温度与神秘的虚时间｜众妙之门

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温度与神秘的虚时间｜众妙之门

在一般认知里，温度和时间是两个截然不同的物理量，现在物理学家可以通过一种数学上的骚操作把它们联系起来，甚至可以“互换”。这个操作就是威克转动（Wick Rotation）——把时间变为虚时间。虚时间的引入，能使量子力学和统计物理中的问题相互转化并求解。尽管物理学家尚不十分清楚这一操作背后的物理本质是什么，但它一直是处理各种物理问题非常有效的工具，现在就来看看威克转动的神奇之处吧！

撰文 | 董唯元

物理学的魔力之一，就是能够将原本看似不相关的事物联系起来，从而揭示出自然规律更深刻的本质。在牛顿之前，恐怕没有人会相信，苹果落地与日月星辰的运行，背后由统一的规律在支配。今天我们要聊的时间与温度，也是两个貌似无关的物理对象，但是通过一种数学操作，它们之间的神秘联系就能显现出来！

虽然现在物理学家还无法完全理解这种联系的本质，但作为一种跨界处理问题的工具，它已经显示出了惊人的威力。像黑洞辐射温度这类原本看似无法下手的计算，现在竟然可以非常轻松地完成，其难度甚至不会超过高考数学压轴题。正是这种神奇的魔力，使许多物理学家都逐渐开始相信，这种数学操作的背后，一定还隐藏着尚未充分挖掘的深层物理奥妙。

用虚数计量时间




量子现象在虚时间中的经典图像





这个在虚时间世界里的解，刚好可以完美描述量子隧穿行为。处在虚时间过程中的赝粒子被称为瞬子，而量子隧穿就可以看做是瞬子在“势阱”里从一端运动到了另外一端，其运动过程和轨迹完全遵守牛顿定律，只是将时间变成了虚时间。没想到吧，在虚时间的帮助下，我们居然可以用牛顿力学的经典轨道来描述量子行为。

之所以能将飘忽的量子效应拉回到经典图像之中，是因为量子理论中很多奇特效应，反映在数学形式上就是以复数的形式体现。如果虚时间出现的位置合适，刚好就可以把这些复数变量重新变成实数。

不过更为有趣的是，虚时间的引入居然可以使量子力学与热力学产生许多微妙的联系。

联结两个算符



应该说这种脑洞有些过于写意，至少在没有足够具体的图像来支撑之前，不能随便做出这种推测。不过稍稍退回半步，关于虚时间与温度之间的联系，倒是确实已经有非常“物理”的内容，并且已经在理论研究中发挥着日益重要的作用。

最直观的解读就是，虚数单位i配合着实时间t一起出现在指数位置，这说明实时间其实是相位自由度，负责描述概率幅变化。在热力学的平衡态系综里，恰恰缺少了相位自由度，但同时多了另一个描述概率分布变化的参数，那就是温度。从这一点来看，直接把逆温度β与虚时间归为同类，至少当做哲学作业是可以交差了。

当然这种“因为缺骰子所以改掷硬币”的解读还是过于粗浅且模糊，如果现在就声称二者在物理上有什么内在一致性，恐怕很多人都还会满腹狐疑。相位有周期性重复，而实指数分布则不存在周期。况且时间在我们的认知里一直是个维度，很难相信温度也能充当维度的角色。两者的体貌特征实在差距太大，硬说是一对双胞胎，实在难以令人信服。

在进一步了解它们的物理意义之前，我们不妨先看看虚时间到底在哪些地方发挥了怎样的作用。

路径积分中的虚时间

费曼的路径积分理论，物理图像十分精彩，但具体数学操作却很容易吓倒一些初学者。引入虚时间的威克转动，就是经常用来简化路径积分的一大利器。



下面我们来看看威克转动到底能帮上什么忙。



在没引入虚时间之前，我们对路径积分的认识是：不同分身之间存在相位差，某两个分身的相位相反时就会互相抵消。而ћ是非常小的量，这使得路径稍有不同的两个分身，他们之间的作用量差异就可以使相位贡献差异很大，于是来自众多路径的贡献纷纷相互抵消，最后只剩下经典路径的贡献。

