“反过来”学数学：从图形到符号的思考法

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“反过来”学数学：从图形到符号的思考法

作者 | 老张评论

来源 | 图灵教育

2003 年，大英议会罕见地讨论了一个焦点问题：学一元二次方程，有什么用？

故事的起因是，在一次英国教师联合会议上，一元二次方程成为了众矢之的，它被批判为“数学家强行施加给无辜的、毫无戒备的学生们的典型‘酷刑’之一”。随后，一元二次方程成了当时黄金时段电台节目的讨论主角，在节目里，它遭到了各种质疑。《泰晤士报》甚至特意在头条位置写道：一元二次方程是毫无用处的，数学是无用的……没有人真想学习数学，大家不必浪费时间。

有鉴于此，为了避免对一元二次方程的不利看法在民众心里一直占据上风，英国下议院专门讨论了这个问题。幸好，英国民众最后没有放弃数学，免除了数学的“罪过”。

为什么会发生这种咄咄怪事？在数学界，有些编写教材的人想维护“数学王国”的神秘和尊严，却忘记了数学的“初心”——他们大概也不了解数学是怎样生长起来的。事实上，和所有科学门类一样，学习数学最好的方式之一就是从了解数学的发展脉络，也就是数学史开始。

学习数学的基本方式，简单地说也是三段论：遇到问题 — 分析问题 — 解决问题。

你也许遇到过这个问题：一个长方形的长比宽多 2 ，且其面积是 63，问：长方形的长是多少？

其实，在公元 823 年左右，花拉子米从印度回到波斯后，就给此类问题提出了一个解法，即用图形构造代数问题的解决方法。实际上，这个最古老的解法正是初中学生能快速掌握一元二次方程的好方法。孩子们通常要学一个月的课程内容，或许可以压缩到一节课，就学完了！等你学会了这个方法后，反过来想想，整个初中代数的基本框架也许用十个小时左右就能掌握了。

实际上，这才是真正意义上的“减负”学习法吧？

《不可能的几何挑战》一书以数学史上四大著名的“古代问题”——化圆为方、三等分角、倍立方、作圆内接正多边形为基础，从历史的角度，展现了两千多年来，数学家们为解决这些问题留下的令人拍案叫绝的思想与成就。这场历史的探索将我们从古典时期引领到今天。纵观两千年，这四个“不可能解决”的问题引导、启发了人们数学思维的发展，发掘出数学思想史中的种种细节。人们为解决这些问题而找到的方法——尽管大多“竹篮打水一场空”——延伸至整个数学领域，众多重大数学发现皆与它们息息相关。笛卡儿、牛顿、高斯等数学巨擘，都多多少少从这些问题的讨论中吸取营养，各自成为数学大方。

然而，问题本身反而是次要的。我们走完这趟旅行，就会发现整个古典数学的经纬脉络就变得清清楚楚，各个知识点也显得更容易掌握。这时候，我们回头再看初中和高中的数学课本，每个知识点的来龙去脉就完全活了起来。

我们就用上述花拉子米的解法来举个例子。如何用 10 分钟给初中生讲明白一元二次方程？

分析：一个长方形的长比宽多 2 ，且其面积是 63，请问长方形的长是多少？

第一步：该长方形首先可以切成两个部分，一个是边长为宽（设为 a ）的正方形 A ，面积为 SA = 宽^2 ；另一个是长方形 B ，面积为 SB = a×2 。



第二步：长方形 B 可以继续平分为两个长方形 C ，其面积为 SC = a×1 = a 。



第三步：正方形 A 和两个长方形 C 可以拼成缺了一个角的正方形。而这个大正方形的边长为 a+1 。如图所示，这个缺失的角是一个 1×1 的正方形。



第四步：从上图中可以看出大正方形面积等于：

a^2+2×a+1 = (a+1)^2 = 63+1 = 64

解得 a = 7

透过这个例子不难看出，数学的底层逻辑，如“这个问题是怎么来的？”“它是如何演变和进化的？”“知识树又是怎么生长的？”，大多藏在数学史中。带着问题去学习，往往是最好的路径。

数学学习最好遵循先“场景化”，再“图形化”，然后“符号化”的规律。但在很多情况下，孩子们在课堂里遇上的数学一上来就被“符号化”了——这就是很多孩子觉得“数学难”的根本原因。

《不可能的几何挑战》这本书恰恰在场景化和图形化方面做得十分精彩。每个符号变换背后，都有图形变换和场景作为支撑。通过讨论这几个议题，作者带着我们把整个初等数学和高等数学的框架都“刷”了一遍。而这种浏览绝对不是课本式的，它所遵循的正是“提出问题—分析问题—解决问题”的三段式学习方法。

最后的效果是，我们不但看见了“树木”，更看见了整个数学体系这片森林。



《不可能的几何挑战》

作者：大卫·S.里奇森  

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2022-01