物理定律的对称性和简单性与希格斯玻色子（上）

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物理定律的对称性和简单性与希格斯玻色子（上）

译者们征得马尔达西那的同意之后，翻译了他的一篇科普文章 “The symmetry and simplicity of the laws of physics and the Higgs boson” (arXiv:1410.6753)。由于篇幅较长，我们将分两次进行推送，本次是第一部分。

撰文 | 胡安·马尔达西那（Juan Maldacena）（阿根廷理论物理学家，普林斯顿高等研究院教授）

翻译 | 郭圆宏（中科院理论物理研究所 2021 博士研究生）、张思源（中科院理论物理研究所 2019 级博士研究生）

摘要

上个世纪 50 年代到 70 年代，“自然界的相互作用力来源于对称性原理”这一思想逐渐发展了起来，物理学家们据此预言了希格斯玻色子的存在，而该粒子随后于 2012 年被发现。在这篇科普中，我们将通过一个经济学类比来解释自然界的这些对称性。除此之外，还有一个很重要的要素——希格斯机制。这一机制会使关于对称性的结论更加严谨，同时也能揭示基本粒子的许多特性。

1  童话故事

我们现在对粒子物理的理解就像“美女与野兽”的故事。“美女”像是自然界里的力：比如电磁力，弱力，强力，万有引力。它们全都建立在对称性原理的基础之上，我们称其为“规范对称性”。不过我们也需要“野兽”，即希格斯场。粒子物理中许多神秘之处都包含在希格斯场中（有些人会认为它是“丑陋的”）。但是，对自然的描述中必须同时包含这两个东西，因为我们是“美女”与“野兽”的“爱情结晶”。


图 1 ：粒子物理就像美女和野兽。四大基本作用力是美女，而希格斯场则是野兽。

首先，我们将会通过一些类比来介绍这两位主要演员：美女（规范对称性原理）和野兽（希格斯机制）。在以往许多介绍粒子物理的科普文章中，读者往往会被领着走一段很长的路：从关于世界的日常经验出发，穿过分子、原子、原子核等等，遵循它们在历史中被发现顺序，逐渐深入这些组成物质的微观单位。而这篇科普会尝试一些不一样的方式，我们会径直空降到一个现代性的观点之中——这是一个有着非常简单规则的仙境。具体来说，这篇科普将围绕规范对称性的作用以及粒子物理定律令人惊讶的简单性来展开。我们知道，描述基本粒子的模型是“标准模型”，而之所以说这些定律简单到令人吃惊，是因为它们能解释大多数普遍现象，也能刻画从宇宙诞生之初一毫秒到现今的宇宙，还能描述除暗物质以外的几乎所有已知物质。这些对自然界的描述是物理学家们经过艰苦的实验工作取得的成果，这篇科普中将不作回顾，感兴趣的读者可以阅读其它粒子物理学方面的科普作品。

2  对称性

2.1 普通对称性


图 2 ：具有各种对称性的图形。(a)正方形在旋转 90 度时是对称的。(b)长方形仅在旋转 180 度时对称。(c)正方形在沿虚线的反射变换下也是对称的。(d)这个图形在任何反射变换下都是不对称的。然而，它在旋转 90 度时是对称的。(e)这个圆可以关于旋转任何角度对称。(f)环的对称性与圆圈相同。(g)这个图形没有对称性。

让我们先来介绍对称性这一概念。物理学中的对称性和我们日常所说的对称是相同的，它是一种使对象保持不变的变换。例如，一个正方形可以旋转 90 度，和旋转前看起来是一样的。如果我们有一个长方形，情况就不是这样了，如图 2 所示，长方形需要旋转 180 度。当然也可以有一些没有对称性的图形，比如图 2 的(g)。圆是非常对称的，它在绕中心旋转任意角度后都保持不变。此外，两个不同的图形可以具有相同的对称性。例如，圆和环是不同的图形，但它们在绕中心旋转时却具有完全相同的对称性。所以说，可能会出现这样一种情况：我们只知道物体的对称性是什么，而不知道物体具体是什么。但有时候，只要知道物体具有的对称性，便足以预测物体所满足的性质。例如，一个在旋转下对称的刚性物体具有圆的对称性，那么无论这个刚性物体是实心圆柱或空心圆柱（或是别的形状），我们都能预测它可以在桌子上平稳地滚动。当然，在其他方面，空心圆柱体和实心圆柱体的行为可能有所不同。例如，一个可以漂浮在水中，另一个则可能不会。

