Witt｜另一个欧拉定理

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Witt｜另一个欧拉定理

原创 Witt ECONOMICS RULES 2023-10-09 07:57 发表于重庆



欧拉简介

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707 年 4 月 - 1783 年 9 月 18 日）是瑞士数学家、物理学家、天文学家、地理学家、逻辑学家和工程师，他创立了图论和拓扑学的研究领域，并在数学的许多其他分支如解析数论、复分析和无穷小微积分等方面做出了开创性的贡献。他引入了许多现代数学术语和符号，包括数学函数的概念。他还因在力学、流体力学、光学、天文学和音乐理论方面的研究而闻名。



欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，也是 18 世纪最伟大的数学家。皮埃尔·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）表达了欧拉对数学的持久影响力，他说:“读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的大师。”数学王子卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）写道:“对欧拉著作的研究仍将是各个数学领域最重要的工作，没有任何东西可以取代它。”欧拉也被广泛认为是最多产的数学家；他的 866 件出版物以及他的通信被收集在 Opera Omnia Leonhard Euler 中，完成后将包括 81 卷四开本。成年后他的大部分时间是在俄罗斯的圣彼得堡和当时普鲁士的首都柏林度过的。

欧拉因推广了希腊字母 π 来表示圆的周长与其直径之比，并首次使用符号 f(x) 来表示函数，用字母 i 来表示虚数单位 √- 1 ，用希腊字母 ∑（大写 sigma）来表示求和，用希腊字母 Δ（大写 delta）来表示有限差分，用小写字母来表示三角形的边，同时用大写字母来表示角度。他给出了常数 e 的当前定义，自然对数的底数，现在称为欧拉数（Euler's number）。

欧拉公式



那欧拉公式一般应用在什么地方呢？举几个例子。

Problem 1（2011 AMC 10 B Problem 23）

2011^2011 的百位数字是多少？

思路：这个数字非常大，但可以通过欧拉公式进行化简，求百位数字其实是求模 1000 的余数。

解：



Problem 2（2016 AMC 12 B Problem 25）



思路：先根据 an 的通项关系，通过两边取对数化成线性关系，然后求出新数列的通项公式，然后利用欧拉定理求解。

解：



总结

数论领域的欧拉定理虽然不如最美数学恒等式的欧拉公式出名，但该定理也是数论领域的基础定理，也是最重要的定理之一。这两个恒等式一样的简洁，却也一样的优美，不得不说，欧拉本人即神的杰作。