在 20 世纪初,希尔伯特的《数论报告》深入研究了代数数域的伽罗瓦扩张与素理想分解之间的关系,并由此开启了代数数论进一步发展的大门,后来导致出现了 1920 年代的类域论、1930 年代的局部域与局部整体原则、1940 年代的有限域上函数域的算术和函数域上的黎曼猜想(即 Weil 定理)的证明等重要成果。
20 世纪的下半叶数论领域所取得的最主要成就是:代数簇的算术理论、分圆域理论、朗兰兹猜想、Weil 猜想的证明、莫德尔(Mordell)猜想的证明、费马大定理的证明。由于数论领域中所使用的方法不断翻新,因此涌现了数论领域中一系列新分支学科。数论领域成为了大量数学理论的应用场所,用以检验这些数学理论的有效性,例如算术几何就是将代数几何的方法运用到数论里而产生的一个新分支学科,其中的 Weil 猜想是通过运用了格罗滕迪克的平展(étale)上同调理论而得到证明的。
05 代数几何学领域
代数几何 (历史概述),代数曲线,代数曲面与复解析曲面,代数簇,层及其上同调理论,有理映射与奇点,除子与 Abel 簇,闭链与周环,代数空间与形式概形,极化簇,代数簇的拓扑与比较定理,代数向量丛,Hodge 理论,Abel 簇,有理簇与 Fano 簇,双有理几何,环面簇,相交理论,奇点理论,模空间问题。