而我们将要讨论的物理中对称性是这些我们更熟悉的对称性的推广，正是它们决定了自然界中的相互作用力。

2.2 电磁学回顾


图 3 ：(a)电场沿电场方向对带电粒子施加力。(b)磁场对运动的带电粒子施加力，该力与磁场和运动方向垂直。(c)带电粒子最终围绕磁场作圆周运动。

在开始讨论之前，让我们回顾一下有关电磁学的一些知识。我们知道存在电场和磁场，它们可以被认为是每个时空点上的小箭头，并且这些场会对带电粒子产生作用，我们也因而感觉到它们的存在。电场会沿着电场方向推动带电粒子，而磁场则只作用于运动的电荷。在磁场存在的情况下，运动的电荷会感受到一种垂直于其速度方向的力（洛伦兹力）。所以，如果你是一个带电粒子，当你沿着垂直磁场的方向向前运动时，会感觉到有一种力量将你推向一侧。这时，如果没有其他的力，那么你最终会沿着一个圆形轨道运动。于是，带电粒子在磁场中作圆周运动。整个过程如图 3 所示。

这些电场和磁场有自己的动力学，比如产生电磁波。电磁波是电场和磁场相互激励振荡的现象，可以在真空中传播，比如像是无线电波、光、X 射线、伽马射线等等，希望你们对这些都很熟悉。不要惊慌！你不需要知道详细的方程式就可以理解下面的内容。你所需要知道的只是：（1）有电场和磁场，它们可以存在于真空中；（2）这些场会作用于带电粒子并影响它们的运动；（3）电场沿着电场的方向推动带电粒子；（4）带电粒子围绕磁场作圆周运动。

2.3 规范对称性

电磁学可以看作是一种“规范理论”，这是关于电磁学的另一种叙述，在我们希望把这一理论推广到其它相互作用力和描述电磁学的量子力学版本时，这种叙述非常有用。为了形象地解释规范对称性，可以引入一个进行了一些理想化和简化的经济学类比。请记住，我们的目标不是解释现实的经济世界，而只是为了解释真实的物理世界。好消息是，该模型比现实的经济世界简单得多，这就是为什么物理学比经济学更简单！


图 4 ：每个圆圈都是一个拥有自己货币的国家，它们由蓝色的桥连接起来，在每一座桥上都有一家银行，而每家银行都有一个独立的汇率，图中给出了一些例子。当你过桥时，你应该把所有的钱换成新的货币。

接下来，我们来介绍这个经济模型。假设有一些国家，它们各自有自己的货币。第一个假设是，这些国家排列在一个平坦世界的规则网格上，如图 4 所示，每个国家都通过一座桥梁与邻国相连。而每座桥上都有一家银行，你需要在银行换汇，即将原先携带的货币兑换成即将进入的国家的货币。并且这些银行都是相互独立的，没有一个中央机构协调各国之间的汇率，因此每家银行都可以自主地以任意方式设定汇率。此外，银行不收佣金。举一个例子，假设出发国家的货币为美元，到达国家的货币为欧元，且两国之间桥梁上的银行设定汇率为 1.5 美元 = 1 欧元，如图 4 所示。如果你有 15 美元，银行会在你过境时将其兑换成 10 欧元。如果你决定回来，你的 10 欧元将兑换成 15 美元。因此，如果你去了一个邻国，然后马上回来，你只能兑换回和你出发时一样多的钱。第二个假设是，你只能从某个国家出发前往它的邻国，而不能直接从一个国家飞到另一个不相邻的国家。总结一下，你只能从一个国家走到另一个国家，穿过各种桥梁，不断换汇。最后一个假设是，你在国家之间移动时唯一能带的东西就是钱，而不能携带黄金、白银或任何其他物品。后文在考虑弱力和希格斯机制时将会放松这个假设，但现在我们仅考虑只能携带钱的情况。

让我们再来回顾一下这些假设：（1）将国家排列在网格上；（2）每个国家都有自己的货币；（3）这些国家通过桥梁相连；（4）每座桥上都有一家银行兑换货币；（5）银行可以选择他们喜欢的任何汇率；（6）银行没有佣金；（7）在国家之间移动时只能携带钱。这相当简单，你所能做的就是每次跨境时在各国之间换汇。

