17 世纪，微积分是牛顿和莱布尼茨提出的，为什么回答不上一个哲学家指出的一个疑问？

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17 世纪，微积分是牛顿和莱布尼茨提出的，为什么回答不上一个哲学家指出的一个疑问？

原创 Masir123 科学羊 2024-01-24 07:24 发表于广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 19 篇。

上一篇我们详细谈了芝诺悖论的问题，其实这个问题的本质是当时的数学大厦还在地基阶段，很多概念如“无穷小”都还没有被定义，所以芝诺的问题难以解答。

今天我们再来聊聊这些奇怪的悖论是如何被解释的，以及它们对现实世界的深远影响。

17 世纪，有许多科学问题需要解决，但是总结下来其实也就 4 种：

第一类：关于运动学的问题。

主要是求瞬时速度的问题，因为很容易通过 V=S/t 来计算平均速度，但是某一时刻的速度不知道怎么求。

第二类：求曲线的切线的问题。

光学是 17 世纪的一门较重要的科学研究，比如透镜设计要考虑曲线的法线，也就是求切线的问题。

第三类：求最值问题。

生活和生产中遇到大量求最大值和最小值的问题。

第四类：求曲线弧长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等问题。

这些问题也就成了促使微积分产生的时代背景！

让我们把时光回到 17 世纪的牛顿时代，那时候，也不知道是什么灵感导致让牛顿巧妙运用了无穷小这个概念，开创了“流数”这一理论。

而这个开创的初衷其实就是为了解决物理问题即——关于瞬时的问题。

也就是说，他用它来研究函数如何变化，进而揭示了物体运动的瞬间规律。

在牛顿之前，物理世界对于质量、重量、速度、加速度、动量和动能等基本概念还一片模糊。

牛顿，这位科学巨人，第一次明确界定了这些物理量，其中最引人注目的莫过于速度的定义。

让我们穿越时空，一起理解速度的奥秘。

假如你在 2 小时内行走了 10 公里，那么你的速度 V ，按照定义，是每小时 5 公里。

更精确地说，它是位移距离 ΔS（10 公里）除以所花时间 Δt（2 小时），即 V=ΔS/Δt ，但这仅仅是平均速度。

如果你以这样的速度从公司走到家，这里的每一分每一秒速度实际上是在不断变化的。

那么，如何计算某一时刻的具体速度呢？

牛顿引入了一个革命性的概念：当时间间隔 Δt 接近零时，我们得到的速度，就是那一瞬间的速度。



这一点可以通过一个简单的图表来解释。

想象一个图表，横轴表示时间的变化，纵轴表示距离的变化。

如果从时间 t0 点开始计时出发，经过 Δt 时间后，移动了 ΔS 距离。在那一点的速度大致是 ΔS/Δt ，也就是图中红色的三角形斜边斜率。

当 Δt 逐渐减小，ΔS 也会相应减少，这个时候 ΔS/Δt 的比值则更接近 t0 那一刻的速度。

当 Δt 趋于 0 时，时间-距离曲线在 t0 点的切线斜率，就是 t0 时刻的瞬间速度。

牛顿通过这种方式，为我们提供了一个理解速度的新视角。

瞬间速度其实反映了在某一点上距离的变化率。

那么我们为何要理解瞬间速度呢？因为在许多实际应用中，比如研究炮弹的出膛速度，或者交通事故中汽车的速度，我们关注的正是这种瞬间速度。

这一概念的引入，也为我们解释了古希腊哲学家芝诺的第三个悖论——飞箭悖论提供了答案。

芝诺其实是混淆了瞬间位移和瞬间速度之间的差异。



他注意到，当时间间隔 Δt 趋于 0 时，箭头飞行的距离 ΔS 也趋近于零，但是它们的比值——速度，并不是零。

牛顿不仅应用这种数学方法于线性运动，还将其推广到任意曲线。他将曲线上某一点的变化率定义为一个全新的数学概念——流数，也就是我们今天所称的导数，从而奠定了微积分的基础。

导数的提出，不仅在物理学上建立了各种物理量之间的关系，比如速度是位移曲线的导数，加速度是速度的导数，动量是动能的导数，而且在经济学上也有重大应用，比如经济增长率是 GDP 的导数，增长率的增速则是增长率的导数。

导数的概念在我们日常生活中随处可见，虽然我们可能对这个术语并不熟悉。它使人类从了解平均规律迈向了掌握瞬间变化的规律，这是一次重大的认知升级。

然而，尽管牛顿对速度的定义在物理上易于理解并广为接受，但在数学上却存在一个小漏洞：对无穷小概念的不够清晰的解释。具体来说，就是 Δt 能否等于零的问题。

对此，牛顿和微积分的另一位创始人莱布尼茨都未能给出明确的答案。

虽然那个时代的数学水平没有今天高，大多数人看不出其中的问题，但逻辑严谨的学者贝克莱却向牛顿提出了质疑。

贝克莱，这位在哲学界声名显赫的人物，其在中国哲学课中的代表名言是“存在就是被感知”。

尽管在国内学习微积分和科学史时，他被嘲笑为不懂微积分，孤立静止地看待世界，但在西方世界，他却是一位备受尊敬的哲学家和学者。

贝克莱对牛顿的挑战源自于宗教观点的不同。

作为一位天主教的大主教，贝克莱发现了牛顿理论的一个小漏洞，并因此质疑牛顿：无穷小的时间 Δt 究竟是不是零？

如果是零，它不能成为分母；

如果不是零，计算得出的则仍是平均速度，而非瞬间速度。

这个问题，牛顿回答不上来！

贝克莱提出的问题虽小，却引发了第二次数学危机，这次危机的根本在于无法在逻辑上清楚地解释无穷小是什么。

那么，这个问题的重要性有多大呢？我们可以从两个角度来理解：

第一是从数学逻辑的重要性角度；

第二是从无穷小这个概念本身的重要性角度；

我们知道，微积分的意义是，让人类的认知从静态或者宏观变化进入到把握瞬间动态变化和加速变化，这是人类认知的一大飞跃。有了它，近代的物理学和天文学，以及后来的古典经济学，才得以建立。

而关于解决第二次数学危机的，并非牛顿和莱布尼茨，而是 18 及 19 世纪的一大批数学家解决了这个问题，尤其是法国伟大的科学家柯西和德国的魏尔斯特拉斯。

好，今天就先这样啦～

祝幸福～

参考文献：

[1].《吴军*数学通识》

[2]. 图片来自得到*数学通识

科学羊  2024/01/24