物理学中的幂律

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物理学中的幂律

想要从幂律型的数据中获得尽可能多的信息是十分具有挑战性的。近日发表于 Nature Reviews Physics 的一篇文章指出在研究幂律分布时，涌现的标度不变性（scale invariance）所带来的误区和一些重要机会。

撰文 | James Sethna

译者 | 梁栋栋

审校 | 陈清华、梁金




文章题目：Power laws in physics

文章链接： https://www.nature.com/articles/s42254-022-00491-x

幂律出现在许多知识领域中——从语言学的词汇使用，到经济学的收入分配。有大量文献在发现和计算自然中的幂律现象。新发表的有趣的结果可能会涉及到跨越十到二十年的数据[1]：我们需要好的工具来表明幂律是真实且准确的。简而言之，幂律拟合容易，但测量和解释好很难[2]。那么，研究幂律——基于涌现标度不变性这一统计物理学的关注对象——有什么特殊挑战？存在什么样的机会能够让我们从数据中提取更多的科学知识？

1. 普适的缩放函数

许多系统在变大时，会展现出分形结构和具有标度不变性的涨落，这些描述系统行为的规则在越来越大的系统中也是相同的。连续相变（例如铁磁体中的居里点）、无序系统的动力学行为（例如脱钉相变（depinning transitions）、裂纹噪声（crackling noise）、雪崩）、混沌边缘、地震、充分发展的湍流，以及股票市场的行为，都表现出涌现标度不变性的明显迹象，所有系统在各种行为的观测中都显示出幂律特征。

在许多这样的系统中，重整化群（renormalization group, RG）[3]可以有说服力地解释系统中出现的幂律。重整化群通过系统粗粒化，然后缩放（重整）参数以及观测值，以达到一个不动点。



2. 有限尺寸缩放和尺度塌缩




图 1：随机场 Ising 模型的标度律和雪崩。（a）雪崩概率分布；（b）同样数据的尺度坍缩，以及对标度函数 A 的拟合。

3. 次级修正和拟合函数形式



拟合函数形式还有三个好处。首先，它们不仅提供了对普适临界指数的估计，而且还提供了普适缩放函数。其次，它们考虑到了对指数的统计误差和系统误差的估计（通常比直接幂律拟合要大得多）。最后，这些修正在临界点附近很小，对于描述周围相中的前期涨落越来越重要。确实，这里有人想要通过对 Ising 临界点使用解析和奇异修正，用相图描绘（具有挑战性的）液体特性。

4. 奇异缩放函数和危险的无关变量

仔细测量与微观相比大、与系统相比小的系统的中等尺寸特征，人们能够找到正确的幂律吗？如果缩放函数本身是奇异的——当辐射角趋于零时，它趋于零或者无穷大，那就不行。在我们对三维随机场 Ising 模型的研究中[9]，这几乎发生了（见图1）。



奇异缩放函数同样会在危险无关变量的例子中出现，如方程 3 中的 u 这样的量，它会在缩放（无关变量）中消失，但当它消失时，一个物理性质的缩放函数会发散。这发生在一些玻璃系统中，在长尺度情况下，冻结不再是通常粒子间的温度和耦合的竞争，而是随机无序和耦合之间的竞争。温度能够使其跳跃过障碍，允许系统弛豫（relax）。因为在玻璃化过程中，温度是无关变量，弛豫时间（及其缩放函数）随着系统通过相变冷却而发散。

5. 交叉缩放，非线性重整化群流等

对于普适的缩放函数，还有许多更吸引人的含义和用途，当然还有相关的警告：拟合幂律可能会让你误入歧途。许多系统表现出交叉（Crossover）的特征，即随着标度的增大，从一个幂律平稳过渡到另一个幂律——通常是在有限温度下观察到的量子临界点（quantum critical point），但同样能够在例如磁雪崩[10]、断裂（fracture）和脱钉相变[7]中发生。其它系统表现出更加复杂的缩放行为，因为它们的重整化群流本质上是非线性的[8]。这非常常见，例如，在相变临界点，所有的二维、四维系统都有对数、指数或必需的奇异点。

因此，关于相信幂律分布拟合的陷阱不应该被视为障碍，而是一个机会。通过使用普适的缩放函数从数据中提取尽可能多的信息，这极具挑战，但在智力以及科学上都是极富有成效的。

参考文献

[1] Avnir, D., Biham, O., Lidar, D. & Malcai, O. Is the geometry of nature fractal? Science 279, 39–40 (1998).
[2] Newman, M. Power laws, pareto distributions and Zipf’s law. Contemp. Phys. 46, 323–351 (2005).
[3] Sethna, J. P., Dahmen, K. A. & Myers, C. R. Crackling noise. Nature 410, 242–250 (2001).
[4] Liarte, D. B. et al. Universal scaling for disordered viscoelastic matter I: Dynamic susceptibility at the onset of rigidity. Preprint at https://arxiv.org/abs/2103.07474 (2021).
[5] Adam, S., Brouwer, P. W., Sethna, J. P. & Waintal, X. Enhanced mesoscopic fluctuations in the crossover between random-matrix ensembles. Phys. Rev. B 66, 165310 (2002).
[6] Chen, Y., Papanikolaou, S., Sethna, J. P., Zapperi, S. & Durin, G. Avalanche spatial structure and multivariable scaling functions; sizes, heights, widths, and views through windows. Phys. Rev. E 84, 061103 (2011).
[7] Chen, Y.-J., Zapperi, S. & Sethna, J. P. Crossover behavior in interface depinning. Phys. Rev. E 92, 022146 (2015).
[8] Hayden, L. X., Raju, A. & Sethna, J. P. Unusual scaling for two-dimensional avalanches: Curing the faceting and scaling in the lower critical dimension. Phys. Rev. Res. 1, 033060 (2019).
[9] Perkovic, O., Dahmen, K. & Sethna, J. P. Avalanches, Barkhausen noise, and plain old criticality. Phys. Rev. Lett. 75, 4528–4531 (1995).
[10] Sethna, J. P. Crackling crossover. Nat. Phys. 3, 518–519 (2007).

本文转载自微信公众号“集智俱乐部”，原标题为《Nature Reviews Physics：物理学中的幂律》。