数学家中的长者，一生随着历史的进程而起伏

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数学家中的长者，一生随着历史的进程而起伏

撰文 | 倪忆

“杜甫谓，人生七十古来稀。我们说，而今九十不稀奇。”随着科技的进步和人民生活水平的提高，当今社会的寿星越来越多，其中不乏各行各业出类拔萃的人物。例如几年前作古的，被部分媒体称作“汉语拼音之父”的周有光（1906-2017），享寿 111 岁 1 天。还有不久前仙逝的，第一位在《数学年刊》发表论文的中国女数学家，浙江大学教授朱良璧（1913-2019），享寿 108 岁。

说到高寿的数学家，朱良璧先生还排不到第一。据笔者所知，数学家中的长寿冠军，当属奥地利数学家维托里斯（Leopold Vietoris，1891-2002），活到 110 岁 309 天。他是有确切记录的最长寿的奥地利人，一生跨越三个世纪，亲身经历了两个帝国的灭亡。他本人也是一位非常有成就的数学家。


维托里斯在他的 110 岁寿辰庆典上丨图源：Oberwolfach Photo Collection

维托里斯并不是一个家喻户晓的名字，但学过同调论的人应该都很熟悉。以他名字命名的迈尔-维托里斯正合列（Mayer-Vietoris sequence），是同调论里最基本的结果之一，计算同调群时几乎必然会用到。事实上，维托里斯的数学工作远不止于此，他在点集拓扑、代数拓扑、函数方程与差分方程、概率论、特殊函数、应用数学等领域都有重要贡献。

1994 年，在他 103 岁的时候，维托里斯还发表了一篇单独作者的关于三角和的论文。这篇论文中证明的定理让特殊函数领域的顶级专家、美国科学院院士阿斯基（Richard Askey，1933-2019）大为吃惊，（阿斯基的原文是“a great surprise”，）以至于他专门写了一篇文章加以讨论。

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维托里斯 1891 年出生于哈布斯堡-洛林王朝统治下的奥匈帝国。1910 年，他进入维也纳工业大学，打算成为一名工程师。然而，他很快发现自己对数学更感兴趣。除了本校课程之外，他还在维也纳大学选修了许多数学课，尤其是接触到了点集拓扑学的前沿。

1914 年，第一次世界大战爆发，维托里斯被征召入伍并在战斗中负伤。1918 年 11 月 3 日，解体中的奥匈帝国与意大利签署了停战协定。次日，停战协定生效，将近 50 万奥匈帝国军人成为意大利人的俘虏，维托里斯也在其中。

有一个关于意大利战俘营的段子：一个英军飞行员被意大利抓获，投入战俘营。然后晚餐是包含前菜、主菜、水果和红酒的豪华料理。然后第二天，一个意大利军官前来致歉：“昨天我们犯了一点小错误，给身为将校的阁下提供了一般士兵的晚餐。这绝对不是有意怠慢您……”

然而，段子仅仅是段子。虽然战俘营里的待遇不差，但一下子要给 50 万人管吃管住也不是一个容易的任务。战俘营中的生活，当然没有段子中描述的那样美好。绝大部分战俘只能住在帐篷里，住宿条件在当时各国的战俘营里都算是比较差的。物资供应更是谈不上充足：未来创办《数学文摘》（Zentralblatt MATH）和《数学评论》（Mathematical Reviews）这两大数学文献检索系统的诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer，1899-1990），此时只能和他的难友维特根斯坦（Ludwig Wittgenstein，1889-1951）共用一支铅笔。


关押奥匈帝国战俘的意大利战俘营丨图源：icrc.org

维托里斯在战俘营里待了 9 个月。利用这段难得的平静时光，维托里斯把他关于点集拓扑的思考总结出来，完成了一篇论文。（更多类似的事例，可参见《战俘营里的大学》一文。）1919 年 12 月，维托里斯把论文提交给维也纳大学作为自己的博士论文，并在次年获得博士学位。这篇论文堪称点集拓扑的奠基性文献，像“收敛”、“紧性”这些基本概念的现代定义都是其中给出的。

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1922 年起，维托里斯在维也纳大学任教。1925 年，他获得洛克菲勒奖金，得以前往荷兰阿姆斯特丹访问三个学期。在那里，他参加了布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer，1881-1966）组织的讨论班，学到了新兴的同调论，于是将自己的研究方向转移到这一领域。

同调论是代数拓扑学的一个主要分支。简单来说，同调论就是数一个几何对象里有几个洞。下图是一个广为流传的脑筋急转弯问题，据说幼儿园小朋友答得出，但是成年人答不出。


图源：TVBS

答案是 5 ，因为等号右边表示的是等号左边总共有几个圈。用数学语言就是要计算这个图形的一维同调群。有 n 个圈，一维同调群就是 Zn 。（严格来说，如果采用同调论的观点，等号左边数字 4 的图像应该使用手写体，这样 4 里面就没有圈了。）

