一位数学家在物理世界的意外之旅

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一位数学家在物理世界的意外之旅

中国科学院数学与系统科学研究院 2022-09-22 14:45 发表于北京



劳伦·威廉姆斯数学生涯的轮廓，在她的生活中很早就出现了。

"自从我还是个孩子，我就一直喜欢模式。"哈佛大学教授、数学家劳伦·威廉姆斯（Lauren K. Williams）说。"我喜欢给我一连串的数字，然后必须找到模式并预测下一个数字"。

虽然许多孩子都被模式吸引，但很少有人像威廉姆斯一样，最终跟随它们走得那么远，或者走到如此意想不到的地方。作为哈佛大学的教授——该校历史上第二位终身任职的女数学家——她发现的对应关系，比她在小学学到的任何东西都更令人困惑。

它们都涉及一个单一的数学对象，可以用许多不同的方式来描述。但是，通过从一个全新的角度来看待这个数学对象，42 岁的威廉姆斯已经证明，它是破解数学——以及自然界中各种看似不相关的现象背后的关键秘密。

“她总是无所畏惧，”旧金山州立大学的费德里科·阿迪拉说。他曾与威廉姆斯一起读研究生。“她不害怕在看似不存在的地方建立桥梁。”

贯穿威廉姆斯研究的几何对象被称为正格拉斯曼尼（Positive Grassmannian）。它是执行一种记录功能的形状，其上的每一个点都代表着某个更简单的几何对象的具体实例。

大约在威廉姆斯 2001 年开始在麻省理工学院读研究生的时候，数学家们正在开发一种关于正格拉斯曼尼的新思维方式。他们不再将其视为一个单一的几何对象，而是试图从组成它的各个部分来理解它。

这一观点吸引了威廉姆斯，在过去的二十年里，她建立起许多深远的影响。

威廉姆斯还经常以戏剧性的方式证明，正格拉斯曼尼的碎片能够以一种形式重新组合，解释从海啸波的运动到量子物理学前沿的粒子碰撞的一切。这是一个围绕着正格拉斯曼尼和产生这些独特见解的思想大杂烩。

高级研究所的理论物理学家尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）说：“劳伦是这些人中的一个，她的思维如此清晰。她思想开放，富有冒险精神。”

起点

威廉姆斯在洛杉矶郊区长大，是四个姐妹中的老大。她的父亲是一名工程师，而她的母亲是第三代日裔美国人，教英语。

小时候，威廉姆斯喜欢拉小提琴和写诗，但她最喜欢阅读。晚上，她会在睡觉前把灯拉到被子下面，不睡觉（她最终把床单烧了一个洞）。夏天的时候，“我花了几个小时坐在我们后院的一棵杏树的树枝上，一边看书一边吃杏子。”她说。


威廉姆斯站在乐谱前拉小提琴（左）；威廉姆斯小时候拉小提琴的样子（右）。

四年级时，当她参加一个小学数学竞赛时，数学引起了她的注意。她说：“我意外地赢得了比赛，组织比赛的两位老师把我纳入了他们的麾下。”

当她 16 岁时，她在麻省理工学院为高中生举办的数学研究项目中度过了一个夏天。那是她第一次认真并了解组合学——这是一个涉及到将复杂物体分解成碎片，然后对它们进行分类和计数的数学领域。她从麻省理工学院一位名叫冈崎里美（Satomi Okazaki）的研究生那里了解到这门学科——冈崎里美本人恰好是一位名叫理查德·斯坦利（Richard Stanley）的数学家的学生。斯坦利最终成为威廉姆斯的博士生导师。

当她进入哈佛大学时，她对加入一个更广泛的知识世界感到兴奋。“我想尝试的课程和活动层出不穷，而我的同龄人也和我一样对学习和做任何事情感到兴奋”。她在哈佛主修数学，于 2000 年毕业，并继续在麻省理工学院读研究生。在那里，她开始研究一个有许多“伪装”的数学对象：格拉斯曼尼（Grassmannian）。