那么，对称性在哪里呢？让我们来解释一下，什么是规范对称性。想象一下，某一个国家在其货币面值中积累了太多的零，然后他们希望能去掉这些零。这件事在现实世界中的高通胀国家里相当普遍。于是，有一天，当地政府决定改变货币单位，比如现在每个人都需要使用“奥斯特”而不是“比索”（阿根廷使用过的两种货币单位）。政府会宣布 1000 比索现在值 1 奥斯特，或者说 1000 比索等于 1 奥斯特，然后所有价格和汇率都会相应地改变。举个例子，如图 5 所示，如果一根香蕉值 5000 比索，那么现在它值 5 奥斯特；如果你的工资是 100 万比索，那么现在将是 1000 奥斯特；假设其邻国是美国并且汇率是 3000 比索 = 1 美元，那么现在将是 3 奥斯特 = 1 美元。我们就将这一货币单位的改变称之为“对称”，因为在这一变换之后，没有发生什么真正的改变，没有人变得更富或更穷，而且这一变化也不会带来新的获利机会，这纯粹是为了方便。你可以在图 6 中的阿根廷钞票上看到这种“规范对称性”的作用，之所以我们称它为“规范”对称性，因为它是我们用来测量，或者说“规范”各种量值的单位的对称性。


图 5 ：每个国家都可以改变其货币单位。使用比索的国家将货币改为奥斯特，使 1000 比索 = 1 奥斯特。然后所有价格和汇率都会相应变化：比如国内香蕉的价格和该货币对其邻国的汇率都会随之变化。


图 6 ：规范的对称性在起作用：现实世界中，从阿根廷比索到奥斯特的变化。

并且，这种对称性是“局域性”的，这是说每个国家都可以在自己国家内决定进行这种改变，而不会受到邻国的影响。一些国家可能比其他国家更愿意这样做。在现实世界中，自 20 世纪 60 年代以来，阿根廷通过这种“规范对称性”的各种动作消除了 13 个零，因此今天的 1 比索等于 20 世纪 60 年代的 10^13 比索。

然后，我们引入投机者：投机者是在不同国家之间奔波，试图从换汇中获利的人，所以他会沿着经济收益最高的路线旅行。回想一下，根据先前的假设，他必须四处旅行，而不能坐在办公桌前在电脑上进行交易。

如果你是投机者，你认为自己能在这个世界里赚钱吗？想想看，你会以什么方式做到呢？

乍一看，你似乎赚不到钱。如果你从一个国家到它的邻国后就直接回来，由于汇率保持不变，你最终换回的钱是一样的。然而，如果你途径更多的国家再回来，你是有可能赚钱的！

举个例子，让我们来考虑三个国家，比如美国、欧洲和阿根廷，以及他们相应的货币美元、欧元和比索。现在让我们想象一下，这三个国家之间有桥梁相连，并且汇率如下：

1.5 美元 = 1 欧元，

1 美元 = 10 比索，

1 欧元 = 10 比索。

在这种情况下，你能赚钱吗？在你继续阅读之前先想一想，这是值得付出努力的！

事实上，可以按如下方式挣钱：从阿根廷出发，本金 10 比索，然后去欧洲，得到 1 欧元，再去美国，得到 1.5 美元，最后回到阿根廷，得到 15 比索。从阿根廷出发时是 10 比索，而回到阿根廷时是 15 比索，那么该回路的增值为 1.5 倍，即收益率为 50% 。如果你出发时携带 X 比索，那么最终会收获 1.5X 比索，该系数与货币单位无关。比如，如果阿根廷政府将货币单位从比索变为奥斯特，这条路线的收益仍然是相同的 1.5 倍。

你可能会认为，是因为银行愚蠢地设定了“错误”的汇率，投机者才得以利用这些漏洞。不过，这正是我们已经阐明的规则。银行设定他们想要的汇率，随后有些选择会带来投机的机会，而有些选择则不会。投机者的头脑很简单，他们只关心赚钱，他们会选择赚钱最多的路线。在上述情况下，投机者将先从阿根廷到欧洲，再到美国，最后回到阿根廷，如此循环往复，如同图 7 中绿色的路线。


