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陈省身:广义相对论和微分几何

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发表于 2021-11-4 21:34 | 显示全部楼层 |阅读模式
陈省身:广义相对论和微分几何

作者 | 陈省身

来源 | 《自然杂志》3卷4期

我是作为一个微分几何学者来谈谈广义相对论令人惊佩的结构,如我所理解,广义相对论属于物理学,它的基础是物理实验,几何学的目标应该是研究空间。几何学的研究是由传统和持续性所指导的,其评价标准是数学的创造性、简洁、深刻以及它们的良好的结合和协调,因此几何学有更大的自由并可略事沉醉于想象中的课题,但是在历史上,它也曾被突然惊醒发现这些抽象的对象一贯和现实密切相关,微分几何和广义相对论的关系就提供了这样的一个事例。

广义相对论诞生于 1915 年,微分几何早期等同于微积分,导数和切线,积分和面积曾被看成是同样意义的对象,微分几何作为独立的学科诞生于 1827 年这一年高斯发表了他的《曲面的一般研究》(Disquisi tiones circa superficies curvas),在其中,他以二次微分形式为基本工具,奠定了二维的局部微分几何的基础。即使高斯也没有能预见到,这理论的四维推广会成为引力论的基础。

一、爱因斯坦以前的微分几何

在 1854 年的一篇历史性的文章《论几何学的基础假设》中,黎曼将高斯的工作推广到高维,并打下了黎曼几何的基础。在文章中他首先引进n维流形的概念其中的点用n个实数作为坐标来描述,这是从高斯以来的巨大的一步,因为高斯的弯曲曲面是放在三维欧氏空间中的,而不是内在的,爱因斯坦对数学的看法是纯正的,他难于接受黎曼这样的概念,从 1908 年狭义相对论到 1915 年广义相对论,花了他七年功夫,他举出下面的原因:“为什么还需要七年才能建立广义相对论呢?主要原因在于不那么容易从坐标必须有一个直接的尺度意义这一概念中解脱出来.”



将一个微分形式变到另一个的条件,这个问题于1869年由 E.克里斯多菲尔及 R.利普希茨解决了,克里斯多菲尔的解包含了以他的名字定名的记号及协变微分的概念,在此基础上,1887~1896 年间黎契(Ricci)发展了张量分析,这在广义相对论中起了基本的作用,黎契和他的学生 T.列维-齐维他,在历史性的研究报告《绝对微分法及其应用》(MathematischeAnnalen1901)中,对黎契计算法作了一个综述,克里斯多菲尔曾在苏黎世的高等工业学校任教(后来爱因斯坦是这里的学生),因而对意大利的几何学者产生了影响。注意到今年是他的 150 周年生日,这或许是使人感兴趣的。

与这些发展同样重要的是,在世纪转折时期微分几何学的主要活动集中于欧氏空间的几何,这继承着欧拉与蒙日的传统,一个代表性的工作是达布的四卷《曲面论》,它过去是而且现在仍然是一部经典著作,要几何学者从一个绝对的围绕空间(通常是欧氏空间)中解放出来是困难的。

大约与克里斯多菲尔-利普希茨解决形式问题同时,F.克莱茵在 1871 年阐述了厄尔朗根纲领。这就是把几何学定义为研究有连续自同构群的空间,例如欧氏空间具有刚体运动群,射影空间具有射影直射变换群等,厄尔朗根纲领用群论统一了几何,在发表后的半个世纪内成为几何学的指导原理,在应用上,它可以从已知几何结果中导出新的、看上去没有关系的结果(作为群的同构的推论)。索福斯·李(Sophus Lie)的线性球变换是一个有名的例子。

克莱茵的厄尔朗根纲领与狭义相对论完美地相配合,狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下场方程的不变性,这导致了这位处于世纪转折时期最有影响的德国数学家克莱茵成为狭义相对论最早的支持者之一,洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。它还有几何学的解释,当我们研究空间中球的几何时,将球变为球的所有接触变换构成一个 15 参数的李群,而把平面变为平面的变换构成一个 10 参数的子群,后者与 4 个变量的洛伦茨群同构,所导致的几何学就是拉盖尔的球几何学。

克莱茵的厄尔朗根纲领的伟大成功自然地引起了克莱茵空间或现在称之为齐性空间中的微分几何的研究,特别地,射影微分几何起始于 1878 年哈尔芬(Halphen)的学位论文,后来从 1906 年起为E.J.威耳津斯基(Wilczynski)的美国学派所发展,从1916年起为G.富比尼(Fubini)的意大利学派所发展。

二十世纪初,整体微分几何处于摇篮时期。1909年,马科帕迪阿亚(Mukhopadhyaya)阐述了四顶点定理,范戴克(van Dyck)在 1888 年从高斯-邦尼特 公式导出拓扑的结论:一个闭的有向曲面的高斯曲率的积分等于,这里是曲面的欧拉示性数,希尔伯特以独特的预见在 1901 年写了关于常数高斯曲率的曲面一文,在文中他给出了利普曼定理即具有常数高斯曲率的闭曲面必为球的一个新证明,还证明了定理(希尔伯特定理);具负常数曲率的完备曲面不能到处正则,在希尔伯特的辅导下,佐尔(Zoll)在 1903 年发现,非球的旋转闭曲面的所有测地线都是闭的,在动力学的推动下,庞加莱与 G.D.伯克霍夫(Birkhol)证明了在凸曲面上存在闭测地线。

