神奇的费马与他的费马原理（下篇）

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神奇的费马与他的费马原理（下篇）

以下文章来源于简博士数据分析吧 ，作者 Janneil

欢迎回来。在之前的两期里，我们给大家介绍了斜杠大师费马和他的费马原理在不同领域中的应用，甚至还有费马原理如何在几何光学、凸优化、微积分中发挥第一性原理的作用，这期呢，我们就继续说说「费马原理和变分法的故事」。

当然啦，在开始「变分法」之前，我们先来说说什么是「泛函」。

壹  什么是泛函？

通常我们最熟悉的就是函数，泛函是什么呢？广泛意义上的函数？

「泛函」的英文名并不像广义线性模型（General Linear Model）、广义相对论（General Relativity）那样，在 Function 前面加一个 General 就完事儿了，而是称为 「Functional」。

注意，此处的 functional 不是一个形容词，而是一个「名词」，特指咱们数学中的泛函。从这里，小简大胆猜测一下，这个词语没准是想说，「泛函就是函数的函数」。我们一起看看是不是呢？

1. 泛函的概念

不妨先看一下什么是函数？



假如这是一个魔盒，即使扔一块儿石头进去，没准也能吐出来一块儿金子。

不过现在我们用这个魔盒做点数学上的处理，比如将：

一个数值 x 扔进去，我们发现吐出来一个数值 y ，这就可以理解为在魔盒里做了「映射处理」。通过魔盒，将一个数值 x 映射为数值 y 。



那么魔盒中的这个映射处理是什么呢？其实就是咱们常说的函数 f ，用来描述 x 与 y 之间的映射关系 。


▲ 泛函

假如我们现在扔进魔盒的是一个函数 f ，结果吐出来的是一个数 a 。这时候魔盒所做的映射处理，就被称为泛函了，可以如果这个泛函记作 A ，那么 f 与 a  之间的映射关系为 a = A[f] 。

那么函数和泛函有什么不同呢？其实很简单。

函数是从「一个数」的集合，映射到「一个数」的集合上。

泛函是从「一个函数」的集合，映射到「一个数」的集合上。

2. 举个例子

我们考虑一类常用的泛函。





多想一下，原点矩、中心距的本质看来就都是泛函啦。

可见，泛函其实随处可见～

贰  用泛函得到最优路径

好啦，现在相信你已经知道什么是泛函的概念了，不过，为了让你更好地理解泛函的作用，咱们先来来看看「泛函和滑雪」有什么联系。

1. 滑雪比赛中最优路线是哪一条？

前一阵的冬奥会让各位小伙伴大饱眼福，那么如果在 U 型滑雪槽中，想让滑雪运动员能够得到最快的加速度，该如何设定路线呢？



虽然两点之间直线最短，但是并不是「两点之间的这条直线是滑到地最快的」。

可是这又出现了一个问题，两点之间的直线只有一条，这个太好找了。可是曲线却有千千万万条，数也数不清，该怎么办呢？

不用担心，这个问题在 17 世纪末的时候就解决了。

2. 最速下降轨迹问题

根据记载，最初提出这个问题的是「伽利略」。


伽利略 1564-1642 意大利天文学家、物理学家和工程师、 欧洲近代自然科学的创始人

我们都知道，伽利略对于钟摆很是钟爱，伽利略不仅从中发现了「等时效应」，还从摆动的路径，提出刚才我们从滑雪中发现的那个问题。


历经八年之久，伽利略意识到了两点之间的直线不是最优解，他认为或许是两点之间的圆弧，并写在了 「《关于两门新科学的对话中》」。

遗憾的是，「众多科学家发现圆弧并不是最优解」。

60 年后，在 17 世纪末的时候，伯努利家族中的「约翰·伯努利」提出一个难题挑战赛：什么形状的滑梯，才能让滑行者最早到达地面呢？


约翰·伯努利 1667-1748 瑞士数学家 对微积分具有卓越贡献

这里，我们不妨看一个“最优路径该选谁”的小视频～



据许多人推测，约翰当时应该已经得到问题的答案了，此举不过是为了挑战「牛顿」，顺便奚落哥哥「雅克布·伯努利」。

约翰规定答案必须在 1697 年 1 月 1 日之前寄出，后来在他的老师「莱布尼兹」的建议下，将期限延长至复活节。而且，为了确保牛顿得知此事，约翰给牛顿寄去专信告知此事。


艾萨克牛顿

传说，虽然当时的牛顿已年过半百，但他在下午四点钟收到邮件之后，只用了一个晚上就解决了问题，并匿名寄给「约翰」。

尽管匿名，但约翰仍毫不费力地猜出匿名信作者的身份，不由得赞叹：

I recognize the lion by his claw！（我从利爪认出了雄狮！）——约翰·伯努利

截至复活节，约翰一共收到五分答案，分别来自：「他自己，他哥哥，他的老师，牛顿还有我们上一期神奇的费马与他的费马原理（中篇）提到的洛必达侯爵」。

尽管牛顿用时最短，而约翰用了两个星期，但约翰仍然很得意，因为他觉得自己的方法是最简洁漂亮的，其他人都是用微积分得到的答案。

为什么呢？

想必大家都猜到了，「约翰」借用了「费马原理」！

下面我们就一起看看约翰的解决方案。

3. 用费马原理来求最佳路线

首先回顾一下费马原理在几何光学中的表述神奇的费马与他的费马原理（上篇）。

「最短时间原理」: 光沿着最短传播时间的路径行走。

所以，我们得到了光的折射定律：


光的折射路线




图中  的轨迹就是最速降线，也称为「旋轮线或者摆线」。看起来，这条轨迹还是和伽利略脱不了关系啊，伽利略研究钟摆多年，就差考虑旋转的情况了，可惜可惜！

我们拎个图出来，看看为何这种线可以满足要求呢？


▲ 旋轮线







叁  用变分法求泛函的极值







肆  变分法应用实例





请看这些古典园林建筑的屋顶，「是不是都是与 U 型槽相似」？因为在多雨的季节，这样的设计可以让雨水更快地流动。

2. 狄多公主的妙计

接下来，咱们再举个带有约束的泛函优化的实例。

先讲个小故事轻松一下。

在希腊传说中，推罗国王穆顿有个聪明漂亮的公主叫做「狄多」。她本过着无忧无虑的快乐生活，但是好景不长，她的丈夫被她的兄长塞浦路斯王杀死了。


狄多和丈夫分别

可怜的狄多赶紧逃亡到了非洲的西海岸，她想在这里生活下来。于是就拿出随身携带的珠宝、玉器等，打算从当地酋长亚尔巴斯那里买些土地盖房子，酋长问：你想换多大的土地？

狄多说：「我只要一张牛皮围起来的地方」。

酋长一听挺高兴，一张牛皮没多大啊，于是爽快地答应了狄多的要求。

谁料，狄多想到的是一个绝妙的主意，她把牛皮割成很多非常细的牛皮条，「然后把这些牛皮条一根根连起来，显然，这根长长的牛皮绳最终围了今天的迦太基遗址」。


迦太基遗址

那么，问题是如果已知一块牛皮的大小，也就是已知剪成条状后牛皮条的总长度，该如何圈地，才能得到最大的土地面积呢？

不妨取常量 ，我们可以得到特解：




迦太基古城

好啦，关于神奇的费马与他的费马原理系列，咱们就说到这里。相信看完这 3 篇小文章的小伙伴，肯定对费马原理有了更深入的理解啦。

参考文献：

泛函维基百科 https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_(mathematics)
巧解最速降线方程 https://zhuanlan.zhihu.com/p/157441697