探索椭圆与双曲线的共性

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探索椭圆与双曲线的共性

原创 邵勇老师 数学教学研究 2024-03-27 10:42 北京

邵勇讲数学......

曾经于 2019 年 05 月 30 日发送过一篇名为“椭圆围城与圆型观光步道”的文章，在那里，讲述了椭圆互相垂直的两条切线的交点的轨迹是一个圆，如下图所示。这个圆以椭圆中心为圆心，半径为 (a^2+b^2) 的平方根。这个圆的方程为 x^2+y^2=a^2+b^2 。



把椭圆方程中的 b^2 换成 -b^2 ，就得到双曲线方程。如果在圆的方程中，也把 b^2 换成 -b^2 ，那么是不是所得方程就是双曲线的互相垂直的两条切线的交点的轨迹？答案基本上是肯定的，但是有条件，就是 a＞b 。轨迹如下图绿色弧线所示。



所以，不管是椭圆还是双曲线，在已知 a 和 b 的情况下，都可以直接作出圆。但是如果不知道椭圆或双曲线的 a 和 b 呢？我们有什么其他办法作出这样的轨迹——圆？

也是在 2019 年 05 月 30 日发送过的那篇名为“椭圆围城与圆型观光步道”的文章中，我讲述了椭圆情况下这样的圆是怎么作出来的。下面是简单过程，然后类比这一过程，我们将类似地给出双曲线情况下这样的圆的作图过程。

（1）椭圆

① 随便作出椭圆的一条切线（这个不难，如下图中切点为 A 的椭圆切线）。

② 作焦点 F1 关于这条切线的对称点 C 。连接 CF2 ，以 CF2 为直径作圆，与切线交于点 P（另一点先不考虑）。过点 P 作切线 AP 的垂线，则这条垂线一定是椭圆的切线。

③ 点 P 的轨迹就是符合要求的图形，即一个以 O 为圆心，半径为 (a^2+b^2) 的平方根的圆。



（2）双曲线

① 随便作出双曲线的一条切线（这个不难，如下图中切点为 A 的切线）。

② 作焦点 F1 关于这条切线的对称点 C 。连接 CF2 ，以 CF2 为直径作圆，与切线交于点 P 。过点 P 作 AP 的垂线，则这条垂线一定是切线，图中点 B 为切点。

③ 点 P 的轨迹就是符合要求的图形，它是一个以 O 为圆心，半径为根号下 (a^2-b^2) 的两段圆弧，如下图中绿色粗实线圆弧。另外两段细虚线圆弧则与双曲线的共轭双曲线对应。



（3）其实，对椭圆来说，在椭圆与圆之间存在一个活动的矩形，如下图所示。



（4）而对于双曲线，存在一个“无穷大矩形”，如下图所示。



先简单写这些吧。