微分几何的最终目的是整体的结果,但是,局部微分几何不能减缩到最低限度,因为每个整体结果必须有一个局部的基础。为使整体微分几何有一个系统的发展,必须打下它的基础,这必须从拓扑中来。广义相对论供给了动力。

二、广义相对论的影响

爱因斯坦建立广义相对论时,有效的数学工具是以黎契计算法来论述黎曼几何学,爱因斯坦引进了有用的和式约定。对微分几何的影响是令人震动的,黎曼几何成为中心的课题,我们注意到斯高登(Schout en),列维-齐维他,E.嘉当和艾森哈特(Eisenhart)等人关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924~1926年期间。

这些发展立即得到推广,很快就清楚,在应用黎曼几何于相对论时,不是黎曼尺度本身而是列维-齐维他平行移动起着关键的作用,H.韦尔(Weyl)在他的名著《空间、时间、物质》(1918)中引进了仿射联络的相念,这是一个可用来定义平行移动和协变微分的结构,不必需是黎曼结构,韦尔的联络是对称的或无挠率的。

E.嘉当在他的主要论文《仿射联络的流形及广义相对论理论》(1923~1924)中给出仿射联络的权威性论述以及它向有挠率联络的推广,这篇文章当时并未受到理所应得的注意,原因很简单,因为它走在时间的前头,因为它比仿射联络论更丰富,它的思想可以容易地推广到任何李群的纤维丛的联络理论中去,对这理论,黎契计算法已不能适应了。文章还说明为什么爱因斯坦的理论是牛顿理论的直接推广,特别地,可以举出下列贡献:

(a)引进了结构方程,并将比安契(Bianchi)恒等式解释为对结构方程进行外微分后所得的结果。

(b)认识到曲率是一个张量值的二次外微分形式。

用几何的话来说,仿射联络是一族仿射空间(即纤维),它们由一个空间(基空间)所参数化,使得这族仿射空间是局部平凡的,并且有一个把纤维沿着基空间的曲线“展开”的法则,使线性关系得以保持,类似地,我们可以把克莱茵空间当作纤维而以作用于克莱茵空间的李群来代替完全线性群,并且也有一个对应的展开法则。嘉当称这样的结构为一般空间(espace gen- eralisé),一般来说,这个联络是非和乐的(non-holo nomic),即展开依赖于基空间的曲线,换句话说,沿一条闭曲线作展开时,空间并不回到原来的位置,它的变差是由联络的曲率来度量的,显然,克莱茵空间本身是一个曲率恒等于0的一般空间。

在克莱茵制订厄尔朗根纲领时,已观察到黎曼几何并不包括在内,因为一个一般的黎曼空间除恒等变换外并不含有其他等长变换,从嘉当的观点来看,黎曼空间是一个以欧氏空间为纤维的空间,且具有列维一齐维他联络,这解决了微分几何中的一个 基 础的问题,因为这样就有了一个概念,它包括了克莱茵空间、黎曼空间以及这两种空间的推广。

几何结构往往以一个非直观的形式给出,通常它或是一个由积分所定义的尺度,或是由一组微分方程所定义的子流形族,两个最熟习的例子是黎曼尺度和由二阶常微分方程所定义的道路。在这样的空间定一个联络不是一个容易的问题,事实上,就是黎曼空间的列维-齐维他联络的定义也已相当不平凡了。如所期望,道路空间几何学(E.嘉当,O.维布伦,T.Y.托马斯)涉及到射影联络。

这些发展就是通常所说的非黎曼几何,广义相对论中也有平行的发展,狭义相对论用于电磁场,广义相对论用于引力场,统一场论是两者的结合,它的需要是清楚的,1918 年,H.韦尔以他的规范场论走出了最初重要的一步,韦尔利用一个具有相似变换群的一般空间,但被发现它在物理上是站不住的.现在了解到,他的规范群不能是相似变换群所成的非紧致群而是紧致的圆群,规范理论的最近发展将在第四节中讨论。

跟随韦尔之后,又提出了其他一些统一场理论,其中有卡卢扎(Kaluza)-克莱茵,爱因斯坦-梅耶(Mayer)(1931)和维布伦的相对论的射影理论(1933).-个共同特征是为了电磁场而引进五维空间(维布伦的理论是四维的,但是切射影空间有五维的齐次坐标)维布伦的射影理论在几何上是简单的,他的出发点是空间的路径,它们是带电粒子的轨线。