威廉姆斯（右1）与老师和其他学生站在一起，手持数学竞赛的奖杯。威廉姆斯在一次数学竞赛中意外获胜后，她对数学的兴趣大增。

“如果你很好地理解了格拉斯曼尼，你就可以在许多不同的方向上前进。”加州大学伯克利分校的伯恩德·斯特姆费尔斯（Bernd Sturmfels）说。他也是德国莱比锡马克斯—普朗克科学数学研究所的主任。

格拉斯曼尼的名字来自赫尔曼·格拉斯曼（Hermann Günther Grassmann），他在 19 世纪中期首次将其正式化。只是它不是一个精确的几何对象，而是一个家族。

为了了解一个单一的格拉斯曼尼，让我们从两个数字开始，1 和 3 。3 表示我们在三维空间中，1 意味着我们将考虑该空间内的一维线。







在这个三维空间中，有三条轴—— X、Y 和 Z ——都在一个十字路口相交，即原点。现在想象一条贯穿原点的线。再往前走一步，试着想象所有可以穿过原点的线，每条线都有自己独特的轨迹。

接下来，想象定位一个球体，让它以原点为中心。这些线中的大多数将与这个球体相交两次，分别在北半球和南半球（通过赤道的线除外）。这使得这两个半球在很大程度上是多余的——它们携带着关于线条的相同信息——所以我们可以忘记南半球的信息。剩下的北半球是由三维空间中的一维线条形成的格拉斯曼尼，或者，像数学家写的那样—— Gr(1,3) 。

这意味着，如果你知道北半球某一点的坐标，你就知道通过该点的一维线的一切。格拉斯曼尼是数学家所说的模数空间的一个例子，这意味着它是一个单一的几何对象，可以作为一种简洁的方式来记录无限多的其他对象。

旧金山大学教授阿迪拉说：“当你（从线到线）移动时，你是在从格拉斯曼尼的一个点移动到另一个点。"这几乎就像一个遥控器。”

这只是格拉斯曼尼的一个例子。如果我们从数字 4 和 10 开始，我们就会想到在 10 维空间中通过原点的四维平面——而格拉斯曼尼—— Gr(4,10) ，将是每个点代表这些四维平面之一的形状。通过从不同的整数对开始，你可以构建无限多不同的格拉斯曼尼。

从 20 世纪 90 年代初开始，许多数学家开始关注格拉斯曼尼的一个特殊部分，即正格拉斯曼尼（Positive Grassmannian）。在我们的例子中，Gr+(1,3) 是北半球的四分之一。它被称为格拉斯曼尼的“正”部分，因为大致上，所有切过它的线都有一个非负的斜率。

但要真正理解它在数学中的地位，数学家们首先要学会如何将格拉斯曼尼拆开。

多中有少

在 20 世纪 70 年代和 80 年代，吉安-卡洛·罗塔（Gian-Carlo Rota）和他的学生理查德·斯坦利想出了一种思考复杂数学图形的新方法。他们将这些物体——它们本身可能是很难研究的——分解成更容易处理的组合碎片。

“你有一些非常复杂的物体，很难理解，”与威廉姆斯一起工作的伯克利大学研究生梅丽莎·谢尔曼·本尼特（Melissa Sherman-Bennett）说。“但你可以把它分成几块，让你更深入地了解这个复杂的大东西。”

当威廉姆斯来到麻省理工学院时，她阅读了乔治·卢斯蒂格(George Lusztig)和他的学生康斯坦茨·里奇在 20 世纪 90 年代的基础性作品，这些作品介绍了正格拉斯曼尼，以及亚历山大·波斯特尼科夫最近的论文，这些论文将组合学的观点应用于该形状。波斯特尼科夫当时在麻省理工学院，威廉姆斯花了很多时间与他交谈。她对他的研究工作将（格拉斯曼尼）这个已经是经典的形状，与数学中更广泛的部分联系起来的方式非常着迷。


劳伦·威廉姆斯在白板上画的正格拉斯曼尼。

“我发现这是一个非常美丽的思想汇合点。”威廉姆斯说。

为了理解格拉斯曼尼是如何被分割成碎片的，回顾一下，它上面的每一个点都编码了通过原点的直线或多维平面的属性。这些平面由向量定义，可以写成被称为矩阵的数字阵列。矩阵的大小取决于格拉斯曼尼。对于 Gr(1,3) ——三维空间中的一维线——通过原点的每条线都由一个 1×3 的矩阵来指定，比如说：

