神奇的费马与他的费马原理（上篇）

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神奇的费马与他的费马原理（上篇）

以下文章来源于简博士数据分析吧 ，作者 Janneil

欢迎回来。在之前的数学漫谈中，我们给大家分享过数学漫谈-贝特朗奇论、数学漫谈-黎曼猜想、数学漫谈-素数之恋。今天的数学漫谈我们重点聊一聊费马原理。

壹  三个世纪的谜题-费马猜想

1. 皮埃尔·德·费马

说到皮埃尔·德·费马，他可是 17 世纪数学界中的明星，被称为是「业余数学家之王」。

为什么是「业余」呢？因为他主业是律师～要说在 17 世纪的法国，男子最讲究的职业是什么？

自然就是律师啦，不仅时髦体面，还令人敬羡。

不过大数学家费马一生却从未受过专门的数学教育。对他来说，数学研究只是业余爱好罢了。


皮埃尔·德·费马，Pierre de Fermat 业余数学家之王

那为什么又是「数学家之王」呢？

因为在当时来看，17 世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌，让我们一起数一数!

他是「解析几何」的发明者之一，从方程的角度出发来研究轨迹；对于「微积分」诞生的贡献仅次于牛顿、莱布尼茨，关于这一点我们在下期的文章中将会与大家分享；他还是「概率论」的主要创始人，正是帕斯卡（物理中压强的单位就是以他的名字命名的哦）与费马在一系列书信往来中发明了概率论；他在「光学」上也有突出贡献，关于这一点我们一会儿就会说到；哦，对了，他还是独撑 17 世纪「数论」天地的人，只不过是因为 20 岁那年，费马买了一本名为《算术》的书，接着就开始了数论这门数学分支。

Amazing！费马就是妥妥的一位斜杠青年啊！



2. 三个世纪的谜题-费马猜想

当然费马不仅仅是斜杠青年，而且非常「凡尔赛」，他的一句「省略」竟然引发了三百多年的数学论证。我们先来聊聊大名鼎鼎的费马大定理。

费马非常喜欢边读书边做批注。1637 年，他还在读那本《算术》，兴致之处，费马书的空白处写了这样一个批注：

“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的！关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”



这可难倒了一系列的数学家，历经三百多年的历史，最终在 1995 年，英国数学家「安德鲁·怀尔斯」足足写了 130 页的论文，宣布自己证明了费马猜想，此时这个猜想才改名为「费马大定理」。


安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），英国著名数学家、牛津大学教授。

刚刚给大家介绍的费马大定理是我们今天的开胃菜。

这一期内容，我们的主角是「费马原理」。这一原理虽然看来普普通通，却是众多学科的第一性原理！让我们先来看看什么是费马原理。

贰  费马原理与凸优化

1. 什么是极值点？

在介绍费马原理之前，首先来说说极值点的概念。



2. 费马原理和极值点的关系



3. 如何判断是极大值还是极小值？

现在咱们就得分三种情况来说说啦。







看得出来，找极值一个常用方法，就是通过导函数为零来实现。

比如说，对于一个无约束的优化问题，我们直接求偏导，令其为零即可，对于一个有约束的优化问题，可以通过拉格朗日乘子法得到拉格朗日函数，仍然求偏导，令其为零来求解。

这也是「凸优化」的赖以实现的「第一性原理」。对第一性原理还不熟悉的小伙伴，电梯送你回去看看科学漫谈-元宇宙的第一性原理是什么？

叁  费马原理和几何光学

除了作为凸优化的第一性原理，费马原理还是「几何光学」的「第一性原理」。

在几何光学中，费马原理又称为 「“最短时间原理”」 。意味着，光在传播的过程中，一定是沿着所需时间平稳的传递，这里的「平稳」在数学上，其实就是关于时间的函数一阶导数为 。

1. 光沿直线传播




光沿直线传播

这就和我们学物理时学过的一句「光沿直线传播」是相通的。

接着我们看看如何用费马原理来证明反射定律和折射定律。

2. 反射定律

在物理学中，我们只需要通过做实验就可以得到「入射角等于反射角」的反射定律。


反射定律：入射角等于反射角

然而，在数学界，又该如何来证明呢？









3. 费马原理和折射定律

接着，我们再来看看折射定律。





肆  用费马原理推导高斯分布？

是不是有些意犹未尽？

来，小简再为大家上一道餐后甜点。

在这里，小简将一个通过「费马原理」得到的小结论分享给大家：

关于高斯分布我们已经知道很多了，比如质量检测常用的 3 西格玛准则，这印在了德国的纸币上。





由此可见，高斯分布的许多性质竟然可以从费马原理得来，真令人惊叹！

关于费马原理的内容我们还没有介绍完哦，下篇我们将继续分享它如何发挥第一性原理的作用。