科学世界｜虚数：另一个维度的数

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科学世界｜虚数：另一个维度的数

来源：科学出版社数学教育 ，作者：许孝精教授



科学世界

卷首语

虚数作为数域中一种特殊的存在，它不同于我们对实数的理解。虽然我们称它为一个数，但它却不能比较大小，在物理学中它通常与向量的旋转相关。想要弄清楚它的来历，有必要回顾一下数的发展史。

自然数是人类历史上最早使用的数，也是最朴素最容易理解的数，它伴随着自然界的基本应用而产生。自然数之间的加法运算的结果一定 是自然数，但是自然数之间的减法运算的结果却不一定是自然数。这使“0”和“负数”的概念于 6～7 世纪在印度被发现，之后传入欧洲全域。自然数之间的乘法运算的结果一定是自然数，然而自然数之间的除法运算的结果并不一定是自然数。为解决此类问题就产生了有理数，人们将能用整数作为分母和分子来表示的数称为“有理数”。后来，古希腊数学家希帕索斯发现了不是有理数的数，即无理数。例如，边长为 1 的正方形的对角线长度，就是一个无理数。把有理数和无理数合起来后就是实数。因此很多人认为实数就是数之世界的所有了，但是随后人类又发现了不处于数轴上的数—虚数。

历史上每次遇到像有理数、无理数、负数等这些新出现的数时，都会经历先苦恼、再搏斗、 最终接受的过程。如负数在欧洲被广泛接受经历了漫长的岁月，甚至到了 17 世纪，对于当方程的解为负数的情况，还一直理所当然地将其认为 “无解”，其结果直接被忽视。直到法国数学家吉拉德想出了在视觉上表示负数的方法，即以 0 作为原点，“正的数用前进来表示，负的数用倒退来表示”这样的方法，也即数轴。这种表示方法使负数在视觉上很直观地体现了出来，因此逐渐被人们广泛接受了。而虚数的存在可以被认为是这个通关过程中“最后的大敌”，它也需要有 一个容易被恰当表示的方法才可以被人们接受。

关于虚数的溯源可以从文艺复兴时期的意大利万能学者卡尔达诺开始，他首次在书里记载了虚数，并通过导入平方后是负数的数，向大众展示了之前因认为“无解”而被忽视的二次方程问题也能求解。法国数学家、哲学家笛卡儿把平方后为负数的数命名为“虚数”。他当时带着否定的态度把它称为“想象中的数”，这也是虚数的英语“imaginary number”的词源。瑞士数学家欧拉将虚数引入计算中，他把 -1 的平方根定义为虚数单位，用字母“i”表示，并利用虚数导出了著名的欧拉公式，即



此公式在大学数学、物理学和工程学中有相当重要的应用。

丹麦测量技师韦塞尔用水平数轴来表示实数，用与之垂直的数轴来表示虚数，这样虚数终于被视觉化地表现出来了。后来德国数学家高斯将水平方向的数轴称为“实轴”，竖直方向的数轴称为“虚轴”，并将这个平面上所有的数命名为“复数”，把表示复数的平面称为 “复平面”。

复平面的产生使之前形象模糊不清的虚数变得非常明确，从而也使数学家逐渐接受了虚数， 这使复变函数论与调和分析两个非常重要的研究领域的产生成为可能。它们以其完美的理论与精湛的技巧成为数学非常重要的组成部分, 微积分方程、数论等分支应用这些理论解决了很多长期未能解决的问题，并对流体力学、量子力学、人工智能、计算机科学、稳定平面场、航空力学等学科方向的发展也起到了非常重要的作用。

它也成为解决某些实际问题强有力的工具，如交流电路里的阻抗用复数表示；市面上销售的可以测量体脂的体重计，也是通过发出微弱的交流电流穿过人体内从而测出阻抗值来推算体脂率的。

更值得一提的是，英国数学家哈密顿将复数继续扩展后得到的四元数，近来在计算机游戏的三维（3D）图像制作和火箭、人造卫星的姿态控制等尖端领域得到了广泛的应用。

总之，虚数不虚，它已经在人类现代科技时代展示出极其重要的实际应用价值，我们期待它能在未来的信息化时代发挥出更大的作用。



本文选自《科学世界》卷首语.

好玩的数学 2023-05-12 07:17 发表于江西

Ysu2008

虚数产生于二次方程求根是误传。卡尔达诺的确提到过负数开平方的问题，但他认为那是无意义的，直接忽略了。

欧洲人最早采用几何法求解二次和三次方程实根（直线与曲线的交点）。求解二次方程就是寻找抛物线与一条直线的交点，负数开平方意味着抛物线与直线没有交点，无解，看上去很“自然”，并无矛盾之处。

但三次方程求根有时候则会引发“悖论”。一般三次方程都可以化为

\(y^3=3px+2q\)

卡尔达诺当时已知道该方程有实根

\(x=\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}\)

但利用上式求解 \(x^3=15x+4\)会出现负数开平方，而曲线\(y=x^3\)的定义域和值域都是\(\left( -\infty{,}+\infty\right)\)，就是说无论直线怎么划，直线与三次曲线至少会有一个交点，这是必然的，求根公式有时出现负数开平方就显得很奇怪……

参考自名著——