世界级千禧难题“纳维–斯托克斯方程”：数学史上最复杂的公式！

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世界级千禧难题“纳维–斯托克斯方程”：数学史上最复杂的公式！

来源 | 《改变世界的 17 个方程》

作者 | [英] 伊恩·斯图尔特

译者 | 劳佳



它告诉我们什么？

它的外衣下就是牛顿第二运动定律。方程左侧是小流体区域的加速度。右侧是作用于它的力：压强、应力和内部体积力。

为什么重要？

它提供了一种非常准确的方法来计算流体的运动方式。这是无数科学和技术问题的关键特征。

它带来了什么？

现代客机、快速而安静的潜艇、以高速保持在赛道上的一级方程式赛车，以及针对静脉和动脉血流的医学进步。用于求解这一方程的计算机方法，称为计算流体动力学（CFD），被工程师广泛用于这些领域的技术改进。

从太空看，地球是一个闪闪发光、蓝白相间的美丽球体，有绿色和棕色的斑块，与太阳系中的任何其他行星（或者现在已知的绕其他恒星旋转的500多颗行星）都完全不同。“Earth”这个词会立即让你想到这一形象。然而在五十多年前，这个词带来的普遍印象是园艺里说的“一抔泥土”。在 20 世纪之前，人们看着天空，思考着恒星和行星，但他们是站在地面上的。人类飞行只不过是一个梦想，是神话和传说的主题。几乎没有人想到去另一个世界旅行。



一些勇敢的开拓者开始慢慢攀上天空。最早的是中国人。公元前 500 年左右，鲁班发明了木鹊，可能是一种原始的滑翔机。公元 559 年，新帝高洋将废帝的儿子元黄头（违背了他的意愿）绑在风筝上，让他从高空侦察敌人。元黄头幸存下来，但后来被处决了。随着 17 世纪氢气的发现，飞行的冲动传播到欧洲，启发一些勇敢的人乘气球升入地球大气层的下层。因为氢气容易爆炸，1783 年，法国兄弟约瑟夫–米歇尔·蒙戈尔菲耶（Joseph-Michel Montgolfier）和雅克–艾蒂安·蒙戈尔菲耶（Jacques-Etienne Montgolfier）公开展示了他们更安全的新想法——热气球。首先是无人驾驶试飞，然后是由艾蒂安驾驶飞行。

进步的速度和人类可以攀升的高度开始迅速提升。1903 年，奥维尔（Orville）和威尔伯·莱特（Wilbur Wright）利用飞机进行了首次动力飞行。第一家航空公司 DELAG（德国飞艇旅行公司）于 1910 年开始运营，使用齐柏林公司生产的飞艇载乘客从法兰克福飞往巴登–巴登和杜塞尔多夫。到 1914 年，圣彼得堡–坦帕航线在佛罗里达州的两个城市之间进行商业飞行，这一旅程在托尼·扬努斯（Tony Jannus）的“飞行船”上耗时 23 分钟。商业航空旅行很快变得司空见惯，喷气式飞机也随之而来：德·哈维兰“彗星”客机于 1952 年开始执飞定期航班，但金属疲劳引发了多次坠毁。自 1958 年推出以来，波音 707 成为市场领导者。



如今，普通人达到 8000 米的高度已是司空见惯，这是他们目前的极限，至少在维珍银河太空船开始低轨道飞行之前如此。军用飞机和实验飞机可攀升到更高的高度。太空飞行迄今还是个别远见者的梦想，但也开始成为一个看似可行的主张。1961 年，苏联宇航员尤里·加加林（Yuri Gagarin）在“东方一号”上首次实现载人环绕地球。1969 年，美国国家航空航天局的“阿波罗 11 号”任务把两名美国宇航员——尼尔·阿姆斯特朗（Niel Armstrong）和巴兹·奥尔德林（Buzz Aldrin）送上了月球。航天飞机于 1982 年开始运营，虽然预算限制使其无法实现快速返回、可重复载人的最初目标，但它与俄罗斯的“联盟号”宇宙飞船一起成为低轨道航天飞行的主力之一。“亚特兰蒂斯号”航天飞机已经完成了航天飞机计划的最后一次飞行，但已有新的运载工具（主要由私营公司制造）被纳入计划。欧洲、印度、中国和日本都有自己的太空计划和部门。

