看数学大神欧拉如何处理微积分？“非常简单！”

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看数学大神欧拉如何处理微积分？“非常简单！”

大胆且简洁是欧拉研究的一大特色，仅从初等微积分便可略见一斑。

撰文 | 威廉·邓纳姆（William Dunham，美国穆伦堡学院数学教授）

翻译 | 李伯民、汪军、张怀勇


图片来源：rook76 / Shutterstock.com

无论按何种标准衡量历史上最杰出的数学家，莱昂哈德·欧拉都是其中的佼佼者。在永不枯竭的广泛兴趣的推动下，他使数学发生了彻底的变革，他一方面扩展了像数论、代数学和几何学这样一些早已确立的分支学科的研究范围，同时又创建了像图论、变分学和分拆论这样一些分支学科。数学界在 1911 年开始出版他的著作集《欧拉全集》，这本身就是一个巨大的挑战。到目前为止（编者注：本文出版于 2005 年），已经出版了 70 余卷，达 25000 多页，还尚未完成此项任务。这个耗费了将近一个世纪时间的庞大的出版项目，充分证明了欧拉与生俱来的过人数学天赋。

这种天赋在分析学中表现尤为突出。在已经出版的欧拉著作集中，就有厚厚的 18 卷近 9000 页是论述这门学科的。这些著作中包含了函数（1748）、微分学（1755）和积分学（1768）的里程碑式的教材，以及数十篇题材从微分方程到无穷级数以至椭圆积分的论文。因此，欧拉被描绘成“分析学的化身”。[1]

要在这短短一章的篇幅中公允地介绍这些贡献是不可能的。我们仅选择5个主题（编者注：本文仅节选前两个主题：微分和积分），以期能窥探欧拉的成就。首先从初等微积分的一个例子开始，介绍他大胆的——或许有人会说是不顾一切的方法，来说明他如此鲜明的工作特色。

无穷小量等于 0

欧拉在 1755 年写的《微分学原理》（Institutiones calculi differentialis）这本教科书中，给出了微分学的一些常见的公式。[2]这些公式建立在“无限小量”概念的基础上，他对这一概念的特征描述如下。

毫无疑问，任何量都可以减小直到完全消失，以至最后不复存在。但是一个无穷小量是一种不断减小的量，因此，它在事实上等于 0 ……同其他普通的思想一样，在这种思想中其实并没有隐含什么高深莫测的奥秘，使得无穷小的演算变得如此疑难重重。[3]



对欧拉来说，微分 dx 就是零：既不多，也不少——一句话，什么也没有。因此，表达式 x 和 x+dx 是相等的，并且在必要时可以互换。他注意到“同有限量相比，无穷小量消失为零，因此可以忽略不计”。[4]此外，像 (dx)^2 和 (dx)^3 这样的无穷小量的乘方比 dx 还要小，所以同样可以随意丢弃。

欧拉通常需要寻求的是微分之比，并且确定这个比值，这相当于对 0/0 赋予一个值，这是微积分的使命。正如他所说，“微分学的强大之处在于它同研究任何两个无穷小量的比值相关”。[5]

我们以他对函数 y = sin x 的处理作为一个例证。欧拉从牛顿级数开始（其中我们使用现在的“阶乘”符号）：



用微分 dx 代换 z ，他推出



由于微分的高次方相对于 dx 或者常数是可以忽略的，这两个级数化简成



在等式 y = sin x 中，欧拉用 x+dx 代替 x ，用 y+dy 代替 y（这对他来说没有任何改变），然后利用恒等式



和式(2)，得到



从两端减去 y = sin x ，他得到 dy = sin x+(cos x)dx-y = (cos x)dx 。欧拉把这个结果变成一句口诀：“任意弧度的正弦的微分等于弧度的微分与弧度余弦的乘积。”[6]由此推出，这两个微分的比值自然就是我们所谓的导数，



非常简单！

善用无穷级数

欧拉是历史上最重要的求积专家之一，被积函数越是奇特，他做得越是得心应手。在他的著作中，特别在《欧拉全集》第 17 卷、第 18 卷和第 19 卷中，随处可见下面一类非同寻常的例子：[7]



