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本帖最后由 elim 于 2022-8-12 10:39 编辑
题:设 \(g\) 在\([0,1]\) 上有定义,\(g(0)=1,\,g(1)=0,\,h\)在\([0,1]\) 连续,
\(\qquad g+h\) 单调升. 试证 \([0,1]\subset g([0,1])\).
证:\(\because\;f=g+h\) 单调升, \(h\)连续, \(\therefore\,g(x-)\le g(x+)\small\,(0< x<1).\)
\(\qquad\)若有 \(c\in(0,1) -g([0,1])\), 则由 \(1=g(0)\le g(0+)\) 知
\(\qquad E_c=\{a\in (0,1) \mid g(x)> c, \,x\in[0,a) \}\ne\varnothing.\)令 \(x_c = \sup E_c\)
\(\qquad\)则 \(g(x_c-)\ge c \ge g(x_c+).\) 综上得 \(g(x_c-)=g(x_c+)\implies\)
\(\qquad\implies f(x_c)=c.\) 与\(\,c\,\)的取法矛盾. 可见\([0,1]\subset g([0,1].\small\quad\square\)
题目很妙。以前从来没想到过。\(g+h\)的单调升,\(h\) 的连续竟然迫使 \(g\)几乎处处连续,且满足介值定理. |
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