人类的这种切实的“攀升”，改变了我们对自己是谁，以及我们生活在哪里的看法——这也是“Earth”现在意味着这个蓝白相间的地球的主要原因。也许正是这两种颜色带来了人类新获得的这种飞行能力。蓝色是水，白色是云状的水蒸气。地球是一个水世界，有大洋、海、河流和湖泊。水最善于流动，而且往往流到不需要它的地方。流动可以是从屋顶上滴下的雨水，也可以是瀑布奔涌的急流。它可以是温和平顺的，也可以是汹涌湍急的——若没有尼罗河，它平稳流经的地方将变为沙漠；但它的六大瀑布却有着白浪翻涌的激流。

水（或者更普遍来说，任何流动的液体）形成的模式，引起了 19 世纪数学家的注意。当时他们得出了第一个关于流体流动的方程。飞行中的关键流体不如水那么容易看到，但也一样无处不在：空气。空气流在数学上更复杂，因为空气可以被压缩。通过修改方程以便应用于可压缩流体，数学家提出的科学——空气动力学让飞行时代最终到来。早期的先驱者可能是根据经验飞行，但商业客机和航天飞机之所以成行，是因为工程师已经完成了使之安全可靠的计算（除非发生偶然事故）。飞机设计需要深入了解流体流动的数学。流体动力学的先驱是著名数学家莱昂哈德·欧拉，他在蒙戈尔菲耶兄弟进行首次气球飞行的那一年去世。

多产的欧拉很少有不感兴趣的数学领域。有人说，他能有多面的天才产出的原因之一是政治，或者更准确地说，是避免政治。他曾为俄罗斯帝国叶卡捷琳娜二世的宫廷工作多年，而避免陷入可能造成灾难性后果的政治阴谋的一种有效方法，就是忙于数学，以至于没有人会相信他有任何时间去搞政治。如果他真是这么做的，那么许多精彩的发现都得感谢叶卡捷琳娜二世的宫廷。但我倾向于认为，欧拉之所以如此多产，是因为他的头脑就是这样的。他创造了大量的数学，因为他做不了别的事。

前人也研究过这个问题。2200 多年前，阿基米德研究了浮体的稳定性。1738 年，荷兰数学家丹尼尔·伯努利出版了《流体力学》（Hydrodynamica）一书，其中包含了流体在压强较低的地方流动得更快的原理。今天，人们经常引用伯努利原理来解释为什么飞机会飞：机翼的形状设计让空气沿上表面的流速更快，从而降低压强并产生升力。这种解释有点儿过于简单化，飞行中涉及许多其他因素，但它确实说明了基本数学原理与实际飞机设计之间的密切关系。伯努利把他的原理凝聚在了一个关于不可压缩流体中速度和压强的代数方程里。



1757 年，欧拉用他活跃的头脑研究流体流动，在《柏林科学院论文集》上发表了一篇文章：《流体运动的一般原理》。这是人类首次认真地尝试用偏微分方程来为流体流动建模。为了将问题限定在合理的范围内，欧拉做了一些简化的假设，特别是，他认为流体是不可压缩的，就像水，而不像空气，并且黏度为零——没有黏性。这些假设使他能够找到一些解，但也使他的方程变得不切实际。对于某些类型的问题，今天人们仍然在使用欧拉方程，但总的来说，它太过简化，没有太大实际用途。

