这么说迭代，你一定能懂

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这么说迭代，你一定能懂

编者按

科学传播当中有个有意思的现象，就是越为基础和艰深的学问，其相关的科普著作就越为丰富和繁多，很明显的例证就是数学、物理方面的科普读本远超其他学科，有关数学中著名的猜想和悖论、物理学中相对论和量子力学等的通俗解读可以用汗牛充栋来形容。这起码说明一点，艰涩的学问，也可以有浅显易懂的切入点。高明的科普作者可以经由作者在阐述上下的功夫降低读者理解的难度。本文就想从初等数学出发，来深入地谈谈“迭代”这一数理学问中极重要的概念。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

迭代一词对一些人或许生疏，但在数学上它历史悠久。大约三千五百年前，古巴比伦人就想出了一个聪明的办法来逐次近似给定正数 A 的平方根，以今日的标准说法，它就是用众所周知的牛顿迭代法解方程 x^2 – A = 0 。当今，在数学天地的几乎所有园区，迭代都留下活跃的身影，而求解方程各式各样的迭代法，则是计算数学家和工程学家们从不离手的利器。

为了形象地说明什么是迭代，让我们拿出一只假设误差为零的理想计算器，输进一个数，比方说 0.5 ，然后按一下标有“x^2”的那个平方键，小屏幕上就能看到结果：0.25 ，如果再按一次平方键，看到的结果是 0.0625 ，再按一次，就有 0.00390625 ，如此一次次地按下去，依次出现的是以“初始数”0.5 开头的一系列数：

0.5 , 0.25 , 0.0625 , 0.00390625 , 0.0000152587890625 , ……

尽管算了这几步后我们或许会失去耐心，不想再按下去，但我们至少可以从上面几个数的变化趋势知道，这些越来越小的数最终会趋向于 0 。

这样的计算确实足够简单，似乎连幼儿园的孩子也能操作。即便丢掉计算器，小学生也可以用纸和笔一个接着一个地算出这样的“平方”。如果用初中学过的数学概念表达，那么计算器上的平方键就代表了“x 平方”这个函数。

上述数列中的第一个数 0.5 是我们所选定的一个初始值，第二个数 0.25 是 x平 方函数在 x = 0.5 时的函数值，第三个数 0.0625 是 x 平方函数在 x = 0.25 时的函数值，而第四个数 0.00390625 是 x 平方函数在 x = 0.0625 时的函数值，第五个数 0.0000152587890625 则是 x 平方函数在 x = 0.00390625 时的函数值，等等。

如果把 x 平方函数看成是一只“黑箱”，那么输入 x 的值，这只黑箱就会输出 x^2 这个函数值。上面的计算器操作实际上就是选取一个初始值输进黑箱，然后再一次次地将黑箱吐出的函数值输入同一个黑箱，周而复始，直至无穷。这种“黑箱操作”的整个过程在数学上叫作函数迭代，简称迭代。

一般地，假定我们有定义在某个实数区间上的一个函数 y = f(x) ，它把定义域区间映到自身内——也就是说，这个函数的自变量 x 以及因变量 y 都取值于该定义域中。




还有一种情形，初始点既不是周期点，也不是最终周期点，即它对应的所有迭代点都互不相同，但我们依然可以预测迭代点数列的最终走向，比如说这个数列最终收敛到一个固定的数，或与一个固定的周期轨道越来越靠近，或发散到正无穷大，或发散到负无穷大，或其绝对值的数列发散到正无穷大。对这些不同状况下可预测性的分析求解，初等代数的数学工具则显得不够用了，需要一点初等微分学的知识。这就是为什么高等数学是一门很有用途的学问。具体来说，微分学中的“中值定理”或“单调收敛定理”常常是这个解析过程的数学后盾。既然本文是“浅说迭代”，我在后面将依然用浅显的语言解释其中一个定理的应用，但如果辅之以图象的视觉效应，则会帮助理解。为此，我们先介绍关于函数迭代眼睛看得更清楚的“图象表示法”，相对于前述依赖于函数赋值的“代数表示法”。

在检查迭代点数列的最终走向时，如果觉得一次又一次地用手或计算器算出函数值来得到一个又一个的迭代点太费时间，我们也可以借函数的图象来做与代数方法等价的事，只要图象曲线能够足够精确地画出。该几何方法让我们从初始点出发沿着一条上下和左右方向交替转弯的快捷路径急速地向前移动，这样就能直观地观察到迭代点列的“运动轨迹”，进而很方便地看出轨道的最终目标。



再一次地，上面这两个非线性函数都展示出其迭代点轨道的正规性态：对所有的初始点，迭代点数列的最终走向都是可以预测的，并且，除了唯一的不动点和两个周期为 2 的周期点外，它们都没有其他的周期点。我将在下一篇的科普文章中讨论既有不动点又有周期为 2 的更高次方的周期点的那些简单函数，并追溯它们与自然科学的一些历史因缘。

到目前为止，我还没有正式地运用过高等数学，全是用初等数学谈论迭代问题，引进基本概念，可能一部分拥有博士、硕士甚至学士学位的理工科读者感到“内容太浅”，然而正如数学写作与演讲大师、匈牙利裔的美国数学家哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）在生前一直强调的那样，越是初等的公众报告越能俘获人心。现在，我试图用一个二次多项式来示范一下初等微分学在函数迭代中的一个妙用，即便读者没有接触过微积分，那也无妨，因为我知道她或他至少懂得中学代数并具有一定的几何直觉力，而且我在之前已经保证过用浅显的语言解释数学，否则我就愧对标题中保证的“你一定能懂”五字。



“函数迭代”是一个内容丰富、用途宽广的数学话题，鉴于篇幅，我在本文中仅仅普及了“可以预见未来”的某些有序迭代过程。然而，从有序到无序——即混沌，更为神奇的情景还在前头，用浅显的初等语言解释背后的数学操作，将是继续讲述迭代的指导思想。

写于 2023 年 3 月 27 日星期一

美国哈蒂斯堡夏日山庄

原创 丁玖 返朴 2023-04-07 10:12 发表于北京