爱因斯坦本人在他的整个晚年从事研究统一场论,经常有合作者,在这方面,我想插进一点有关个人的补白,1943 年,我从中国西南部的昆明到普林斯顿研究院,那是第二次世界大战激烈进行之时,他以非常的温暖和同情来欢迎我,我能够时常同他讨论各种课题,包括广义相对论在内,是最大的幸福,我立即看到他的问题的极端困难以及数学与物理之间的区别,数学中有名的问题通常是已经提得很明确的,但在物理上,问题的提法也是问题的一部分。

爱因斯坦对最后答案有一个严格的标准,他不满足于上面提到的建议,事实上也不满足于其他许多建议,他尝试各种可能为统一场论奠基的几何结构。在其中有:

1. 非对称张量(见《相对论的意义》,第 5版,1955,附录Ⅱ);

2. 具有埃尔米特结构的四维复空间;

3. 比黎曼空间更一般的度量空间。


一般度量空间的几何为 K.门杰(Menger)所建立与研究,对此,爱因斯坦的朋友 K.哥德尔(Godel)给出重要贡献,在情况1中,唯一地分解为对称与反对称的两部分,如果前者非退化,则结构等价于一个具有二次外微分形式的拟黎曼结构,按照的对称部分的符号是++++或+++-,这个拟黎曼结构是黎曼式的或是洛伦茨式的,情况2是密切地与复代数流形及多复变函数有关,在最近数十年中,它们是大大地发展着的数学领域。

三、正质量猜测,极小曲面,正数量曲率的流形

爱因斯坦之后的时代,广义相对论重视了整体理论(或大尺度时空),在这方面有很大的进展。来源是宇宙论,爱因斯坦本人在这方面很活跃,但是整体微分几何的发展所起的影响是毫无疑义的,宇宙被视为一个四维连通的洛伦茨流形,物理与几何比以往更缠结在一起了,不过,纯粹的几何问题通常较简单,其中的两个原因是,几何学为毕达哥拉斯式的几何或黎曼几何,几何学家可以用假定空间的紧致性来理想化。



正数量曲率流形的基本问题是:怎么样的紧致流形可以有一个具正数量曲率的黎曼尺度?对这个问题的兴趣的提高是由于维数的紧致流形均可以具有负数量曲率的黎曼尺度,这个结果的证明可以分成两部分:第一,流形可以给定一个黎曼尺度,它的全数量曲率(即数量曲率的积分)。第二,后者可以共形变形为具负常数的数量曲率,另一方面,由于研究调和旋量,A.利希尼罗威兹(Lichnerowicz)在1963 年证明了,如果一个紧致旋量流形有一个数量曲率是正的黎曼尺度,则它的月亏格等于零,舍恩-丘成桐的工作证明:三维环面不能有正数量曲率的黎曼尺度,对n维环面,也已被证明有同样的结论(M.格罗莫夫(Gromov),B.劳森(Lawson),R.舍恩,丘成桐)。在广义相对论的推动下,对能带有正数量曲率黎曼尺度的所有紧致流形,这些作者已接近于给出它们一个完全的拓扑的描述。

对于黎契曲率或截面曲率,也可提出同样的问题。S.迈尔斯(Myers)的一个经典的定理说:--个有正黎契曲率的完备黎曼流形必须是紧致的,因而必须有一个有限基本群,要求一黎曼流形具有正截面曲率的这一条件是更强些,预期这样的流形是很少的。秩1的紧致对称空间有这个性质,但是还有其他的一些分散的情况,对有正截面曲率的紧致黎曼流形的完全拓扑的描述看来是困难的。

四、规范场理论



阿蒂亚和瓦德(Ward)注意到,自对偶的杨-米尔斯场可以很好地纳入彭罗斯(Penrose)的“挠量”方案。他们把求所有自对偶解的问题转化为代数几何的问题:在复三维射影空间中全纯向量丛的分类问题,这个问题已由K.巴思(Barth),G.霍罗克斯(Horrocks)等人非常接近地研究过了,用了他们的结果,可以最终地找出所有自对偶数,事实上,回到了物理,这些数学结果可以翻译成物理学家感到满意的显式公式。

瞬子通过以下的结果表明它和爱因斯坦的关系,群 SO(4) 局部同构于 SU(2)×SU(2),所以四维黎曼流形 M 上的黎曼度量通过投影给出一个 SU(2) 丛的联络,M 为爱因斯坦流形的充要条件是这些联络为自对偶或反自对偶(依投影的方法而区分)。

包括弱和强相互作用在内的一个令人满意的统一场论是否能通过非可换规范场论作出?这还有待研究我们只须指出:丛和联络这两个几何概念是非常简洁的,我相信爱因斯坦会喜欢它们。

五、结束语

这个叙述还有许多明显的不完备之处.在彭罗斯和霍金(Hawking)的工作中集中地体现出来的关于奇点的重要研究这里并未涉及,这是一个最显然的不足之处。

最后,作为非本门的学者,我想表示我的希望:广义相对论将不局限于引力场。一个总体的统一场论,不论它将会是什么样的理论,一定会很接近于爱因斯坦的宏伟计划,现在已经有了更多的数学概念和工具可以利用。

(胡和生译)

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