【答】求方程组 x+y+z=3 ，x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 的实数解

dodonaomikiki

波斯猫猫 发表于 2022-9-30 20:40
解不定方程组 x+y+z=3 ，x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 。

显然x，y和z中不可能全为负整数，至多有两个为负整 ...

波斯猫老师：

1，当y和z为负整数时，则x为正整数，且\(x^3≤x^4，y^3＜y^4，z^3＜z^4 \)

故，\(x^3+y^3+z^3＜x^4+y^4+z^4 \)
此时方程组无解。




2，当z为负整数时，则x和y皆为正整数,且\(x^3≤x^4，y^3≤y^4，z^3＜z^4\)
故，\(x^3+y^3+z^3＜x^4+y^4+z^4 \)
此时方程组无解




3，当x，y和z均为正整数时，有\(x^3≤x^4，y^3≤y^4 \)和\(z^3≤z^4 \)
即\(x^3+y^3+z^3≤x^4+y^4+z^4  \)
显然，当且仅当
\(x=y=z=1 \)时等号成立，
且满足\(x+y+z=3 \)
故原方程组 仅一组解\(x=y=z=1 \)





我觉得，
这种分情形讨论，非常之巧妙！

波斯猫猫

题：解不定方程组 x+y+z=3 ，x^3+y^3+z^3=x^4+y^4+z^4 。

思路：所谓解不定方程（组），就是求其整数解。显然，x^3≤x^4，y^3≤y^4，z^3≤z^4，

仅当x，y和z的值各取0或1时等号成立。

故，x^3+y^3+z^3≤x^4+y^4+z^4 。显然，等号成立的条件是要满足上述三个不等式中的等号成立。

1，当x，y和z三个都为0时，即x=y=z=0时，与x+y+z=3矛盾。

2，当x，y和z中有两个为0时，比如x=1，y=z=0时，与x+y+z=3矛盾。

3，当x，y和z中有一个为0时，比如x=y=1，z=0时，与x+y+z=3矛盾。

4，当x，y和z中都不为0时，即x=y=z=1时，满足x+y+z=3 。

故原方程组 仅一组解x=y=z=1。

注：本题与原题的提法有所不同。

dodonaomikiki

针对12楼

1，当y和z为非正整数时，则x为正整数，且x^3≤x^4，y^3＜y^4，z^3＜z^4
这个让我产生质疑！


~~~~~~~~~~~~~~~
这种情况下，
分两种小情形，
为了具体逼真有冲击波，
具体数字代上！

         \(  1A)           \)
         \(  y=0.7      \quad   z=1.3       \quad  x=1      \)
         \(  不可能同时满足     \quad     y^3＜y^4，z^3＜z^4      \)



         \(  1B)      \)
         \(  y=0.7       \quad  z=0.3      \quad   x=2      \)
         \(  不可能同时满足      \quad     y^3＜y^4，z^3＜z^4      \)

dodonaomikiki

针对12楼
2，当z为非正整数时，则x和y皆为正整数，且x^3≤x^4，y^3≤y^4，z^3＜z^4，

（若z=0，则x^3+y^3≤x^4+y^4，此时仅当x=y=1时等号成立。这与x+y=3矛盾）



~~~~~~~~~~~~
只有一个数为非正整数，
也就是     \(           z=0           \)（轮换对称性可见，也可以假设     \(           x=0,y=0）                               \)


这个时候，我们不妨看到：
方程“缩减”为：
     \(           x+y=3              \)
     \(           x^3+y^3=x^4+y^4              \)
也就是：     \(           x^3+（3-x）^3=x^4+(3-x)^4              \)
不晓得这个方程有木有解，
     \(           GEOGBRA              \)上面，就是无表示

dodonaomikiki

  针对13楼里面的小情形  \(  1A)           \)
有木有可能产生这样一个解答？
    \( y^3+（2-y）^3=y^4+（2-y）^4     \)
不晓得这个方程有木有解，
     \(           GEOGBRA              \)上面，就是无表示

     



         针对13楼里面的小情形\(  1B)      \)
有木有可能产生这样一个解答？
          \( y^3+（1-y）^3+8=y^4+（1-y）^4 +16    \)
这个方程一看就应该木有解
【分数之间比大小，不可能产生8的差距】

波斯猫猫

12楼是9搂的简化。本题与原题的提法有所不同，是解不定方程组。

dodonaomikiki

波斯猫猫 发表于 2022-10-2 01:28
12楼是9搂的简化。本题与原题的提法有所不同，是解不定方程组。

目前依靠制图软件Geogbra

如果把x,y,z扩展到非正整数的正数范畴，
好像也只有一组解：x=y=z=1

波斯猫猫

原题求实数解，楼主注重了技巧，而解不定方程组注重了思维方式。