图 7 ：三个国家使用各自的货币，蓝色的桥上给出了相应的汇率。沿着绿线所示方向移动就能获利。并且循环一圈的收益系数是 1.5 ，收益率是 50% 。

现在，在物理学上，这些国家类似于空间中的点或小区域。整套汇率是整个空间中“磁势”的一种分布。类似于图 7 这种可以赚钱的情形我们称为磁场。我们可以把收益的多少与磁场联系起来，投机者则可以当成是电子或其它带电粒子，在磁场的存在下，它们通过绕圈来赚钱。然后，“沿回路的总收益”就可以和“这一回路所包围区域的磁场通量”等同起来。现在想象一下，你是一个拥有债务而不是金钱的投机者。在这种情况下，你会沿着相反的方向依次通过这些国家！然后你的债务将以同样的比例减少。在图 7 给出的例子中，通过沿着反方向运动，每循环一圈你的债务将减少三分之一。可以认为负债的情况对应着物理学中的正电子，这是一种与电子相似但电荷性相反的粒子，在磁场中正电子的圆周运动方向与电子相反。

在物理学中，这个关于国家和汇率的故事发生在非常非常微小的空间距离上，比今天所能测量的空间距离要小得多。当我们观察任何物理系统时，即便那是真空，我们也是从很远的地方观察这些国家，所以它们看起来会像是一个连续体，如图 8 所示。当一个电子在真空中运动时，它会连续地从一个时空点移动到下一个时空点。在非常微观的尺度上，它将在不同的国家之间不断移动，改变它携带的货币，并在这个过程中变得“更富有”。在物理学中，我们不知道时空点是否像先前描述的国家一样是离散的。然而，规范理论中的计算通常会先假设这些国家是离散的，然后在所有国家彼此非常接近时，将它们看作一个连续体，这就是“连续性极限”。


图 8 ：不同规模的国家网格。从左到右，国家在不断缩小，网格数量在不断增加。当国家足够小时，整个网格就可以被视为一个连续体。

电磁学建立在类似的规范对称性之上。事实上，在时空的每一点上，都有一个圆周旋转的对称性。可以简单想象时空中的每一点都有一个额外的圆，这是一个额外的维度，如图 9(a) 所示。位于时空中每个点上的“国家”都可以选择一种方式，独立地用这个圆来规定一个角度。更准确地说，一个“国家”都在自己的圆上选择一个起始点，那么这个圆上其它点的位置，就可以通过圆心到这个点和到起始点的连线所夹的角度来确定，这就像在经济模型中选择货币单位一样。在物理学中，我们不知道这个圆是否是真实存在的，也不知道是否真的有一个额外的维度。我们所知道的是，物理上要求的对称性与额外维度导致的对称性是相似的。在物理学中，我们喜欢做尽可能少的假设，额外的维度不是一个必要的假设，只有对称性才是。此外，唯一相关的量是磁势以及相应的磁场，它告诉我们，当从时空中的一个点移动到它的邻近点时，粒子在额外的圆上的位置是如何变化的。


图 9 ：(a)电磁相互作用的对称性，等价于每个时空点上都有一个圆的结构。黑线相交的地方即每个时空点，相应的圆可以看成一个额外的维度。(b) 弱相互作用的对称性，等价于每个时空点上都有一个球体的结构。我们不知道圆或球体是否真的作为额外维度存在，但规范对称性等价于存在这样的额外维度。我们只需要考虑它们的对称性，以及与额外维度相关的“汇率”

在电磁学中，电场和磁场遵循麦克斯韦方程组。对应到经济学类比，这相当于对汇率存在要求，这件事可以通过经济模型直观地理解。想象一下，如果有一些国家和相应的汇率分布，以及一些带着钱四处换汇的投机者。假设考虑其中一座特定的桥，会有许多投机者从两个方向穿过这座桥，这些投机者需要在桥上的银行换汇。然而，如果一个方向的投机者比另一个方向的投机者多，那么银行就可能会耗尽其中一种货币。例如，考虑银行位于连接阿根廷到美国的桥上，如果想要兑换美元的投机者多于想要兑换比索的投机者，那么银行将耗尽美元。如果现实世界中碰到这种情况，银行将会调整汇率以减少想要兑换美元的投机者的人数。事实上，如果我们假设沿着一个特定回路的投机者人数与他们在这个回路中获得的收益成正比，那么我们会发现，银行不耗尽任何一种货币的条件，或者说每座桥上的净资金流为零的条件，会等价于麦克斯韦方程组。