两位科学家提出了一个更接近现实的方程。克劳德–路易·纳维（Claude-Louis Navier）是法国工程师和物理学家，乔治·加布里埃尔·斯托克斯（George Gabriel Stokes）是爱尔兰数学家和物理学家。纳维在 1822 年推导出了一个黏性流体流动的偏微分方程组；二十年后，斯托克斯就这个主题发表文章。由此得到的流体流动模型现在被称为“纳维–斯托克斯方程”（通常使用复数，即 Navier-Stokes equations ，因为方程是用向量表示的，所以它有几个分量）。这个方程非常准确，以至于现在工程师经常使用计算机求解，而不是在风洞中进行物理测试。这种技术被称为计算流体力学（CFD），现在已成为涉及任何流体流动的问题的标准：航天飞机的空气动力学、一级方程式赛车和日常乘用车的设计，以及人体内的血液循环或人造心脏。

我们有两种方式来思考流体的几何。一种是跟踪单个微小流体粒子的运动，看看它们往哪里去；另一种是关注这些粒子的速度：它们在任何瞬间运动的快慢和方向。两种方法密切相关，但除了数值近似外，这种关系很难厘清。欧拉、纳维和斯托克斯的一个重要见解，是认识到如果从速度入手的话，一切都看起来简单得多。流体的流动最好用速度场来理解：它在数学上描述了从空间一点到另一点，以及从一个时刻到另一个时刻，速度如何变化。于是欧拉、纳维和斯托克斯写下了描述速度场的方程，这样就可以计算流体的实际流动模式，至少是达到良好的近似。

纳维–斯托克斯方程的形式如下：



其中 ρ 是流体密度，v 是其速度场，p 是压强，T 是应力，f 代表体积力——在整个区域内而不仅仅是在表面作用的力。点乘是对向量的运算，▽ 是偏导数的表达式，即



这个方程是从基础物理学导出的。与波动方程一样，关键的第一步是应用牛顿第二运动定律，将流体粒子的运动与作用于其上的力关联起来。主要的力是弹性应力，它主要由两部分构成：由流体黏度引起的摩擦力，以及压强的影响，无论是正（压缩）还是负（稀薄）。其中还存在体积力，来自流体粒子本身的加速。结合所有这些信息，就导出了纳维–斯托克斯方程，它可以被看作在这一特定背景下动量守恒定律的描述。其背后的物理学是无可挑剔的，该模型也足够现实，能够包含大多数重要因素，这就是它为什么能够很好地适应现实。像所有传统的经典数学物理方程一样，它是一个连续模型：它假设流体是无限可分的。

这可能是纳维–斯托克斯方程与现实脱节的关键，但只有当运动涉及单个分子规模的快速变化时才会出现差异。这种小规模的运动在一个关键的背景——湍流下十分重要。如果你打开水龙头让水慢慢流出，水会形成顺滑的细流。然而如果把水龙头完全打开，你往往会得到一股汹涌而翻腾着泡沫的水。类似的泡沫流动也会发生在河流的急流中。这种效应被称为“湍流”，经常乘飞机飞行的人很清楚它在空气中发生时的影响：感觉飞机好像正在一条颠簸的道路上行驶。



纳维–斯托克斯方程解起来很困难。在真正快速的计算机被发明出来之前，这个方程实在是太难解了，导致数学家们被迫采取了各种捷径和近似方法。但是如果你想想真正的流体可以做什么，它应该很难。你只需要观察溪流中流动的水，或拍打海滩的海浪，就会知道流体可以以极其复杂的方式流动。有涟漪和涡流、波浪和漩涡，还有像塞文河大潮这样迷人的景观，当潮水涌入时，一堵水墙会冲入英格兰西南部的塞文河河口。流体流动的模式已成为无数数学研究的源泉，但该领域最大、最基本的问题之一仍然没有答案：是否存在数学上的保证，确保纳维–斯托克斯方程的解真的存在，而且对未来所有时间都成立？任何能够解决该问题的人都会获得百万美元的奖金，这是美国克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一，这些难题代表我们这个时代最重要的未解决的数学问题。对于二维流，答案是“是的”，但没有人知道三维流的答案。