类似地，高维同调群大致可以看作是数高维“洞”的个数，这个数叫做贝蒂数（Betti number）。然而，贝蒂数还不能反映同调的全部信息。同调论的创始人庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）发现，同调的信息里还包含一些被称为挠数（torsion number）的整数。1925 年，埃米·诺特（Emmy Noether，1882-1935）在一篇仅有 14 行的短文里指出，同调的信息应该包含在一个阿贝尔群里。贝蒂数就是群的秩，而挠数就是挠子群的阶。诺特的深刻洞见将同调论代数化，同调群成为同调论研究的核心。


诺特的短文

在当时，对于同调群的计算，除了直接从定义来算，没有什么好办法。一个基本的问题是，把一个拓扑空间划分为两个子空间，怎样从子空间的同调群得到原来的全空间的同调群？如果这个问题得到解答，人们就可以把一个空间划分为若干“简单”子空间，其中每个子空间的同调群都能算出来，然后逐步算出越来越复杂的空间的同调群，直至得到全空间的同调群。

维托里斯猜测出了这一问题的答案，并且产生了如何解决问题的想法。回到维也纳大学后，维托里斯开始讲授他新学到的同调论，台下的一名听众是他的新同事迈尔（Walther Mayer，1887-1948）。迈尔也是一战退伍军人。作为犹太人，他很难在大学找到教职，过了几年颠沛流离的生活。在爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）的推荐下，他于 1926 年当上维也纳大学的讲师，从而有机会旁听维托里斯的课程。维托里斯把他关于前述问题的想法都无私分享给了迈尔。


年轻时的维托里斯丨图源：MacTutor History of Mathematics Archive

采用跟维托里斯略有不同的方法，迈尔找到了这个问题的部分解答，即如何计算全空间的贝蒂数。他在 1929 年发表了他的解答。维托里斯本人则根据自己的原始想法，在 1930 年发表了完整的计算全空间同调群的办法。1952 年，艾伦贝格（Samuel Eilenberg，1913-1998）和斯廷罗德（Norman Steenrod，1910-1971）定义了“正合列”这一概念，并把迈尔和维托里斯的定理写成我们今天所看到的正合列的形式，命名为迈尔-维托里斯正合列。

迈尔和维托里斯只当了一年同事。1927 年，维托里斯前往因斯布鲁克大学任教。1928 年，他到维也纳工业大学担任正教授，但在 1930 年又回到因斯布鲁克大学。二战期间，奥地利是纳粹德国的一部分。维托里斯在波兰战场上服役过两年，并再度负伤。除此之外，他的漫长余生都是在群山之间的因斯布鲁克度过。

迈尔则从 1929 年起担任爱因斯坦的数学助手，得到了“爱因斯坦的计算器”这一雅号。几年之后，迈尔将在科学史上的一个重要事件中起到关键作用。当爱因斯坦准备到美国定居时，他要在普林斯顿高等研究院和加州理工学院之间二选一。普林斯顿可以给迈尔提供一个长期职位，而加州理工学院的经费不足以雇佣迈尔，于是爱因斯坦最终选择了普林斯顿。在一封给加州理工学院校长密立根（Robert Andrews Millikan，1868-1953）的信件中，爱因斯坦解释说，迈尔的辅助对他是如此重要，以至于他必须压制所有其它的考虑（“I must suppress all of my other considerations”）。1933 年，迈尔和爱因斯坦一起加入普林斯顿高等研究院，在那里工作直至去世。



1931 年 1 月 15 日，爱因斯坦等人出席加州理工学院教师俱乐部建成后的第一次正式晚宴。前排是三位诺贝尔奖得主，左起迈克耳孙（Albert Abraham Michelson，1852-1931）、爱因斯坦、密立根。迈尔在后排正中。

不过世事难料，迈尔到普林斯顿没多久，便不愿意再追随爱因斯坦寻求虚无缥缈的“统一场论”，回到了纯数学领域。爱因斯坦后来又陆续有好几名助手，但高研院已经没有预算给予他们长期职位。为了纾解其中一位助手英费尔德（Leopold Infeld，1898-1968）的经济困难，爱因斯坦与之合写了一本科普著作《物理学的进化》，所得的版税出乎意料地比高研院发的工资还要高出许多呢！

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再回到我们的主人公维托里斯。他对同调论有诸多贡献，迈尔-维托里斯正合列只是其中最著名的一项。他的另外一项重要贡献，维托里斯复形，在被数学界遗忘了几十年后，又重新获得极大关注，可谓枯木逢春犹再发。

同调论有很多版本。最早建立的同调论是单纯同调论。在这一版本里，研究的对象是单纯复形，即由点、线段、三角形、四面体……这些最基本的“单纯形”按一定规则组成的图形。对于单纯复形，可以很直接地定义其单纯同调群。


一个三维单纯复形丨图源：维基百科

单纯同调群计算起来非常方便。然而，这一版本颇有一些瑕疵，并不适合理论研究。在上世纪二三十年代，出现了许多版本的同调论，试图将同调群的定义扩充到比单纯复形更广泛的空间。维托里斯在 1927 年定义的维托里斯同调就是其中之一。

