（Christain Goldbach）猜想的过程中推导出如下四组数列（每组两个，共八个数列）：A1和A2，B1和B2，C1和C2，D1和D2 ，由于数列的通项公式是二元变量k 、p表述的公式，它们每一个数列实质上有无穷多个无穷等差数列，已证得四组对偶数列（每组两个，共八个：A1';和A2';，B1';和B2';，C1';和C2';，D1';和D2';），待证结论为：四组对偶数列不同组的所有两个数列的所有两数相加可得到除1以外的自然数列。
我在这几年研究证明余新河数学题的过程中，找到了逐次放大区间的方法，即文中称之的“区间归纳法”，其步骤如下：
1）验证不同组的两对偶数列在第一次取较小整数区间[1，a]、[1，b]（如[1，12]与[1，10]等），两数列所有两数相加得连续整数区间[2，a+b]命题成立；
2）假设当第k次放大整数区间总可取到[1，ak]、[1,bk]（a＜ak，b＜ bk）时，两数列所有两数相加得连续整数区间[2,ak+bk]命题成立 ,验证第k+1次放大整数区间为[1，ak+1]、[1,bk+1]（ak＜ak+1，bk＜ bk+1）时，两数列所有两数相加得连续整数区间[2,ak+1+bk+1],命题也成立。
因为当第k次放大整数区间总可取到区间[1，ak]、[1，bk]， 两数列所有两数相加得连续整数区间[2,ak+bk]命题成立，所以由2）可知，当第k+1次放大整数区间取[1，ak+1]、[1,bk+1]时两数列所有两数相加得连续整数区间[2,ak+1+bk+1],命题也成立，再由2）可知，当第（k+1）+1=k+2次放大整数区间取[1，m]、[1，n]时，两数列所有两数相加得连续整数区间[2,m+n]命题亦成立，如此继续推下去乃至无穷，可知对一切任意大的区间[1，M]、[1，N]上两数列所有两数相加得连续整数区间[2，M+N]命题仍成立，故不同组的所有两个数列的所有两数相加得都可得到除1以外的自然数列。
棕上所述，余新河数学题得证。 :em01: [/watermark] |
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发表于 2008-10-10 10:08
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