如何通俗地理解傅立叶变换？

luyuanhong

如何通俗地理解傅立叶变换？

以下文章来源于马同学图解数学 ，作者马同学

声明下，下面都是用傅立叶级数来阐述，文章最后会说明下傅立叶级数和傅立叶变换之间的关系。

让我们从比较容易懂的解释开始吧。

1 直观解释

1666 年牛顿发现太阳光经三棱镜的折射后可呈现彩色光，称为光的色散现象：



先说一个物理常识，光是一种波，而光的颜色由振幅和频率所决定。

所以色散实际上是，白色的光波被分解为七色光波（实际应该是无数种颜色的光波）：



七色光波可以用正弦波 An sin(nx) （其中 An 是振幅，nx 可以表示频率）来近似。因此上面实际就是傅立叶级数（下面只是傅立叶级数的非常不准确的近似，为了帮助理解简化成了这样子，让我心中充满了罪恶感，后面会给出严格定义）：



雨过天晴，有时就会看见彩虹：



雨后空气中的水分就好像无数的三菱镜，把太阳光拆成了彩色。正是大自然中的色散现象。

这大概是我们在自然界中最容易观察到的傅立叶级数。

在自然界中这个故事还有续集，我们继续讲下去。

德国化学家罗伯特·威廉·本生（1811一1899），发明了本生灯：



本生灯除了温度高外，还有一个显著特点，如果合理的控制燃料的成分和喷射压力，可以让火焰没有颜色。

偶然的情况下，本生撒了把盐（氯化钠）到灯的火焰上：



本来无色的火焰变成了黄色：



这实际上就是盐中的钠燃烧的颜色。

不同的化学元素燃烧的时候会有不同的颜色，复合物质的燃烧颜色会由它的成分的燃烧颜色来合成决定。

因此，如果我们想检测某个物质的成分，就可以把它点燃，然后对它的光进行傅立叶级数分解，就可以得到组成成分。



从这个意义上来说，万物皆可进行傅立叶级数分解，这也是它的发现者约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）所坚信的（实际上是有一定限制的，这个就比较数学了，可以查看傅立叶的收敛定理）。

好了，直观解释讲完了，其实也没有什么卵用。

就好像“听过很多道理，依然过不好这一生”。

我们需要更深入的理解，才能陪傅立叶好好过完这一生。

2 时域：旋转与傅立叶级数

我迫不及待的要给出傅立叶级数的严格形式，以弥补我之前的近似。

假设，f(x) 为周期为 T 的函数，并且满足傅立叶级数的收敛条件，那么可以写作傅立叶级数：



其中：



2.1 欧拉公式

根据欧拉公式：



我们可以推出：



根据上式，我们可以写出傅立叶级数的另外一种形式：



其中：



看到复数也不要怕，根据我之前的文章如何通俗易懂地解释欧拉公式，我们看到类似于 e^(iθ) 这种就应该想到旋转：



从这角度来看，傅立叶级数：



实际上就是说，曲线可以理解为无数旋转的叠加，这怎么理解呢？

2.2 火星的轨迹曲线

比如这是地球上观察到的火星运行的轨迹：



我们可以通过两个圆周运动的叠加来模拟出这个曲线：



其实这就是地心说，感兴趣可以看下我的这篇文章。

通过这种圆环套圆环的做法，可以模拟各种复杂的图形，比如可以画出辛普森来：



2.3 旋转的傅立叶

所以，傅立叶级数实际上就是把 f(x) 看作是圆周运动的组合。

只是 x 是不断变大的，而不是绕着圆变换的，所以就画出了函数曲线：



不断增大的 x 就好像是时间流逝，永不回头，所以我们也称为“时域”。

3 频域：线性代数与傅立叶级数

时域是现实存在的，频域却是生造的了，理解起来更加抽象。

但，敲黑板了，频域是傅立叶级数（变换）更本质的内容。

把傅立叶级数（变换）视作圆周运动的组合，是比较粗浅的看法，是买椟还珠的作法。

而把傅立叶级数（变换）看作频域，等于直接把它绑上了线性代数的战车，把它从固定在发射井中的常规核武器变成了游走不定、更具威力的核潜艇、核卫星。

3.1 线性代数

线代的最基本的研究对象就是向量，带箭头的一根直线：



线代的基本操作就是把向量分解为基的合成：



即：



这么做的好处很多，比如物理中，分析各个方向上的受力，然后进行合成：





线性代数还有很多好处，你在使用傅立叶级数的时候就会感受到。

3.2 傅立叶级数的基

傅立叶级数（变换）本身是线性的（这个就是比较抽象的线性了），因此我们可以把线性代数在傅立叶级数上进行推广。

让我们先找到傅立叶级数的基是什么。

为了说明方便，假设 f(x) 的周期 T=2π ，那么有：



其中，以下无穷集合：



是无限维向量空间中的一组基，而且还是正交单位基。

可是，函数为什么可以做基啊？怎么有无限个基啊？无限维向量空间又是什么啊？这个，咱们这里就不展开了，如果确实想知道，这里有你需要的一切：傅立叶分析专题。

3.3 傅立叶级数向量



3.4 频谱图

对于：



我们用 {n,Cn} 来描点作图，就得到频谱图。

下面是一个周期矩形波的频谱图：



3.5 应用

3.5.1 图像压缩

我写的如何通俗的理解奇异值中，里面就说过图像压缩的问题。

傅立叶级数通过同样的原理也可以做图像压缩，比如 JPG 就是用傅立叶进行图片压缩的。

原理可以大概这么理解，哪些基上的坐标值特别小，就可以丢掉，这样就可以压缩图像。

这就是把函数分解到正交基上的好处，我们可以用线性代数中的知识直接去处理。

信号处理中还有不少类似的分解，比如小波变换。所以掌握数学思想尤为重要。

3.5.2 模式识别

类似的图像，通过傅立叶变换，转换到频域之后看起来确实比较类似，比如下面这幅图，A 的频域看起来就挺像，而 A、B、C、D 之间看起来就不太一样：



我们人眼观察图片的方法对计算机并不适用，似乎对于计算机而言，频域更能揭示“特征”。

4 傅立叶级数和傅立叶变换

傅立叶级数是基于周期函数的，如果我们把周期推广到 ∞ ，那么也就变为了非周期函数，这就是傅立叶变换。

两者的频谱图对比，可以看到傅立叶变换的频谱图是连续的（上面是周期函数的傅立叶级数分解，下面是非周期函数的傅立叶变换）：



最后，我在找资料的时候，发现了一个可以完成傅立叶级数的机械装置，非常好玩：









数学经纬网 2023-02-14 22:30 发表于北京