最后这个公式是超越函数一种多重组合的积分。

作为一个独特的典型，我们考察欧拉对  的求积过程。[8]

首先，他采用了一个备受推崇的策略：只要可能就引入一个无穷级数。

从式（1），他得到



用积分的无穷级数代替无穷级数的积分，得到



形如  的积分不禁使人联想到前一章的约翰·伯努利积分公式，而欧拉立即看出它们的递归形式：



依此类推。正如前一章所见， ，这说明在这样一些不定积分中用 0 代换 x ，相应的项变成零。

当欧拉将这个形式的结果用于式(3)时，他求出



这自然是第 2 章中的莱布尼茨级数，所以欧拉得到



从这个推导可以看出，欧拉同他的前辈们牛顿、莱布尼茨和伯努利兄弟一样，是对付无穷级数的（无畏的）高手。事实上，人们有理由说，在他的前辈数学家们的工作基础上，一种相当高的处理无穷级数的水平造就了这样一位早期的分析学家。

注释

[1] Eric Temple Bell, Men of Mathematics, Simon & Schuster, 1937, p. 139.  
[2] Leonhard Euler, Foundations of Differential Calculus , trans. John Blanton,
Spriger-Verlag, 2000.
[3] 同[2], p. 51.
[4] 同[2], p. 52.
[5] 同[2], p. 52.
[6] 同[2], p. 116.  
[7] 这些积分分别参见 Leonhard Euler, Opera omnia, ser. 1, vol. 17, p. 407, Opera Omnia, ser. 1, vol. 19, p. 227, Opera omnia, ser. 1, vol. 18, p. 8.  
[8] Leonhard Euler, Opera omnia, ser. 1, vol. 18, p. 4.  

本文节选自《微积分的历程》（人民邮电出版社，2020 年 9 月版）第 4 章“欧拉”，小标题和图片为编辑所加。

coolboy

这帖子中说的“欧拉如何处理微积分”的介绍，让我联想起了以前我曾经在“流体中文网”上发过的关于评论“非标准分析”的帖子，其中也提到了类似于“无穷小量等于0”这些分析方法。现在先把那个帖子完整地转载一下：


[讨论]用非标准分析方法封闭湍流方程（吴峰）[28楼]
http://www.cfluid.com/forum.php?mod=viewthread&tid=45356&extra=page%3D5&page=2
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我现在来说一说“非标准分析”。什么是“非标准分析”？“分析”在这里其实就是指“数学分析”，“标准”一般也就是获得大家认可、通常也称作为“主流”的意思。所以，这里“非标准分析”的含义其实是指“非主流数学分析”的意思。那么“主流数学分析”又是指什么呢？“主流数学分析”就是由柯西(Cauchy)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)建立的以无穷级数、极限、epsilon-delta语言等为主体的现代微积分理论。所有与这一主流数学分析不符或企图取代或推翻主流方法的理论或观点都可称为“非主流数学分析”。象上面[24楼]的黄小宁经常在这一论坛发他的“全新数学”。这“全新数学”也可认为是“非主流数学分析”的另一个例子，只不过是没有“非标准分析”这么有名气而已。

我是在当年才上大学时的第一学期听说了这个“非标准分析”的理论或方法的。当年中国大陆“文化大革命”时期有一个很有名的理论就是“读书无用论”。工农兵青年上大学不凭考试、不用凭文化知识（如有些有些男生靠“走后门”、有些女生靠“卖银”上大学）。此外，多读书了还有可能会受批评或批判，是不是倾向“白专”想走资本主义道路啊？所以一般的年轻人都不感兴趣读书学习。我自己因为喜欢自然科学而在中学时在学校图书馆就读了不少的数学物理书。我曾经在一个帖子中说到了一些：
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他乡遇故知    [coolboy]
http://blog.yeshj.com/coolboy/archive/2011/11/26/1710284.html