                                                [1 2 3]

矩阵中的数字作为格斯曼尼中编码该线的点的坐标。格拉斯曼尼本身包含无限多的点，这些点不能以离散的、有限的方式计算。但从可以计数的矩阵中提取额外的数据是可能的。

许多矩阵都有一个被称为行列式的测量，这是一个用矩阵中的数字计算出来的单一数值。它们也有“子决定数”，是根据矩阵中的一个数值子集计算出来的；一个 1×3 的矩阵有三个子决定数。

对于威廉姆斯的工作来说，这些子决定数的意义在于它们的符号，可以是正的、负的或都不是（如果子决定数为零）。对于正格拉斯曼尼，选择甚至更加有限：子决定数只能取正值或零值。

这就把无限的、不可计数的东西变成了离散的、可以分类的东西。虽然有无数个不同的 1×3 矩阵，但它们的三个子决定数只能有八个不同的符号模式。(000）、（00+）、（0++）等等。而由于技术原因，数学家们不需要考虑其中的一个，即（000）。这样一来，那些无限的点就只剩下七类可以划分了。





点根据其符号模式分为不同的桶，或“单元（cell）”。你可以把这七个单元看作是组成正格拉斯曼尼的七块拼图。当你第一次看到整体形状时，这些碎片的数量和形状并不明显。当你按符号模式对点进行分类时，它们就变得很明显了——所有具有特定符号模式的点，都能填满一个单元的形状，或者说是拼图块。这种通过符号模式对点进行排序，以揭示拼图的形状的过程对格拉斯曼尼的正片部分特别有效。

从研究生阶段开始，威廉姆斯证明了正格拉斯曼尼的点，在单元格中的排序方式的一些不同特点。2003 年，她设计了一个公式，用于计算在任何维度的正格拉斯曼尼中发现的不同单元的数量。这个结果预示了她职业生涯中后来的许多创新工作。

阿迪拉说：“我认为，她是捕捉那些看起来不是组合性的物体的组合性的大师之一。”

在 2005 年获得麻省理工学院的博士学位后，这种对正格拉斯曼尼的组合观点开始将威廉姆斯带入原本不可能的合作中。

掀起浪潮

有很多方法来规划数学的职业生涯，一种是致力于发展一个新的理论或攻克一个突出的开放问题。但这并不是激励威廉姆斯的原因。

“我宁愿不从事其他人正在从事的工作。我有点不喜欢感觉到我在与其他人竞争，以达到相同的目标。”她说。

她的合作者也注意到了这个不同寻常的特征。阿迪拉说：“劳伦是我合作过的最聪明的人之一，但我从未觉得她有这种竞争的伪装。她有温柔的一面。”

威廉姆斯对“稀有问题”的偏爱，在研究生毕业后就找到了出口。当时她与数学家西尔维·科泰尔（Sylvie Corteel）共同发表了一系列论文，探讨了正格拉斯曼尼的组合学与统计物理学之间的意外联系。

2009 年，威廉姆斯的研究出现了另一个令人惊讶的转折。加入伯克利大学的教师队伍后不久，在寻找关于正格拉斯曼尼的新结果时，她注意到俄亥俄州立大学的一位物理学家在其关于浅水波的研究中引用了她的工作。

“如果有人写了一篇含有正格拉斯曼尼的论文，她总是会看一看，”这位研究浅水波的物理学家儿玉裕二（Yuji Kodama）说。“当然，她并没有想到浅水波。”

儿玉裕二的工作重点是研究一种特殊类型的波，称为孤子，或孤波。这种现象最有名的例子是海啸。不过，更多的时候，孤波是发生在海岸附近。单个孤子独立传播背后的数学原理相对简单，但当孤子相互交叉时就会变得更加复杂。物理学家用卡多姆采夫·佩特维阿什维利方程（或称 KP 方程）为孤波建模。输入一个波的位置，方程就会输出它在未来任何时间的高度。

