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与许进先生共勉

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发表于 2021-7-31 07:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

与许进先生共勉
雷  明
(二○二一年七月三十日)

前两天朋友张域典先生给我转发来了许进先生发表在《中国科技论文在线》上的《55—构形与56—构形是可约的》一文,我看了一下,有一些看法,想与许进先生在网上交流,也与网友们一起交流。
1、许进先生可能是国内唯一的数学界内的专业人员研究四色问题的人,这种敢于向难题进行挑战的精神很好,我们这些难题爱好者一定向他好好的学习。
2、自坎泊得出平面图的6种不可避免的轮构形(围栏顶点数由0到5的六种轮)以来,至今只有5—轮构形还没有被证明是可约的。所以就有希什提出用“放电”理论来获得不可免构形,并用(5,5)构形和(5,6)构形来代替5—轮构形的想法。到后来,也就有了阿贝尔等人用了这一理论用电子计算机获得构形并“证明”其可约性,也用了(5,5)构形和(5,6)构形这两个构形去代替5—轮构形,对四色猜测用电子计算机进行的“证明”的事实,并且认为这两个构形是不可避免的。
3、阿贝尔虽然认为他们用“放电”的方法得到的1936个不可避免的构形都是可约的,但他却在他的《四色地图问题的解决》一文中说他用以代替5—轮构形的这两个构形是“不可约的”。请看,一个不可避免的构形都是不可约的,那么,四色猜测还能是正确的吗?所以阿贝尔只能在同一篇文章中只说他们是“解决了四色问题”和“证明了四色定理”,而没有说他们解决和证明所得的结论是什么。可是在我们的数学界内部却有很多人,都认为阿贝尔等人用机器(计算机)代替人证明了四色猜测是正确的,盲目的进行追从。这些人也不想一想,计算机是人创造的一种计算工具,是没有、也不会思维的,计算机怎么还能比人还要聪明,人都不能解决的问题,它反倒能解决了呢?从这一意义上说,我认为许进的精神是值得我们这些难题爱好者学习的。
4、阿贝尔没有解决(5,5)构形和(5,6)构形的可约性问题,许进接着进行研究。但他却没有研究这两个构形真的是否能代替了5—轮构形,就盲目的也高唱起这两个构形是不可避免的。不过他不是用机去代替人进行研究,面是坚持人用手工进行证明。这一点是与阿贝尔有所不同的地方。我认为,着色总得一个顶点一个顶点的去着,如果把(5,5)构形中的一个5—度的待着色顶点和(5,6)构形中的一个6—度的待着色顶点先行着色,那么这两个构形剩下来的部分不就都是一个5—轮构形吗?用(5,5)和(5,6)这两个构形能代替5—轮构形吗?能代替得了吗?5—轮构形还不是不可避免的存在的嘛!
5、许进的文章全文共有四十五页,其中后面证明(5,5)构形与(5,6)构形的可约性和研究赫渥特图的可约性部分只占用了四页,只占9%,把91%的绝大部分笔墨都用在了谈论与后面要证明的主题无关的篇幅上了(许进文章中,旁边标有数字,共1125节,真正的证明主要问题时才只占了80节,还占不到3%),也并没有看到他在后面的证明时用上了那一点。前面用了几十页的篇幅,画了上百个图,专门讲环形链(用两种颜色着色的一个闭合偶圈)。但环形链可以把与其相反的色链分隔成互不连通的两部分,交换环形链内、外任一部分的相反链,都不会影响到另一部分相反链的着色这一性质和作用,却只字不提。以至到后面的证明时,这一理论根本就没有派上用场。