尽管如此，纳维–斯托克斯方程提供了一个有用的湍流模型，因为分子非常小。宽几毫米的湍流漩涡已经体现了湍流的许多主要特征，而分子比它小得多，因此连续模型仍然适用。湍流引发的主要问题是实际的：它导致纳维–斯托克斯方程几乎不可能在数值上解决，因为计算机无法处理无限复杂的计算。偏微分方程的数值解使用网格来将空间划分为离散区域，将时间划分为离散时段。为了捕捉湍流发生的各种尺度——大漩涡、中漩涡，直到毫米尺度的漩涡——你需要一个精细到无法计算的网格。出于这个原因，工程师经常转而使用湍流的统计模型。

纳维–斯托克斯方程彻底改变了现代运输。它最大的影响也许在于客机设计，因为客机不仅必须高效地飞行，而且必须稳定、可靠地飞行。船舶设计也得益于这个方程，因为水是一种流体。但即使是普通的家用汽车，如今也是按照空气动力学原理设计的，不仅因为这使它们看起来更加优美时尚，而且因为要降低油耗，就得把空气流过车辆造成的阻力降到最低。减少碳足迹的一种方法是驾驶空气动力学效率高的汽车。当然还有其他方式，从开更小、更慢的汽车到改用电力发动机，或者干脆少开车。油耗数据的一些重大改进来自发动机的技术进步，其中一些来自更好的空气动力学。

在飞机设计的早期阶段，先驱们使用粗略的估算、物理直觉和反复试验来制造飞机。当你的目标是在离开地面不超过 3 米的地方飞行 100 米时，这就足够了。莱特兄弟的“飞行者一号”第一次正常离开地面，而不是在起飞 3 秒后失速坠毁的时候，它以低于 7 英里/小时的速度飞行了 120 英尺。那一次的飞行员奥维尔设法让它滞空长达 12 秒。但是客机的规模迅速增长，这是出于经济原因：一次飞行中可以装载的人越多，利润就越高。很快，飞机设计必须基于更合理、可靠的方法。空气动力学诞生了，其基本的数学工具就是流体流动方程。由于空气有黏性，可压缩，因此纳维–斯托克斯方程，或者其适合特定问题的一些简化版本，就占据了理论的中心位置。

然而，如果没有现代计算机，这些方程几乎是不可能求解的。因此，工程师求助于一种“模拟计算机”：将飞机模型放置在风洞中。人们利用方程的一些一般性质，计算变量如何随着模型的尺度变化而变化，这种方法快速、可靠地提供了基本信息。如今，大多数一级方程式赛车队使用风洞来测试设计并评估可能的改进，但现在计算机的能力是如此强大，以至于大多数车队也使用 CFD 。例如，图 10.1 显示了流过宝马索伯赛车的气流的 CFD 计算结果。在我写这本书的时候，一支名为“维珍赛车”的车队只使用 CFD ，但他们明年也会使用风洞。


图 10.1　流过一级方程式赛车的气流计算结果

风洞不是很方便；它们的建造和运行成本很高，而且需要许多比例模型。也许最大的困难是在不影响空气流的情况下精确地测量它。如果你把仪器放在风洞中测量气压等参数，那么仪器本身就会扰乱气流。也许 CFD 最大的实际优势是可以在不影响气流的情况下计算它。你可能希望测量的任何东西都很容易获得。此外，你还可以在软件中修改汽车或组件的设计，这比制作许多不同型号要快捷、便宜得多。不管怎么说，现代制造过程在设计阶段通常都会用到计算机模型。

使用风洞模型研究超声速飞行（飞行速度比声速更快）尤其棘手，因为风速非常高。在这样的速度下，空气离开飞机的速度比不上飞机推动自身穿过空气的速度，而这会导致冲击波——气压突然不连续，在地面上会听到声爆。这个环境问题是英法合资的“协和式客机”——有史以来唯一投入使用的超声速商用飞机——运营差强人意的一个原因：除了在海面上之外，不允许它以超声速飞行。CFD 被广泛用于预测流过超声速飞机的空气流。