儿玉裕二正试图理解 KP 方程的不同类型的解决方案，以及代表不同类型的波的相互作用。“如果一个孤子和另一个孤子相互作用……会出现很多模式，我们喜欢对这些进行分类。”儿玉裕二说。

威廉姆斯试图阅读儿玉裕二的工作，渴望看到格拉斯曼尼如何融入其中，但这与她自己的研究相距太远，她无法理解。因此，她邀请儿玉裕二到伯克利来向她解释。即便如此，沟通也不容易。

“他是一位物理学家，也是一位年长的日本人，第一天我们在理解对方方面遇到了很多困难。就像我们在说不同的语言。”威廉姆斯说。

当他们交谈时，儿玉裕二画出了简单的示意图，来说明波的相互作用模式。两条线代表两个波在一个点上汇合，然后一条线代表一个新的波出现。威廉姆斯对这些图画感到很熟悉。她很快认识到，它们反映了被称为“平面双色图”的图像表示，数学家用它来描述正格拉斯曼尼上的点。

威廉姆斯说：“他解释东西并画图，我在听懂他的解释方面有很多困难，但我可以用完全不同的方式画出同样的图”。

之前的工作，已经在正格拉斯曼尼上的点和 KP 方程的解之间，建立了一对一的关系。从正格拉斯曼尼上的一个点开始，应用一些复杂的数学，你会得到一个代表特定波互动的方程解。

在匹配图片的鼓舞下，儿玉裕二和威廉姆斯寻找正格拉斯曼尼和浅水波之间更深层次的联系。这对研究者最终表明，当你将正格拉斯曼尼上的一个点，与 KP 方程的一个解联系起来时，该点所属的单元就决定了方程的解所代表的波浪模式的很多内容。

威廉姆斯说：“波浪形成的大规模行为完全由你在正格拉斯曼尼上的那一点所在的单元决定。”

他们合作的一篇论文中，还留下了儿玉裕二和威廉姆斯写的一首俳句，部分是为了纪念他们共同的日本遗产。其中写道：

石头的排列

揭示了波浪中的模式

随着时空的扩展

“成为一名作家或诗人是我儿时的梦想之一，我想，我现在已经有了教职任期，可以有点疯狂。”威廉姆斯说。

一个世纪前，为正式确定通过原点的线和平面的数学关系而发现的格拉斯曼尼，也恰好索引了物理世界中的现象——威廉姆斯仍然无法完全解释这种奇怪的对应关系。

她说：“格拉斯曼尼似乎与一大堆描述‘现实生活’的东西有关，我没有一个很好的答案，只能说格拉斯曼尼是数学中一个非常基本的对象。”

从电波到粒子

2016 年，哈佛大学数学系向威廉姆斯伸出橄榄枝，问她是否有兴趣加入他们。这个提议让威廉姆斯感到震惊，原因有二。哈佛大学的教师中没有人做她这样的数学，也没有人看起来像她。

“当时没有女性，也没有组合学专家。当我试图下定决心时，这对我的影响非常大。我不确定气氛会是怎样的。”但威廉姆斯很喜欢她在哈佛大学的四年本科生活——以及随后作为博士后研究员的三年——这使她更倾向于考虑该大学的提议。

她前往剑桥，与她未来的同事共进晚餐。这次经历让她很放心，但威廉姆斯那时已经在加利福尼亚定居了。她担心要把她的丈夫和年幼的孩子牵连进来。她也认识到，在数学界如此高调的行动，可能会增加公众对她和她的工作的特别关注。然而最后，她觉得自己有义务接受这个职位，以此来鼓励其他女性从事数学工作。

“我认识到，来到哈佛将使我有机会对一个我非常关心的部门产生积极影响。我明白，榜样很重要。当人们没有看到像他们一样的人从事某个职业时，可能很难想象这个职业可以成为自己的选择。”威廉姆斯说。

2018 年秋季，威廉姆斯开始在哈佛工作，成为有史以来第二位在该大学数学系担任终身职位的女性。

“顶级研究机构的女性数学教授面临着很多看不见的障碍。”阿迪拉说：“从某种意义上说，你必须成为一名战士，但劳伦以如此优雅的方式应对着。”


