阿基米德多面体（1）

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阿基米德多面体（1）

原创 刘瑞祥 遇见数学 2024-03-25 20:15 河南

完全由正多边形作为表面构成的简单凸几何体（“简单”的意思是几何体没有“洞”，如果其表面由薄膜组成，则向内充气后可以变成球体；“凸几何体”的意思是，任意无限延展其中一个面，整个几何体位于这个平面的同侧），包括这样几种：

1. 完全由同种正多边形组成，且各个顶点处情况相同的正多面体，共有 5 种；

2. 上下底面均为正多边形，侧面为正方形的正棱柱，各顶点处的情况相同，有无数多种（上下底面为正方形的正棱柱即为正方体，不算在内）；

3. 上下底面均为正多边形，侧面为正三角形的反棱柱，各顶点处的情况相同，有无数多种（上下底面为正三角形的反棱柱即为正八面体，不算在内）；

4. 由两种或两种以上正多边形组成，各个顶点处的情况也相同，但不包括正棱柱和反棱柱，共 13 种；

5. 由两种或两种以上正多边形组成，但各个顶点处的情况不同，称为约翰逊多面体，共 92 种。

以上的第 4 种即为阿基米德多面体。这一类又可根据形成方式分为若干组，本文介绍的是其中的两组：

● 截半多面体：即将正多面体从各个棱的中间切掉一部分，但五种正多面体对应的截半多面体只有两种，因为正四面体截半的结果是正八面体，而正方体、正八面体截半的结果一致，正十二面体、正二十面体截半的结果一致；

● 截角多面体：将正多面体分别截掉顶角，共五种。

下面的各彩图，均由“遇见数学”提供，黑白图由刘瑞祥绘制。

截半正方体，截半正八面体 cuboctahedron




截半正方体，截半正八面体（只绘制了截半正方体的可见面，下同）

本几何体有六个正方形和八个正三角形，以及十二个顶点和二十四条棱。显然，若原正方体棱长为 1 ，则截半正方体的棱长为 √2/2 。若原正八面体棱长为 1 ，则截半得到的多面体棱长为 1/2 。







截半正十二面体，截半正二十面体 icosidodecahedron




截半正十二面体、截半正二十面体

本几何体有十二个正五边形的面和二十个正三角形的面，以及三十个顶点和六十条棱。若原正十二面体棱长为 1 ，则截半得到的多面体的棱长为 (√5+1)/4 。若原正二十面体棱长为 1 ，则截半得到的多面体棱长为 1/2 。







截角正四面体 Truncated tetrahedron


截角正四面体

本多面体有四个正三角形和四个正六边形，以及十二个顶点和十八条棱。显然，若原正四面体棱长为 1 ，则截得的多面体棱长为 1/3 。其余几种截角正多面体除具体截取位置外，截取方法大同小异（注意，一定要使剩余的面成为正多边形）。







截角正方体 Truncated cube


截角正方体

本多面体有六个正八边形和八个正三角形，以及三十六条棱、二十四个顶点。若原正六面体棱长为 1 ，则得到的多面体棱长为 √2-1 。









截角正八面体 Truncated octahedron


截角正八面体

本多面体有八个正六面体和六个正方形，以及二十四个顶点、三十六条棱。若原正八面体棱长为 1 ，则得到的多面体棱长为 1/3 。







截角正十二面体 Truncated dodecahedron


截角正十二面体

本多面体有十二个正十边形和二十个正三角形，以及六十个顶点、九十条棱。经计算，若原正十二面体棱长为 1 ，则本多面体棱长为 √5/5 。







截角正二十面体Truncated icosahedron


截角正二十面体

本多面体有二十个正六边形和十二个正五边形，及六十个顶点、九十条棱，足球以及著名的石墨烯（C60）即为此结构。若原正二十面体棱长为 1 ，则本多面体棱长为 1/3 。







可以这样描述阿基米德几何体的顶点：以下左图的截半正方体为例，每个顶点处（如图中的点 K ）有两个三角形，两个四边形，其顶点可以记作 3×4×3×4（本例中的三角形和四边形互不相邻，因此严格来说不能写作 3^2×4^2 ）。类似的，截角四面体的顶点可以记作 3×6^2 ，余者类推。



如果将左图中的几何体沿着 ABCDEF 各点剪开成为两部分，然后将其中之一绕自身的轴旋转 60 度，再与另一部分合在一起成为右图，则不能看做是阿基米德多面体，因为有的点组成情况不一样（例如右图中的 A 点和 K 点，请读者自行研究有何区别）。另外，本文介绍的第二种多面体，即截半正二十面体，貌似可以用类似方法改造，但详细的计算表明，这样生成的新几何体不是凸的。

以上结论请参见《立体几何技巧与方法》（何万程，孙文彩编，哈尔滨工业大学出版社 2014 年出版），但要注意的是，书里是以阿基米德几何体的棱长为 1 。

▼ 下面为本书第二版，2022 年 10 月出版