6、许进在证明(5,5)构形和(5,6)构形的可约性时,也是先研究了5—轮构形,同样也认为5—轮构形是不可约的(实际上5—轮构形并不是不可约的,这一点我们将在后面的8节中再讲)。但他在真正研究这两个构形的可约性时,仍是先把(5,5)构形中的一个5—度的待着色顶点和(5,6)构形中的一个6—度的待着色顶点先着了颜色1的(如许进文中的图55(a)和图55(b)),然后剩下的部分仍是一个5—轮构形,这实际上说明他还是在对5—轮构形的可约性进行研究。既然是这样,为什么非得要说是在研究(5,5)构形和(5,6)构形的可约性呢?这分明是不管前人说得对不对,就得一定要按前人说的路子走下去。前人说的虽不对,也得要想个办法,绕上一个弯子也得把前人提出的路子用上。这是什么逻辑呀!
7、坎泊只所以提出了色链的理论,就是要通过对色链中的两种颜色的交换,以达到改变链中某一个顶点的颜色的目的。许进文里在前面也谈到了色链,但他却没有看到色链中两种颜色是可以交换的。他只看到了围栏的对角顶点的链是连通时,其与待着色顶点就构成了一个环,只看到把环内的那个围栏顶点可以换成该顶点的一个对角顶点的颜色。而看不到只要是不连通的围栏顶点对角链,都是可以交换的,且一定能空出一种颜色给待着色顶的。所以他交换来交换去,一个很简单的可约的5—轮构形,到他手里就变成了不可约的构形了。
8、许进文中图54(b)中有一条连通的1—4链,而从1到3却没有连通的1—3链。许进把1—4环形链内的2色改成了其对角顶点的颜色3,结果5—轮的5个围栏顶点还是占用了4种颜色,仍是一个发生了颜色冲突的构形。使5—轮构形永远成为一个不可约的构形。请问,为什么不从不连通的1色顶点和3色顶点中的任一个顶点开始交换1—3色链呢?这一交换不就可以空出颜色1或颜色3给待着色顶点着上吗?也许许进先生可能会说,还有更复杂的5—轮构形怎么办?我说,也可以办得到,都会是可约的。关于这一点,现在先不讲,到后面说到赫渥特图后,在10节中再讲。
9、许进为了对他的理论进行验证,用他的方法对赫渥特图进行了可约性的研究。虽然也对该图进行了4—着色,说明了赫渥特图也是可约的。但其却用了7步换色(或交换)(如许进文中的图56),太的复杂了。我们可以看一下,赫渥特图(许进文中的图56(a))中有一条经过了围栏顶点的环形的2—4链,把其相反链1—3分隔在了2—4环的两侧,互不连通。交换了环内、环外的任一条1—3链,图就变成了一个可约的5—轮构形了。再进行一次交换即可空出一种颜色来给待着色顶点着上。只用了两步交换,这不比许进先生的方法更简单吗?
10、现在再来回答上面8节中提出的“更复杂的5—轮构形怎么办?”的问题。赫渥特图中是含有3—2链和3—4链相交叉的双环交叉链(各链与待着色顶点均构成了一个环)的构形,而许进文中的图54中还是没有这种双环交叉链的情况的。且图54中的含有各种单条连通链的情况的构形都是可约的构形。在含有双环交叉链的5—轮构形中,赫渥特图中含有经过了围栏顶点的2—4环形链,而埃雷拉图中却含有经过了围栏顶点的1—3环形链。另外,还有一种构形,既没有2—4环形链,也没有1—3环形链,但却都含有双环交叉的3—2链和3—4链。这些构形都是最多3次交换都可以解决问题的,都用不到许先生那么复杂的解决办法。
11、我只能说许先生的文章是文不对题,把主要的精力都用在了与要解决的问题无关的事上了,而在解决主要问题时却只用了了了的几笔。关键的图(如许进文中的图55(e)和图55(h))中却各有一大块空白,让人看不明白,也没有文字说明。用了大量的篇幅所论述的结论在证明主要的问题时,却一点也没有用上。一味的追求走前人的路,也不看一看前人的路子是否正确,错了也要绕道一下。虽然结论也是(5,5)构形和(5,6)构形都是可约的,但证明不能令人满意。因为其图让人看不明白,理由也不充足。

雷  明
二○二一年七月三十日于长安
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