科学网的曾泳春最近写了一篇博文：
炫耀老书 [曾泳春]
http://blog.sciencenet.cn/home.p ... =blog&id=511044
这也钩起了我对两本老书的回忆。
在中学时曾自学大学的数理化，但真正从头至尾耐心读全了的书没有多少。其中有高中老师推荐的两本书分别是清华大学的《高等数学》上、下册及北京工业大学的《普通物理》上、下册。其它的很多杂书一般都是看了一半或四分之一，看不下去了就换几本不同的书再看。许多年之后，在美国逛旧书店时，看到了下两本书。看着内容特熟悉，应该是自己当时曾经读过一半或四分之一的中文书的原版书。顿有一种“他乡遇故知”的感觉，赶紧掏钱买下：
Van der Waerden, 1949: Modern Algebra, Vol. 1.
B. Friedman, 1956: Principles and Techniques of Applied Mathematics.
上了大学之后，耐心而仔细从头至尾通读过的高等数学书是江泽坚的《数学分析》上、下册。
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此外，一方面是当时书店多马列的书而无一般的数理化书，另一方面是读马列的数学物理书或为了学习理解马列的书而学习数学物理也不可能犯错误，故当时也买了读了一些诸如马克思的《数学手稿》、恩格斯的《自然辩证法》等书。而马克思的《数学手稿》从后来的观点来看也就是类似于上面所说的“非标准分析”、“全新数学”等的另一个“非主流数学分析”的观点而已。马克思在《数学手稿》中的主要新观点也就是说抛弃“无穷级数、极限”的概念没什么了不起的，传统的“零不可做除数”也不一定就是真理，所谓的导数其实就是“0/0”。当时有些人就认为马克思直接用“0/0”取代“极限和导数”是数学分析中的一种革命性的创新。

后来考上大学了。我们那一届的同学中有各类不同的学术背景。例如，就有已经从师范大学数学专业毕业在中学任教之后又再考上大学的，自我感觉我的数理化基础还是要远远地高出包括这类同学的其他同学。直到有一天有一位T同学或T老兄给大家介绍这“非标准分析”。这可是我不知或从没听说过的数学内容，我当时就对他升起了一股崇敬之情。他说这“非标准分析”是一种前沿性的新的数学分析方法，在这里大家感到最难理解的所谓“无穷小”就不再是一个抽象的概念而就是一个实在的“数”。在此基础上许多数学分析的问题的求解就都变得非常简单。当时教我们数学分析的程老师是文革前厦门大学数学系毕业的，正讲到实数集的划分什么的。有次在课余时间我就问了他关于马克思的《数学手稿》的“0/0”以及T老兄说的“非标准分析”的“无穷小”是一个“数”的这些理论。这位程老师也知道或十分清楚《数学手稿》和“非标准分析”理论。尽管当时没有“非主流”或“民科”等术语，但他用非常肯定的语气给我解释了这些理论的特性，说是这些都是一些个人或某些人的观点，一般得不到数学学术界的认可，获得大家认可的理论也还是教科书中由柯西建立的以无穷级数和极限为基础的微积分。epsilon-delta语言其实是把极限的抽象概念具体化，这套理论是很完整和严谨的。因为当时众所周知的陈景润也是从那众所周知的厦门大学数学系毕业的，所以我对程老师那段解释坚信不移，后来也从没有再花费任何时间精力于《数学手稿》和“非标准分析”之中去。

哦，对了，那位T老兄他本人并不是很有名气，但他父亲其实是相当地有名。那位T老兄就是曾经担任过中国国务院副总理及全国人大常委会副委员长谭振林的儿子谭晓光。当然，谭振林出名也并非是他的“副总理”或“副委员长”头衔的缘故，带“副”字的总理、委员长多着呢！谭振林出名是因为他是“文革”时期“二月逆流”事件的“主角”或“正角儿”。当年的“一月风暴”和“二月逆流”是两件很大的事。

coolboy

从上面帖子中的叙述，以及再联系到顶楼帖子对于欧拉这方面工作的介绍，我们现在知道所谓的马克思直接用“0/0”取代“极限和导数”其实并非是马克思在数学分析中的一项革命性的创新，那是欧拉先生早就思考过的问题或即从事过的研究。