什么是拉格朗日乘子法

luyuanhong

什么是拉格朗日乘子法

原创 小黑黑讲AI 小黑黑讲AI 2023-11-27 20:19 发表于北京

大家好，今天要讲的内容是，拉格朗日乘子法。

不管你是中学生还是大学生，拉格朗日乘子法，都是需要了解的数学方法。



中学生学习，可以让老师和同学们刮目相看，大学生学习，是因为考试肯定考，而且它是很多算法的理论依赖。

下面我们用一个中学数学问题，来说明这个数学方法。

已知某长方体：



它的表面积等于 a 的平方。

求：在表面积固定是 a 平方的情况下，长方体最大可能的体积是多少？

这个问题看似简单，不过只要深入的想想，就发现并不简单。

设长方体的长、宽、高分别是 x ，y ，z ，体积 V =xyz 。

长方体的表面积是六个面的面积和，也就是 S = 2xy+2xz+2yz = a^2 。

因此，我们希望求出，在 S = a^2 的情况下，体积 V 最大可能的值是多少？

中学阶段学的不等式：



可以解决这个问题。

不过咱们要使用高等数学中的拉格朗日乘子法解一下：



再说中学的代数方法。

1. 什么是拉格朗日乘子法

拉格朗日乘子法，英文 Lagrange Multiplier Method ：



是数学优化中广泛使用的技术，它用于基于给定的约束条件，求解函数的极值。

使用拉格朗日乘子法，可以将一个包括 n 个变量的函数 f ，和有 k 个等式约束条件 g 的最优化问题：



转换为一个包含 n+k 个变量的无约束的函数求极值问题：



转换后的函数 L ，包括了原函数 f 和 λ*g 两部分。

其中的变量是 x1 到 xn ，λ1 到 λk ，它们不受任何条件约束。

因此我们可以直接使用导数求解函数 L 的极值。

例如，已知关于 x 的函数 f(x) ，它是我们想要计算最小值的函数。

该函数有 g1(x)=0 、g2(x)=0 等等到 gk(x)=0 ，一共 k 个等式约束条件：



在使用拉格朗日乘子法时，我们引入 k 个参数，λ1 、λ2 等等到 λk 。

这 k 个参数即为 k 个拉格朗日乘子，每个乘子都对应了一个约束条件 g ：



k 个乘子 λ ，将 k 个等式约束条件 g ，与原函数 f(x) 联系到一起，

一起组成了拉格朗日函数 L(x,λ) ：



为了求出函数 L 的极值，我们需要求函数 L ，关于 x 和 k 个 λ 乘子的偏导数，并令它们同时等于 0 ：



此时，得到了一个 k+1 元的方程组：



其中未知数是 x 和 λ1 到 λk 。

接着，求出这个方程组的解，它们就是函数取得极值点时，函数中各个变量对应的值。

总结来说，通过拉格朗日乘子法，我们将有限制条件的极值问题，换转为了无限制条件的极值问题。

2. 拉格朗日乘子法求体积的最大值

回到已知长方体表面积，求体积最大值这一问题：



该问题，就是求函数 V = xyz ，在等式 S = 2xy+2yz +2xz = a^2 约束条件下，的最大值。

设该问题的拉格朗日函数为 L(x,y,z,λ) ：



在该函数中，xyz 是原函数，λ 为拉格朗日乘子，2xy+2xz+2yz-a^2 是约束条件。

我们要求函数 L 关于变量 x、y、z 和 λ 的偏导数，求出后，令它们等于 0 。



此时，我们会得到了一个 4 元方程，继续解出该方程组的解就可以了。

分析这个 4 元方程：



由于 x 、y 、z 代表长方体的边长，因此它们都是正数。

此时，使用方程 2 除以方程 1 ，方程 3 除以方程 2 。

这样会得到 2 个新的等式：

1) x/y = (x+z)/(y+z)

2) y/z = (x+y)/(x+z)

继续化简：



可以得到，x = y ，y = z 。

接着，将 x = y = z 代入第 4 个方程：



就得到了 6x^2 = a^2 。

从而解出 x 、y 、z 。

这个点就是函数 V = xyz 取得最大值的位置。

这样我们就得到了，如果长方体的表面积固定：



那么长方体是一个正方体时，体积最大。

3. 中学数学方法

在中学阶段，我们并不讨论多元函数和偏导数，此时只能用不等式来推导。

首先，使用 x , y , z ，表示出 V 和 S ：



并根据算术平均数、几何平均数和平均乘积之间的关系进行推导：



根据不等式：



有 xy+yz+xz = 1/2 a^2 ，大于等于 3 倍的 x^2 y^2 z^2 的立方根。

接着，继续化简，得到 xyz 的平方小于等于 1/6 a^2 的 3 次方。

这样就计算出了体积的最大值 V 。

可能有的同学会认为不等式的方法比拉格朗日乘子法简单。

但后者是一个通用方法，无需使用任何数学技巧，就可以直接解决等式条件约束的极值问题。

那么到这里，拉格朗日乘子法就讲完了，感谢大家的观看，我们下节课再会。