对高斯作圆内接正十七边形方法的深入研究

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对高斯作圆内接正十七边形方法的深入研究

原创 邵勇老师 数学教学研究 2023-12-02 11:16 发表于北京

高斯用了非常高明的方法，使得用直尺和圆规作圆内接正十七边形成为可能。据说他给了方法，但并没有留下具体的作图步骤。理论上都已经解决了，具体作图当然没有问题。后面我会完全依据高斯的方法给出作图全过程。



不管是作正五边形，还是作正十七边形，高斯都应该用到了素数的原根的概念。

原根：素数 p 的原根 g 是指，使得同余式



得以成立的最小的 e 必须为 p－1 。

比如，素数 p=11 。那么，11 的原根有哪些呢？实际上 11 只有四个原根：2,6,7,8 。下面以其中 7 这个原根为例，详细且一目了然地说明 7 为什么是 11 的原根。7的 1 次幂，7 的 2 次幂，…… ，一直到 7 的 9 次幂，都不能与 1 同余（mod 11），只有 7 的 10 次幂，即 11－1 次（按定义就是 p－1 次），才能与 1 同余。所以，7 是 11 的原根。



注意，这时，7 的 1 次幂、7 的 2 次幂、…… 、一直到 7 的 10 次幂，它们关于模 11 的余数分别是 7,5,2,3,10,4,6,9,8,1 ，即小于模 11 的全部正整数 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 悉数出场，虽然不是自然顺序。对其他素数及其原根，这种情况是普遍的。

3 不是素数 11 的原根，因为虽然 3 的 10 次幂与 1 同余（mod 11），但 3 的 5 次幂（243）也与 1 同余（mod 11），不符合原根的定义中“最小的 e 必须是 p-1 ”的要求。（那么，不难验证，素数 5 有两个原根 2 和 3 。而素数 17 有 8 个原根：3，10，5，11，14，7，12，6）。







于是，用这个深刻的思想，高斯也实现了正十七边形的作图。下面给出按照高斯的思路作正十七边形的全过程（后来的很多方法都是在高斯方法之上改进了的，本质上都属于高斯）。

作图人追求在圆本身及周边作图，我下面这张图也是尽量让作图过程往一块凑。这张图不是很简洁，但结合作图过程的文字说明，还是很清楚的。下面是作图过程。



第一步：作一个单位圆，圆心为 O 。我们最终要将其十七等分的圆就是这个单位圆。

第二步：以单位圆的一条半径 OA 为一条直角边，作一个另一直角边 OB 为 4 的直角三角形 AOB 。如上图所示。于是 AB 就等于根号 17 。

第三步：用根号 17 减去 1 ，再除以 2 ，得到长度为 u1 的线段，图中单位圆左上方。

第四步：用根号 17 加上 1 ，再除以 2 ，得到长度为 |u2| 的线段，图中单位圆左下方。



（注：u1 和 u2 是按原根方式得到的单位根奇数项的和及偶数项的和：

    u1 = z1+z3+z5+z7+z9+z11+z13+z15

    u2 = z2+z4+z6+z8+z10+z12+z14+z16

其中



那么 u1+u2=-1 ；u1u2=-4（直接去计算，然后思考为什么）。从而 u1 和 u2 就是一元二次方程 x^2+x-4=0 的根，而判别式 Δ=1-4×1×(-4)=17＞0 ，有两个实数根，就是上面给出的那两个，并且它们是由实数的加、减、乘、除及正实数的开平方运算的有限次组合，故可尺规作图。 )

第五步：根据比例关系 1:a=a:a^2 ，可以分别作出 u1^2 和 u2^2 的长度，如图中 EC 和 HD 所示。

第六步：分别作出 u1^2+4 和 u2^2+4 的平方根（根据相交弦定理）。于是再作出下面 v1 和 v2 的长度也不成问题：



（注：这一步作图的原理是什么？提示：把 u1（共 8 项）再分成两个四项一组，怎么分组，仍然是取奇数项和偶数项，这里不写了，你可以试一试。）

第七步：根据下面两式作出 w1 和 w2 的长度：



第八步：在单位圆上作出表示 w1 和 w2 的点，作线段 Ow1 和 Ow2 的中垂线，两条中垂线与圆交于四个点，这四个点分别是 ε1、ε4，ε13 和 ε16 ，其中 ε1 和 ε16 及 ε4 和 ε13 都关于 x 轴对称。有了它们，当然其他十七等分点也就不难得到。于是圆内接正十七边形就作出来了。



有关圆内接正十七边形作图，还有一些可说。比如，你可能会觉得上图中单位圆太小，能否在更大一些的圆中作正十七边形？可以的，作一个半径为 4 且与单位圆同心的圆，也就是上图中以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆。作 x=2w1 的点 w1' 。则过 w1' 与 x 轴垂直的直线与大圆交于两点，这两点就是大圆的两个十七等分点，它们是一对共轭点，且到圆与 x 轴的交点的弧长，都是圆周的十七分之一。这一作法是因为 ε1 的实部的两倍是 w1 ，w1 的两倍是 w1' ，所以的 ε1' 的实部是 ε1 的实部的四倍，而两个圆半径的关系也是四倍的关系。



另有一种方法，是对高斯方法深入研究后找到的更加简便的方法，可以直接在任意一个圆上，通过七步，就直接找到 ε1 。



第 1 步：我们要对其进行十七等分的圆周为图中半径为 OB 的绿色圆 O 。作直角三角形 AOB ，其中 OA 为另一条直角边，其长度为半径 OB 的四分之一。

第 2 步：以点 A 为圆心，以 AB 为半径作圆弧，与垂直于 OB 的直线交于 C 和 D 两点。连接 BC 和 BD 。

第 3 步：以 C 为圆心，以 BC 为半径作圆弧，与 OC 的延长线交于点 E 。以 D 为圆心，以 DB 为半径作圆弧，与 DO 的延长线交于点 F 。

第 4 步：取 EO 的中点 N ，得线段 EN（图中橙色）。

第 5 步：以 FG 为直径作半圆，与半径 OB 交于点 H ，得到线段 OH 。

第 6 步：以点 H 为圆心，以 EN 长为半径作圆弧，与 OD 交于点 J ，于是得到线段 OJ（图中绿色）。延长 OJ 到 K ，使 JK 等于 EN 。

第 7 步：取 OK 的中点 M 。过点 M 作 OK 的垂线，与圆交于两点。这两个点就是圆的两个十七等分点。它们之间隔着另一个十七等分点 ε0（或 ε17 ）（图中点 G ）。

最后回顾一下上面用到的尺规作图基本方法：

① 四个数成比例，知道其中任意三个，可以作出第四个。

② 求一条线段的开平方，可以让这条线段与一条长度为 1 的线段首尾相连且位于同一条直接上，以两线的和为直径作半圆，过连接点与线段垂直的直线，夹于半圆和线段之间的线段的长度就是已知线段的开平方。其实就是相交弦定理。

以上两条本质上是相似三角形对应边成比例。

③ 勾股定理。从任意两边可求出第三边。



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