从统计的角度看混沌

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从统计的角度看混沌

从直观的意义上来理解，混沌和统计两个术语，显而易见地意味着不确定性。而当我们深入到数学的细微处，却会发现，混沌的特征往往发生在确定性意义上，而从内在不确定的统计意义出发，却可以找寻到混沌的几许确定性。其间向我们展示着混沌的不尽风光。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

这篇科普文章如同它的标题所言，关心的是“从统计的角度看混沌”，但为了进入这个主题，我们不得不首先谈论“确定性意义上的混沌”，这也是人们通常所理解的“混沌”所指。只有对通常意义上的混沌基本概念至少略知一二，历经“从有序到无序”的函数迭代风光之旅，才会合乎逻辑并从容不迫地进一步追问：确定性意义上的混沌在概率统计的意义上会发生什么？





































恰恰表示前 n 个迭代点中进入 [1/4，3/5] 的那些点的个数。将这个非负整数再除以总的迭代点个数 n ，即



就是 n 个迭代点中落到区间 [1/4，3/5] 的点的相对频度。我们的目的是求出整个无穷迭代点列中进入 [1/4，3/5] 的那些点的频度，很自然就必须取 n 趋于无穷大时上述相对频度的极限了。假如极限











这说明，尽管在确定性意义上帐篷映射是混沌的，具有对初始点的敏感依赖性，即初始点的微小变化导致迭代点列的可观变化，但在统计的意义上，对几乎所有的初始点，迭代点列进入定义域区间的任一“可测子集”的频率却是与初始点的选取无关的一个固定数，这个常数恰好等于所取子集的勒贝格测度。由此推出，对几乎所有的初始点，其迭代点列在 [0，1] 上是一致分布的。

如上结论表明，在确定性意义上的混沌，在统计的意义上却可以失去“混沌”，而变得极有规律可循，这个规律数学上归功于伯克霍夫逐点遍历定理的发现。在物理上有类似的观察：就微观而言，单个分子的运动轨迹是紊乱无序的，但是在宏观的尺度上，大量分子的运动是有统计规律可循的，这就导致统计物理这门重要学科的诞生。事实上，冯·诺伊曼（John von Neumann，1903-1957）和伯克霍夫等人所证明的第一代遍历定理，最初的动因就是来自于从数学上探讨统计物理中“玻尔兹曼遍历假设”是否具有合理性。





由于上面这个密度函数的图像是像对称悬链线那样“向上弯曲”的，其结果是如果 [0，1] 中的两个小区间具有一样的通常长度，但它们中的一个靠近 [0，1] 的某个端点，另一个却靠近中间，则位于靠近边缘的那个子区间上方、被函数 1/[π√(x-x^2)] 的图像压住的曲边矩形有大一点的面积，也就是说它有较大一点的 μf* 测度值，如下图所示：





对这个问题的回答，需要一个以两个德国人名字命名的算子：弗罗贝尼乌斯-佩隆算子。其实弗罗贝尼乌斯（Georg Frobenius，1849-1917）和佩隆（Osar Perron，1880-1975）这两人与该算子并无多大的关系，完全是因为他们的名气太响，以至于后人给他们再添名气，就像解非线性方程组著名的“牛顿法”名字也是“张冠李戴”所致。但是这个算子被如此命名还是有些道理的，因为在一百多年前，先是由年轻的佩隆 (1907年) 然后由资深的弗罗贝尼乌斯 (1912年) 分别对正矩阵和更广的不可约非负矩阵证明了他们的谱定理，主要内容之一为谱半径是特征值。这一套理论现以“非负矩阵的佩隆-弗罗贝尼乌斯理论”冠名，而这里提及的无穷维线性正算子和非负矩阵共享不少良好的性质，这就给予乌拉姆足够的理由在他的不朽著作《数学问题集》(A Collection of Mathematical Problems) 中慷慨地借用了他们俩的大名。弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的正式定义需要测度论知识，但我们可以用一个人人都懂的简单例子来描绘这个算子的基本思想。

假设两个物理系的教授张三和李四及数学系的一位教授王五申请某项研究基金，他们各自成功的概率分别为 1/2 ，1/3 和 1/6 。试问物理系和数学系获得该基金的概率为多少？

这个问题连小学生都能解答，但是我们为了说明问题，故意用“高射炮打蚊子”的方式来求解。定义一个映射 S ，它把张教授和李教授映到物理系，把王教授映到数学系。在映射 S 的定义域 {张教授，李教授，王教授}上 已经给出了一个概率分布 {1/2，1/3，1/6} ，而通过 S 可将其定义域上的如上概率分布很自然地转移到其值域 {物理系，数学系} 上，即子集 {物理系} 的概率是它在 S 下的逆像 {张教授，李教授} 的概率 1/2+1/3= 5/6 ，而子集 {数学系} 的概率是它在 S 下的逆像 {王教授} 的概率 1/6 。将定义域上的概率分布通过映射 S 转移到值域上的概率分布的这一依从关系，被称之为 S 所对应的弗罗贝尼乌斯-佩隆算子，记为 PS 。







一般来说，确定性意义上的混沌映射，在统计的意义下常常具有正规的性态，它所对应的弗罗贝尼乌斯-佩隆算子的不变密度函数给出了混沌迭代点列的最终统计分布。从上世纪 70 年代初起，数学家们对不同类型的混沌映射所对应的弗罗贝尼乌斯-佩隆算子研究了不变密度函数的存在性，而另一方面，应用科学领域所需要的对数值求解这些不变密度函数的算法设计与收敛性分析，导致“计算遍历理论”这一当代学科的蓬勃发展。

如今，物理科学、工程科学和生命科学中的许多现象，都可以运用统计的观点进行研究而洞察其真相。这个观点不仅在统计物理这门重要学科中被发扬光大，而且导致了与人类福祉密切相关的几大新兴学科的兴起和发展，比方说无线通讯、搜索引擎、计算分子动力学及药物设计等。

这就是我们从统计的角度来察看混沌而观察到的一小片美景。

完稿于 2023 年 1 月 25 日星期三

美国哈蒂斯堡夏日山庄

原创 丁玖 返朴 2023-01-31 11:53 发表于湖南