数学史笔记：近代数学和微积分

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数学史笔记：近代数学和微积分

原创 数学经纬网 数学经纬网 2022-08-16 21:45 发表于湖南

编者按

早期数学经纬网的小伙伴们开展过数学史的相关学习，重点讨论了近代数学的特点和微积分的诞生。以下是相关的笔记，分享给读者。感兴趣的欢迎交流、探讨。

一、近代数学的特点是什么？与古代数学有什么不同？

1.变量数学：对不对呢？体现在哪些地方？

古代数学：常量数学。

近代数学：变量数学。

同样是一个面积，可以看成是静态的，也可以看成是动态的（比如扫过的面积）。这是观念的不同决定的。

2.研究对象，研究内容，研究方法。（角度：数和形两部分）

（1）常量数学。

a.研究对象。

数：自然数，整数，分数（小数，有理数），无理数

形：点线面，三角形正方形矩形梯形，圆。圆锥曲线。圆锥，圆柱，棱锥，棱柱，圆台，球。

b.研究内容。

数：数的运算和计算，方程。

形：周长（线的长度），面积（面的面积），体积（体的体积），角度。全等。

c.研究方法。

数：计算，解方程。

形：做辅助线综合分析。

Eg. 尼罗河流域，分土地，多与少，怎么刻画呢？产生了这个问题。从数学角度怎么解决大小的问题呢？需要引进数学概念。怎么用数来描述呢？需要一定的方法。梯形→（割补）→矩形，矩形的面积（直觉中的直角坐标系思想）。

（2）变量数学。（观念的调整：动态的观念）

a.研究对象：函数（基本的研究对象，变量和变量的依附关系）。

b.研究内容：极值，单调性，连续性，可微性，可积性等。

c.研究方法：微分法、积分法等。

3.一个事物的转变需要有力（动力）。

（1）常量数学向变量数学时代过渡，它的动因是什么呢？

是和资本主义的发展联系在一块的。科学的进步，冲破宗教神学统治，促进生产力的发展。资本主义萌芽，零散的积累。到17世纪，伽利略时代，近代自然科学开始兴起，主要是近代力学。想反抗宗教神学，研究运动的自然规律，并不是上帝想让它运动才运动。从伽利略开始，有非常强的数学化倾向。先想出来的，借助理想斜面实验，比如平方关系是先算出来再去验证的，不是归纳出来的。这个方法论对于自然科学的发展意义非常大。以往主要是通过事实的归纳。方法论的转变：从一些事实中抽象出数学规律，再去验证。文艺复兴，哲学上理性主义的兴起。要想反抗宗教神学，上帝意志不再作为标准了，那什么东西可以作为标准呢？

（2）西方近代数学的代数学、几何学的发展是怎么发生的呢？

贸易和战争。中国、印度在古代讲求算法。西方引进其它地区的数学成果再加以发展。新航路开辟之后，涉及航海问题，要解决定位和地图测绘的问题。三角学开始发展起来（球面三角，地球表面），和天文问题结合在一起。大量计算，出现对数。文艺复兴，透视，射影几何。

4.如何看待常量数学和变量数学？

小初高中学的东西，常量数学，与日常生活的需求更密切。也有利于我们掌握一般的科学方法。对于工程师，做科学研究，变量数学变得很重要。现实生活中，变量数学应该更能反应本质。

二、微积分的诞生。

1.笛卡尔的坐标系（微积分诞生前的基础工作）。

之前解决几何问题，需要做辅助线，必须靠直观、直觉。而利用坐标系，可以把几何转化成代数，算就行了，平民也可以做。把数和形结合、统一到一块去了。引入了动态的观念（动点的轨迹，这是从形的角度），点在动，数也在动（变量概念的由来）。当然几何直观有时也可以猜到答案，为计算提供方向，各有各的优势。在解析几何中能把两种优势发挥出来。没有变量就没有函数，就没有微积分，没有变量数学时代，群也不会有。

2.微积分萌芽

古代穷竭法，没成体系，偶然发生。真正微积分的诞生，从 17 世纪开始，酝酿，再由 N-L 分别创立。微积分的诞生是在常量到变量的转折阶段发生的。神学→文艺复兴，启蒙运动，打破封建神学观念→观测天体运行，积累和酝酿；望远镜的发展，求切线。

3.微分问题和积分问题。一个一个被孤立地提出来。

a.微分问题：切线（望远镜），近日远日点（最值），炮弹射程，瞬时速度。

b.积分问题：求质心（以质点为模型解决运动问题），扫过的面积。

数学是解决数量关系与空间形式的问题。提出的要求：忽略具体问题背景，抽象出统一的数学工具。N-L把上面的问题归类，微分问题，积分问题，两类问题是互逆关系，微积分从此诞生。

4. N-L 思想。

a. Newton ：1665-1667 ，躲瘟疫，《流数简论》，小 o 的问题。研究位移和速度的关系。小 o 是时间的一瞬。后来，小 o 作为变量的无穷小增量。再后来，又回到了前面，时间是最终变量。再往后，首末比方法，进一步说明：“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量之比所趋向的极限.它们无限接近这个极限，其差可小于任意给定“，极限思想。

b. Leibniz ：1684 发表了一篇微分学文章，1686 发表了积分学文章。牛顿急忙发表《自然哲学的数学原理》。帕斯卡的四分之一圆问题，从微分三角形开始研究。从序列出发，发现离散的求差与求和。组合数学的开创者是 Leibniz 。数轴就是一个一个的点 x 挨在一起，求切线不过是求差（连续的求差用以表达微分），求面积就是求和（微分的和就是积分），导数就是微商。到了这里诞生了自己的微积分原理。

5.微积分方法的发展和牛顿的那一套没有太大的关系。

牛顿发表文章后，微积分优先权之争。Leibniz 到伯努利到欧拉（经过两代人），微积分方法就完成 80% 了。英国开始不接受 Leibniz 思想，100 多年没怎么发展，后来不得不引入欧洲大陆的思想，才赶上。

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