2.4 弱相互作用力

让我们开始讨论弱相互作用力（之后简称弱力）。弱力在放射性衰变中发挥着很重要的作用。例如，一个典型的衰变过程是一个原子核外的自由中子会花大约 15 分钟的时间，衰变成一个质子、一个电子和一个（反电子）中微子。相比其它发生在微观时间尺度的反应过程，这真的是一个非常慢的衰变了。虽然弱相互作用和我们的日常生活不是十分相关，但它在宇宙早期演化历史中扮演着重要角色，尽管这个力不是很强。另外，弱力也在恒星化学元素的嬗变中启到很大作用。事实上，我们周围的所有化学元素（除了氢和氦）都是在恒星中被“烹饪”出来的！弱力这个过程中扮演着至关重要的角色。离我们的生活更近些，还可以说是弱力在移动着地壳板块、山川海洋！更准确来说，地热的部分来源是弱力导致的元素衰变，而正是地热在移动着陆地、创造着山峰！

弱力也同样可以用规范理论来理解。这里每一个时空点上都有一个球的旋转对称性，后面我们把这个球称为弱球，见图 9(b) 。我们其实并不知道弱球是否真实存在，我们只知道在弱相互作用里，当从空间中一点移动到另一点时需要明确三个量，这三个量可以当作三个“汇率”（后面我们称为“弱汇率”）。并且这次我们带的也不是钱了，而是可以用弱球来定向的一个物体。当我们携带着一个在弱球中有定向的物体，从一个国家出发去往邻国时，会需要根据“弱汇率”去重新定向我们的携带的这个东西。值得注意的是，利用弱球进行重新定向需要三个量，需要确定一个旋转轴（两个量）和一个围绕旋转轴旋转的角度（第三个量），类似于欧拉角。此时，这三个量会分别对应三种磁场，而不再像电磁力一样仅仅只有一种磁场。然后也会有一系列方程用来限制这些磁场和相应的电场的行为，这也和电磁力类似。1954 年，杨振宁和米尔斯（Robert L. Mills）首先提出了这些方程，不过遭到泡利（Wolfgang E. Pauli）激烈反对。泡利反对的理由在于，杨-米尔斯理论预言了存在新的无质量粒子，但它们在自然界并没有被发现。这样一个丑陋的事实就这样扼杀了一个如此美丽的理论。

2.5 为什么是无质量粒子？

要想理解泡利反对的理由，先要回顾一下波的一些性质。一个系统中的波可以有不同波长，而波长指的是两个相邻的波峰之间的距离。在一个物理系统中，人们通常会关心激发不同波长的波需要消耗多少能量。对于一个给定强度的波来说，激发这个波所需的能量会依赖其波长，随着波长越来越长，其能量消耗会越来减小，而当波长非常非常长的时候，激发所需能量便于这个波对应粒子的质量直接相关。要解释清楚这一点，要用到著名的质能方程 E = mc^2 和德布罗意关系，不过不幸的是，我没能找到一个很简洁的方式把这一点解释清楚，此刻你可以先相信这一结论，然后继续往下阅读。在我们的经济学类比中，目前还没有谈论过能量，可以先假设能量消耗会随着投机者利润增加而增加。这一假设很符合直觉，因为投机者能赚的越多，银行就会越艰难！因此，一个波给出的汇率分布产生的利润越薄，激发这个波消耗的能量也越低。图 10 中我们分别给出长波和短波情形所对应的汇率分布。这里面很重要的一点是，投机者每环游一圈（图 10 中的绿线）赚到的钱来自相邻汇率的差别，而与汇率本身的高低无关。在这种情况下，波长越长，利润越薄。随着波长增大，利润将减小到无利可图（也就是激发所需能量减小到 0 ），正是这一特征意味着这个波相应的粒子是无质量的，比如对于电磁场而言光子是无质量的。这一论证过程不仅对电磁相互作用成立，对弱相互作用也同样成立。至少对我们目前讨论的这个版本的弱力来说，这个论证是对的吧……


图 10 ：长波较长和短波较长的汇率的例子。波是指这样的现象：当从左到右移动时，中间的数字会上升或下降。每一条线段都是一家位于两个国家之间的银行，而国家位于线段的交叉口，数字则表示按箭头方向过桥时的汇率。此外，波的总振幅是相同的，而汇率则在 1 到 1.3 之间。对于波长较长的情况来说，沿着绿线指示的最小回路获得的增益较小。

（未完待续）

本文转载自微信公众号“中国科学院理论物理研究所”。

英文链接：https://inspirehep.net/literature/1323628