这个星球上有大约 6 亿辆汽车和数万架民用飞机，所以即使这些 CFD 应用看起来很高科技，但它们实际上对日常生活十分重要。CFD 的其他一些应用更和人息息相关。例如，医学研究人员广泛使用它来了解人体中的血流。心脏病是发达国家人口的主要死亡原因之一，它可能由心脏问题或动脉阻塞引发，后者会阻碍血液流动并导致血栓形成。由于动脉壁是有弹性的，人体血流的数学特别难以用解析方法求解。计算通过刚性管的流体运动已经很困难了，如果这根刚性管还可以根据流体施加的压强改变形状，那就更难了，因为现在随着时间流逝，计算域并不是保持不变的。计算域的形状影响流体的流动模式，而流体的流动模式又反过来影响域的形状。纸笔计算无法处理这么复杂的反馈循环。

CFD 是这类问题的理想选择，因为计算机每秒可以执行数十亿次计算。方程必须经过修改，以考虑弹性壁的影响，但这主要是从弹性理论中借用必要的原理，而弹性理论是经典连续介质力学的另一个发展完善的分支。例如，瑞士洛桑联邦理工学院进行了关于血液如何流经主动脉的计算。其结果提供的信息可以帮助医生更好地了解心血管疾病。

它还帮助工程师开发改进的医疗设备，如支架——保持动脉开放的小金属网管。孙契察·查尼奇（Suncica Canic）使用 CFD 和弹性性质模型来设计更好的支架，她得出的一个数学定理导致一个设计被抛弃，并提出了更好的设计。这种类型的模型已变得非常准确，导致美国食品药品监督管理局考虑要求任何设计支架的团队得先做数学建模，然后才能进行临床试验。数学家和医生正在联手使用纳维–斯托克斯方程来更好地预测心脏病发作的主要原因并加以治疗。

另一个相关的应用是心脏旁路手术，即把身体其他部位的静脉移植到冠状动脉中。移植物的几何形状对血流影响很大，而这又反过来影响凝血——血流中有漩涡时更有可能发生，因为血液可能被困在涡流中而无法正常循环。所以我们在这里就能看到，流体的几何与潜在的医学问题之间有了直接的联系。



纳维–斯托克斯方程还有另外一个应用：气候变化，也称为全球变暖。气候和天气相关，但不一样。天气是在特定时间、特定地点发生的。可能伦敦下雨，纽约下雪，撒哈拉沙漠里像烤炉一样。天气的不可预测性可谓臭名昭著，这有很好的数学原因。然而，许多不可预测性源于空间和时间的小规模变化，也就是细节。如果电视天气预报员预报你的镇上明天下午会有阵雨，结果下雨的时间晚了六小时，下在 20 千米外的地方，那么他会认为他报得挺准，你却非常不满意。气候是天气的长期“纹理”——在经过长期（可能是数十年）平均后，降雨和温度的表现如何。由于气候会平均掉这些差异，听上去有些矛盾的是，因此它其实更容易预测。困难仍然很大，许多科学文献都在研究可能的误差来源并试图改进模型。

气候变化是一个具有政治争议的问题，尽管科学界极为一致地认为，过去一个世纪左右的人类活动导致了地球的平均温度上升。到目前为止，这种增长听起来很小，在 20 世纪大约为 0.75 摄氏度，但气候对全球规模的温度变化非常敏感。它们往往使天气变得更加极端，干旱和洪涝更加普遍。

“全球变暖”并不意味着各处的温度都会出现相同的微小变化。相反，它在不同地点、不同时刻会有很大的波动。2010 年，英国经历了 31 年来最寒冷的冬季，引得《每日快报》印出头条标题“他们依然声称这是全球变暖”。然而在全球范围内看来，2010 年打平了 2005 年作为全球有史以来最热的一年的纪录。1 所以“他们”是对的。事实上，寒流是由高空急流改变位置引起的，它把冷空气从北极推向南方，而这是因为北极异常温暖。伦敦市中心两周的霜冻并不能否认全球变暖。奇怪的是，同一份报纸报道 2011 年复活节是有史以来最热的一次，但与全球变暖无关。那一次他们倒是正确区分了气候和天气。这种选择性标准真的很有意思。

