欧拉是如何解决巴塞尔问题的

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欧拉是如何解决巴塞尔问题的

原创 杜先伟 MathSpark 2023-11-10 08:00 发表于北京

我在学习数学分析的时候会见到巴塞尔问题，事实上它跟数论也会有一些关系，这个问题最早是由意大利数学家 Peitro Mengoli 于 1644 年提出的。裴特罗因其在许多无穷级数方面的工作而备受推崇，包括证明了著名的调和级数是发散的，也发展了很多重要的结果，这些结果后来构成了牛顿和莱布尼茨微积分的基础，在他研究不同无穷级数的过程中，他无法找到下面提到的无穷级数之和。



这样一个问题，通常被称为巴塞尔问题（一系列问题，这只是其中一个）。大家都知道对于无穷级数会存在收敛和发散的问题，好在这个级数的收敛性（即存在一个有限的和）证明起来不是很困难。主要是利用单调有界定理。



解决了收敛性的问题后，我们仍然想要知道这个级数和的确切数值。根据数学史，第一批研究这个问题的世界级数学家是瑞士兄弟雅各布·伯努利和约翰·伯努利。多年来，他们试图解决这个系列，但没有成功。莱布尼茨也曾经致力于解决这个问题，但也没有得到解决方案。1721 年，丹尼尔·伯努利——约翰伯努利的儿子——声称这个级数和是 8/5 ，他给哥德巴赫写了封信。之后，哥德巴赫回复了他的信，并声称该值肯定在 1.64 到 1.66 之间。如果你不断地加起来这个级数的每一项，你会发现这个级数收敛的非常慢，正因为如此慢的收敛性质，使得数学家难以找到解决方案。

这一切直到 1735 年，莱昂哈德·欧拉提出了这个问题的完整解决方案，指出总和为 π^2/6 。而当时欧拉年仅 28 岁，由于许多伟大的数学家都在为这个问题而苦苦挣扎，这给欧拉带来了许多声誉。欧拉的想法后来被被黎曼在 1859 年的论文《论小于给定大数的质数个数》（On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）中所采用，在这篇论文中黎曼第一次定义黎曼 ζ 函数，并证明了它的一些基本的性质。

欧拉解决这个问题的想法是聪明且新颖的，但是很遗憾是不严格的，不过这种不严格更多的是由于技术上的原因，他使用的操作在欧拉当时的年代没有办法严格证明，而这份空白在 100 年后由我们高大魁梧的卡尔·魏尔斯特拉斯发展了最终验证欧拉论点的基础理论。至此证明才算圆满。

我们不妨看看当时欧拉新奇的想法，他主要注意到 sin(x) 这个函数有无穷多个零点，于是借助因式分解欧拉写下：



通过这样的式子我们发现 x^3 项前面的系数正好是我们要求和的项，那么再由麦克劳林级数展开：



我们比较 x^3 次方前面的系数：



就得到巴塞尔问题的解，在今天我们已经能够使用各种各样的方法来求和，但是欧拉的想法在当时却是新颖奇特的，但是你能看出欧拉从哪里开始不严谨的吗？如果你能看出，证明你已经开始对分析有一点点感觉了。那么今天这期简短的分享就到这里。


欧拉

Nicolas2050

欧拉直接把 sin(x) 分解成无穷乘积的做法并不严谨，或者说欧拉并没有给出这样做的合理性证明。后来威尔斯特拉斯证明了这—分解是可行的。在柯西与魏尔斯特拉斯严谨化实数理论前，一元微积分充满了瑕疵。巴塞尔问题利用傅里叶级数的证明则直接用帕塞瓦尔恒等式可得。