五联骨牌的组合密铺性质研究

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五联骨牌的组合密铺性质研究

作者 | 王东风 杨凡（写于 2021 年 11 月 16 日）

来源 | 小谜题大世界

伤脑筋 12 块，是一种历史悠久的益智玩具，相传起源于中国的骨牌，西方称为“中国的难题”或“pentomino”。伤脑筋 12 块包括全部 12 种由五个单位正方形通过边与边相连形成的多边形，这些多边形也叫五联骨牌或五连方。伤脑筋 12 块的玩法多种多样，最基本的玩法是用 12 块拼一个 6×10 或 5×12 的长方形。20 世纪 50 年代初，上海一位语文教员方不圆老师将 12 块改成立体的，使其玩法更加丰富，比如能拼 3×4×5 的长方体。伤脑筋 12 块还被漫画家丰子恺誉为“超乎玩具之上，与象棋、国棋相颉颃（xiéháng，不相上下）。”

在马丁加德纳的《骰子与棋盘上的马》中有这么一个结论：每个四联及五联正六边形骨牌可以密铺平面。同样的，王东风老师发现伤脑筋 12 块中的每一块也能密铺平面。如下图，每个英文字母是依据每种五联骨牌的形状所做的命名，这也是伤脑筋十二块爱好者常用的命名方式。


图 1

王东风老师又尝试了任意两块五连方的组合，共有 C（12，2）= 66 种组合，发现它们都可以密铺。随后，王东风老师提出一个看起来不太可能成立的猜想：“在伤脑筋 12 块中任取几种五联骨牌，都能密铺平面。”

今年 10 月 22 日，毕继朋老师在线上马丁聚会中做了主题为“伤脑筋十二块的创意玩法”的分享。在最后的讨论环节中，王东风老师再次提出这一猜想，引发大家的思考。

经过王东风老师的探索和群友的讨论，今年 11 月 13 日，这个猜想得到了证明，随后我们还对这一结论进行了推广。内容如下。

01

引理 1 ：在伤脑筋 12 块中，除 U 形外，任意 n 种五连方的组合（2≤n≤12，下同），都能周期性密铺平面。

（周期性密铺，是指朝一个方向平移之后能够与原图重合的密铺方式。否则为非周期性密铺。）

证明：如下图，每种五联骨牌都能单独拼成“1-2”锯齿形，并且向两个方向无限延伸。因此，不管有几种五联骨牌，只需依次拼在一起即可，然后整体再不断重复。


图 2

02

引理 2 ：在伤脑筋 12 块中，任意一种含有 U 形及“F、L、N、P、T、W、Y、Z”之一的五连方组合可以周期性密铺平面。

证明：不妨设组合中含有 F 。先将 U 形和 F 形拼成“1-2”锯齿形（抱歉，这里漏了一幅图，请见下期修订版），其余形状根据引理 1 单独拼成“1-2”锯齿形，之后依次拼在一起，然后整体再不断重复。

03

引理 3 ：在伤脑筋 12 块中，U 形与“I、V、X”中任意几种骨牌的组合可以周期性密铺平面。

证明：如下图，全部的 7 种组合都能周期性密铺平面。


图 3

综合图 1 及引理 1～3 ，得到引理 4 ：

引理 4 ：在伤脑筋 12 块中，任意 n 种五连方的组合（1≤n≤12），都能周期性密铺平面。

可以算得，这些组合的个数总和为



下面证明引理 5 。

引理 5 ：在伤脑筋 12 块中，任意 n 种五连方的组合（2≤n≤12）,都能非周期性密铺平面。

证明：对“1-2”锯齿形密铺而言，任意一种组合，假设按照上述密铺方式形成的“1-2”锯齿阵列有 n 种（记为 a1，a2，…，an），先把这 n 种阵列依次拼在一起，形成“a1a2…an”，然后在两侧增加“a1a1a2a2…anan”，再在两侧增加“a1a1a1a2a2a2…ananan”……依此类推，实现平面非周期密铺。

在最后的 7 种密铺中，UV 中形成了两种“1-4”锯齿阵列，UI 中形成了两种“2-2”锯齿阵列，UVX 中形成了两种“3-2”锯齿阵列，UVI中形成了两个柱状阵列（可以看成“零锯齿”阵列），它们可以采用与“1-2”锯齿形密铺类似的方式形成非周期密铺。

UX 、UIX 、UVIX 形成了矩形重复单元。而所有的矩形重复单元，都可以排成如下图所示的两个柱状阵列：


图 4

之后就能看成零锯齿阵列的方式非周期密铺，证毕。

注意，当 n=1 时，该命题不成立，因为骨牌 X 只有唯一一种密铺方式（及其镜像），不属于非周期密铺。

引理 6 ：在伤脑筋 12 块中，任意 n 种五连方的组合（1≤n≤12），都能周期性或非周期性地密铺空间。

证明：在引理 4 的基础上，周期性密铺空间是显然的——只需一层层地重复堆叠即可。下面证明非周期密铺。

对任意一种组合，至少存在一种平面的周期性密铺（记为 T ）。我们把 T 往上或往右平移 1 格（记为 T'），使 T 、T' 不重合。然后我们可以先堆放一层 T 和 T' ，再在上下两侧各堆放一层“T T T' T'”，再在上下两侧堆放“T T T T' T' T'”……依次类推，实现空间的非周期密铺。

综合引理 4～6 ，我们证明了下述定理。

定理 1

在伤脑筋 12 块中，任意 n 种五连方的组合（2≤n≤12）,都能周期性或非周期性地密铺平面和空间。

后记

由对凸五边形单密铺的研究，我联想到骨牌的密铺问题。今天随手翻了一下读过多遍的《剖分与组合——从七巧板到水立方》（柳柏濂著），竟有了不小的收获。比如，知道了 7 联骨牌有 108 种，居然只有 4 种不能密铺（其中 1 种有空洞）。8 联骨牌有 369 种，只有 26 种不能密铺（其中 6 种有空洞）。至 2007 年，人们只找出了 28 联骨牌的种数—— 153511100594603 种。而对于多种骨牌的组合密铺，书上没有这方面的资料。

最后，感谢应长丰、悠然、同乐等群友的讨论（特别是应长丰老师的“临门一脚”——发现了“UVIX”的一种密铺方式）。