同样，“气候变化”并不仅仅意味着气候正在发生变化。由于火山灰和火山气体、地球绕太阳运行的轨道的长期变化，甚至是印度洋与亚欧板块相撞创造了喜马拉雅山脉，不需要人类帮忙，气候变化就发生过多次，主要是在很长的时间尺度上。就目前的讨论而言，“气候变化”指的是“人为气候变化”——人类活动引起的全球气候变化。主要原因是产生两种气体：二氧化碳和甲烷。它们是温室气体：会吸收来自太阳的辐射（热量）。基础物理学告诉我们，大气中含有的这些气体越多，吸收的热量就越多；虽然地球确实会把一些热量散发掉，但总的来说，地球会变暖。根据这一理论，人们在 20 世纪 50 年代预测到全球变暖，而预测的温度升高值与观察到的基本一致。

二氧化碳含量急剧增加的证据有许多来源。最直接的是冰芯。当雪落在极地地区时，它会堆积在一起形成冰，最新的雪在顶部，最老的雪在底部。冰会吸收空气，并且冰里面的普遍条件使得这些气体在很长一段时间内几乎保持不变，原始的空气在里，最新的空气在外。小心操作，人们可以非常准确地测量被吸收的空气的成分，并确定被吸收的时间。在南极洲进行的测量显示，在过去的 10 万年中，大气中的二氧化碳浓度几乎保持不变——除了在过去的 200 年里猛增了 30% 。过量二氧化碳的来源可以从碳–13（碳的同位素之一）的比例推断出来。到目前为止，人类活动是可能性最大的解释。

怀疑论者之所以还有那么一丁点儿微弱的依据，主要是因为气候预测的复杂性。这必须使用数学模型来计算，因为它是关于未来的。没有模型可以包含现实世界的每一个特征，即使有这样的模型，你也永远无法解出它的预测结果是什么，因为没有计算机可以模拟它。模型与现实之间的每一个差异，无论多么微不足道，都是怀疑论者喜闻乐见的。对于气候变化可能带来的影响，或者我们应该采取什么措施来减轻气候变化，意见分歧的空间当然存在。但是把头埋在沙子里并不是一个明智的选择。



气候的两个重要方面是大气和海洋。两者都是流体，都可以使用纳维–斯托克斯方程进行研究。2010 年，英国主要的科学资助机构——工程与物理科学研究委员会发布了一份关于气候变化的文件，其中专门称数学是一种统一的力量：“气象学、物理学、地理学和许多其他领域的研究人员都贡献了他们的专业知识，但数学是一种统一的语言，可以让各行各业的人在气候模型中实现他们的想法。”该文件还解释说：“气候系统的秘密被锁定在纳维–斯托克斯方程中，但它太复杂，无法直接求解。”相反，气候建模人员使用数值方法计算三维网格点的流体流动，从海洋深处到大气上层，覆盖整个地球。网格的水平间距为 100 千米——任何更小的网格都会使计算变得不切实际。更快的计算机也帮不上太大忙，因此最好的方法是更加努力地思考。数学家正在研究以更有效的方式在数值上解决纳维–斯托克斯方程。

纳维–斯托克斯方程只是气候难题的一部分。其他因素包括海洋和大气内部以及两者之间的热流、云的影响、火山等非人类的影响，甚至是平流层中的飞机排放。怀疑论者喜欢强调这些因素来暗示模型是错误的，但是我们知道大多数因素是无关紧要的。例如，每年火山排放的二氧化碳仅占人类活动产生的二氧化碳的 0.6% 。所有的主要模型都表明存在严重的问题，而且这个问题是人类引发的。现在的关键问题是地球将会变暖多少，以及将导致多大程度的灾难。由于无法做出完美的预测，因此尽可能完善气候模型符合每个人的利益，只有这样，我们才能采取适当的行动。随着冰川融化，西北航道会在北极冰盖缩小时开放，而南极冰架正在脱落并滑入海洋。我们再也不能冒险相信，什么也不用做，一切都会自己好起来了。

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