维托里斯同调是对于度量空间构造的。度量空间，就是可以定义任何两点之间距离的拓扑空间。对于每一个度量空间X和一个给定的正实数 r ，维托里斯构造出了一个单纯复形 Vr(X) 。如果 X 中有 n+1 个点，它们两两之间的距离都小于 r ，那么这 n+1 个点就构成 Vr(X) 中一个 n 维单形的顶点。当 r 趋向于 0 时，Vr(X) 的单纯同调群就能够给出 X 的维托里斯同调。

在上世纪三四十年代，维托里斯同调是每一个拓扑学家都很熟悉的内容。然而，到了 1944 年，艾伦贝格建立了奇异同调论。这一理论可以对任何一个拓扑空间定义，并且非常适于拓扑学的理论研究。于是奇异同调论迅速成为标准，而维托里斯同调论像其它大多数同调论一样，被人们遗忘在历史的长河中。

但这还不是故事的全部。到了八十年代，以色列数学家里普斯（Eliyahu Rips，1948-）在研究几何群论时，重新发现了维托里斯所构造的复形 Vr(X) ，并用它来研究度量空间的粗几何（coarse geometry）。格罗莫夫（Mikhail Gromov，1943-）在他关于双曲群的奠基性论文里将这一复形称为里普斯复形。后来人们才意识到，所谓里普斯复形，其实半个世纪前就被维托里斯构造出来了。于是在文献中经常也把它叫做维托里斯复形或者维托里斯-里普斯复形。这一概念已经成为研究几何群论和粗几何的基本工具。

需要指出的是，尽管里普斯重新发现了维托里斯复形，但对它的使用场景与维托里斯可以说是截然相反。在维托里斯同调里，参数 r 要越来越小，以充分反映 X 的拓扑信息；在粗几何的研究中，r 要足够大，从而忽略掉局部的拓扑细节。从这个角度来说，把里普斯的名字加入其中是合适的。

近年来，大数据成为热点。许多类型的大数据适合用拓扑方法进行定性分析，随之发展起来的一门学科称为拓扑数据分析（Topological Data Analysis, TDA）。拓扑数据分析里的一个基本工具是数据点云（point cloud）的持续同调（persistent homology），后者可以使用经过改进后的维托里斯-里普斯复形 Vr(X) 来很方便地计算。“持续同调”这一名称的含义是，当 r 增加时，持续存在的同调群信息。基于维托里斯-里普斯复形的算法已经在很多 TDA 软件中得到实现。有一个 TDA 软件干脆起名为 Ripser ，以致敬里普斯。

这位里普斯后来弄了个大新闻。他与人合作用计算机研究希伯来语《圣经》，发现如果每隔 n 个字母跳读，就能得到对后世事件的预言。例如当 n 取 50 ，得到 Torah 一词，代表摩西五经。当 n 取 4772 ，能得到以色列总理拉宾遇刺的预言。此外像希特勒屠杀、肯尼迪遇刺、甚至新冠肺炎用这个“圣经密码”都能解读出来。当然，像大多数预言书一样，圣经密码追认过去发生的事情很成功，对未来的预言则十分拙劣。


把这一方法用于英文《圣经》，可以解读出 bible code丨图源：维基百科

在科学史上，前人的工作被遗忘了很多年才被后人重新发现，这样的事例并不少。不过，像维托里斯-里普斯复形这样，从业界知名到无人问津，多年后再得到新生，此类情况还是比较罕见的。

考虑到历史的进程，维托里斯-里普斯复形的遭遇或许不算意外。拓扑结构不依赖于度量。维托里斯-里普斯复形的构造用到度量，已自落了下乘。然而，从七十年代后期开始，度量等几何学的概念大量进入拓扑学的研究，维托里斯-里普斯复形的复兴就成了自然而然的事。

另一方面，奇异同调论适合理论研究，但不适合计算。维托里斯同调虽然不适合理论研究，但却适合计算。在计算机不发达的年代，具体计算并不容易，也没有那么多计算特定复杂对象的同调群的需求。所以维托里斯同调被时代的列车抛弃。只是到了大数据时代，对大数据研究的需求与计算技术的进步结合在一起，让维托里斯-里普斯复形焕发了生机。

幸运的是，维托里斯活得足够长，使得他能够见证自己那曾被时代遗忘的理论回到数学的前沿。对于他来说，这算是晚年的意外之喜吧。

主要参考文献

[1] Heinrich Reitberger, Leopold Vietoris (1891–2002),  Notices Amer. Math. Soc. 49 (2002), no. 10, 1232–1236.

[2] J J O'Connor and E F Robertson, Leopold Vietoris, MacTutor History of Mathematics Archive.

[3] Abraham Hoffman, Albert Einstein at Caltech, California History, vol. 76, no. 4 (Winter, 1997/1998),  108-121.
[4] Nathan Rosen, Reminiscences, in Albert Einstein, Historical and Cultural Perspectives: The Centennial Symposium in Jerusalem, Princeton University Press. (1982)

[5] Gunnar Carlsson, Topology and Data,  Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 46 (2009), no. 2, 255–308.

本文转载自微信公众号“普林小虎队”。