从有趣的 5 次方数说开去

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从有趣的 5 次方数说开去

原创 大院儿路人甲 数学大院 2024-02-21 06:00 北京

“若正整数 n 满足：

n^5=27^5+84^5+110^5+133^5，

求 n 的值。”

这是单墫教授“单说数学”公众号上的一道有趣的数学题。这个题目背后还有一段与欧拉有关横跨两百年的数学小故事。



我们常会碰到一些有趣的数学题，其中不乏有来自数学家们研究过程中的奇思妙想和深刻思考。这些题目不仅可以训练一个人的解题技巧，更可以让我们从中体会到数学家们探索未知的过程和乐趣。

今天这个关于“5 次方数”的问题源自于大数学家欧拉的一个猜想。

欧拉其人

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707年4月15日—1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。

1707 年 4 月 15 日，欧拉出生在瑞士巴塞尔一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶，喜爱数学。13 岁入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16 岁获得硕士学位。

欧拉是 18 世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

此外，欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。瑞士教育与研究国务秘书 Charles Kleiber 曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

有趣的 n 次方数猜想

欧拉无疑是人类史上最伟大的数学家之一，取得过很多的数学成就。其中，他曾提出了一个猜想：

至少 n 个 n 次方数之和才能等于一个 n 次方数。

之后漫长的时间里，人们对这个猜想一直束手无策。

经过了大约两百年，两个数学家找到了一个反例，推翻了这个猜想。只需要 4 个 5 次方数相加就能等于一个 5 次方数。

下图是他们提交发表的论文。这篇论文被称为“史上最短的数学论文”。



找到这个反例显然是非常困难的，不仅仅是经历了漫长的年代，还借助当时世界上最先进的大型计算机 CDC 6600 ，进行了长时间的计算。

论文中这个反例也就是我们在文章开头提到的数学题的源头，只不过这个题的难度大大的降低了。

如果已知其中 4 个正整数，只要具备一些初等数学知识，我们就可以通过不算复杂的推导从而得到第 5 个正整数。有兴趣的朋友，可以尝试独立解答。最后，我们把单墫教授手书的解答放在文末来结束这篇推文。



本文由大院儿路人甲编写，部分内容节选自百度百科。

来源：数学大院

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\[95800^4+217519^4+414560^4=422481^4\]