灰狼解北京大学怀新一题——韦东奕的乘积不等式（面向高中、大一学生）

luyuanhong

灰狼解北京大学怀新一题——韦东奕的乘积不等式（面向高中、大一学生）

原创 大镇做题灰狼 灰狼君的月光小社 2023-12-02 06:02 发表于广东

前段时间，北京大学国际数学中心推出了一个怀新一题项目。

邀请各大数学家出题，开放给海内外大中小学生和数学爱好者解答。其中，最为出圈的就是此题——韦东奕老师出的乘积不等式。



这道不等式题目，以其叙述简洁，方法深刻出名。其中用的方法不过大学一年级的泰勒级数，寻找取等条件时的推理更是让人感受到了数学中的简洁美。

下面，我给出我的解答。



韦东奕在评论中也说到，本题的解法思路几乎是唯一的，比较固定，需要我们熟练掌握 ln(1+x)-ln(1-x) 的泰勒展开式，并且巧妙地将离散和连续结合，利用所有数都落在收敛域 (-1,1) 中，得到我们想要的平方式，之后，不等式的证明是易如反掌的。

不过，我标题中说此题可以面向高中生和大一生，是因为，如果知道泰勒级数，配出平方是容易的。

但是其中的二重西格玛求和符号和，三个西格玛求和符号换序的问题值得大家琢磨，这里可以换序吗？

找取等条件并不是一目了然的，尽管我们容易知道 (0,0,…,0) 是一组条件，并且多对相反数之和也是一组条件。

我们这里采用逐步讨论的方法，注意到这里是有限项，我们的依此类推必然会在有限步内停止，于是可以说明，只有相反数出现在 n 个数中次数一样，才满足。并且容易验证这个条件的充分必要性。

以后可能会继续出北大怀新一题的讲解，敬请期待！