而引入虚时间之后，所有路径都提供正向贡献，正负相抵的情况不再存在。不过不同路径的贡献程度不同。经典路径，也就是最短路径，因为欧几里得作用量最小，所以贡献程度最大。而偏离经典路径的那些分身，他们的贡献度指数级衰减。看，虽然外表有变化，但同样使路径积分理论与经典情况顺畅衔接。

现在我们再来回头审视前面提到的，虚时间和温度在物理意义上关联程度的讨论，也就是描述概率幅的相位，与描述概率分布的指数率，这二者之间的内在一致性，似乎就没那么难以接受了。而接受了这种内在一致性之后，量子力学与热力学之间便架起了宽敞的大桥，许多原本只在自身领域发挥作用的理论工具，都有机会服务于另一领域的棘手问题。

其实在高阶量子理论尤其是路径积分工具的使用中，来自热力学的关联配合已经非常紧密。以至于几乎每一本涉及路径积分的教材里，都会像植入广告一样适时地插入一段介绍热力学的章节。初学者也许会丈二和尚摸不着头脑，以为编辑排版出了差错。而对熟手来说，“不懂热力学的路径积分都是假的路径积分”似乎已然成为一种共识。



温度相当于循环的虚时间





由于欧几里得作用量SE是“鬼魂能量”对虚时间τ的积分。我们可以把每个微观状态想象成自由度被限制在一维上的单向环路运动，欧几里得作用量SE就是在这个环上可以收集到的所有能量，而环的大小则对应温度条件。

这个略显“无厘头”的把戏有什么实际用处呢？一方面，这个机械性的小环图像，可以辅助我们将热力学问题解读为动力学问题，从而获得额外的解决思路；另一方面，其实我们还能反向使用这个图像，当遇到形式类似欧几里得作用量这般的动力系统时，不妨尝试利用威克转动，将其变成热力学问题来求解。

量子场问题的“降维打击”









计算黑洞的温度

本文开始的时候提到虚时间在引力理论中也会发挥威力，现在我们就以黑洞辐射温度这个例子来填前面挖的坑。在1974年霍金发表的论文中，用了几页篇幅才完成的推导过程，我们这里将使用威克转动神器秒杀之。





我们知道真空中充斥着能量涨落，随时会有一对粒子产生，转瞬间再相互碰撞湮灭。虽然这种向真空借取的能量似乎破坏了能量守恒，但不确定性关系会逼迫这种凭空借贷必须在极短时间内就要偿还，过后一切如常能量守恒律完好无损。然而这种随处上演的剧本，却在黑洞视界处有了不一样的情节安排。

当一对凭空产生的粒子对中，如果有一个粒子脚下一滑落入黑洞视界以内，它们的分手就无法破镜重圆了。因为黑洞内的时间空间互换结构，落入黑洞内的粒子能量变成了动量，动量变成了能量。这种“变性”之后的粒子，已经不能再回到从前伴侣的身边了。



真空涨落中的粒子对能量都是一正一负，如果携带正能量的粒子被黑洞吞噬，其结果就跟吞噬了普通物质一样，剩下的负能量粒子早晚要跟其他正能量粒子再次碰撞湮灭。如果黑洞吞噬的是负能量粒子，那么剩下的正能量粒子就是黑洞向外界的辐射。同时，黑洞自己因为误服了负能量的粒子，体重也会下降，这也从总体上保全了能量守恒律的颜面。总之，整体效果就是黑洞牺牲了自身体重，来向外发出热辐射。这就是黑洞具有温度的物理原因。

了解了这个物理机制之后，请读者此处暂停片刻，思考一下对黑洞温度的具体求解应该从哪里入手呢？







隐藏的秘密仍待发现

得出黑洞辐射温度，只是循环虚时间这一概念在引力理论中众多应用之小小示例。但已经非常明确地显示出，威克转动这个数学小技巧似一道神奇的令牌，竟然可以兮乎间调动来自量子理论、热力学以及时空引力理论等诸多方面的神兵共同出阵。其魔力究竟源于哪里，至今仍是物理学家们颇为好奇的疑问。

另外，一些依靠循环虚时间概念所展开的理论研究，也在迅速发展之中。例如一个名为欧几里得量子引力的理论系统（EQG，Euclidean Quantum Gravity），就已经将虚时间作为主要武器，在探索引力量子化、宇宙暗能量和宇宙创生等方面都取得了不俗的成就。