威廉姆斯戴着口罩站在一栋建筑前。

在威廉姆斯搬到异地居住的同时，她正在深入研究一个新的格拉斯曼尼项目。该项目涉及一个被称为“扩面体”的几何物体，该物体被提议作为物理学中最棘手问题之一的答案。

振幅多面体（Amplituhedron）在 2013 年由尼玛·阿卡尼-哈米德（Nima Arkani-Hamed）和 Jaroslav Truka 发表的论文中被正式描述。它的目的，是帮助物理学家预测基本粒子碰撞时发生了什么。由于量子相互作用的性质，这种碰撞不具备严格意义上的确定性。相反，它们是由振幅描述的，类似碰撞以特定方式发生的概率。

计算振幅的主流方法有点笨拙，叫做费曼图，以其发明人理查德·费曼（Richard Phillips Feynman）命名。这些图涉及庞大而乏味的计算，随着粒子碰撞的日益复杂，很难精确地进行计算。

振幅图是计算振幅的一种更简单的方法。给定一组处于碰撞过程中的粒子，你可以使用它们的属性来构建一个几何对象——振幅面体。它以一种精确的方式体现了粒子的相互作用。通过计算其体积，实际上你在计算给定碰撞的振幅。

阿卡尼-哈米德说：“我们建立一个形状，这个形状的体积给我一个振幅。”

所以问题是如何计算体积。一种方法是将振幅面体分成几块。这个过程被称为三角化，用一个例子就可以很容易看出。想象一下，你有一个球，想找到它的体积。一种间接的方法是用三维三角砖来填充它。总体积是在三角形中使用的所有瓦片的单个体积之和。

“首先，（物理学家）对振幅面体的体积感兴趣，计算体积的一种方法是把它分成更小的块。这就是为什么他们想对振幅面体进行三角测量。”威廉姆斯说。

阿卡尼-哈米德和他的合作者已经定义了与正格拉斯曼尼有关的振幅面体。他们证明，通过与一种矩阵相乘，有可能将正格拉斯曼尼转变为振幅面体，有效地提供了将正格拉斯曼尼上的点移到振幅面体上的“数学配方”。因此，能够将相对研究较好的正格拉斯曼尼的信息，转移到相对未开发的振幅面中。


劳伦·威廉姆斯和尼玛·阿卡尼-哈米德在黑板前交谈。

在哈佛大学数学科学与应用中心工作的三年里，威廉姆斯扩大了这种对应关系。她证明，在某些情况下，正格拉斯曼尼的组合特性——其点分类为单元的方式——通过这一转换过程延续到了振子面。这意味着，正格拉斯曼尼的单元格可以作为三角面体所需的“瓦片”。

到目前为止，威廉姆斯已经证明，这种关系对较简单的振幅多面体来说是成立的。她还提出了一个精确的猜想，预测了需要多少块瓷砖来三角化任何振幅多面体。

“我们在黑暗中摸索了相当长的一段时间，但（她在正格拉斯曼尼上的工作）是整个过程中的一盏明灯。”阿卡尼-哈米德说。

2019 年秋天，威廉姆斯和阿卡尼-哈米德在哈佛大学共同组织了一个为期一学期的项目，该项目将数学家和物理学家聚集在一起，探索正格拉斯曼尼和振子之间的联系。在这次活动中，威廉姆斯与两位物理学家交谈，他们提到了一连串与振幅多面体的三角化有关的数字。

对威廉姆斯来说，这些数字非常熟悉。16 年前，作为研究生的她，在研究一个不相关的正格拉斯曼尼版本的问题时，就遇到过这些数字。但她不明白为什么，它们会（再次）出现在这个新的研究场景中。

制版｜马修

本文转载自微信公号 B 座 17 楼，原题《一位数学家在物理世界中的意外之旅》，略有修订。本文译自 2020 年 12 月 16 日发表于 Quanta Magazin 的 A Mathematician's Unanticipated Journey Through the Physical World ，作者 Kevin Hartnett 。

来源：赛先生