在 1～500 中任意取 5 个不同整数，使得这 5 个数之和能被 5 整除，有几种不同取法？

lihp2020

还是先上张图片

天山草

m= 2 时的组合方案数公式如下：



m= 4 时的组合方案数公式如下：



m= 6  时的组合方案数公式如下：



m=8 时的组合方案数公式如下：



能找到规律吗？

天山草

上述完整公式的 mathematica  验证程序 (以 m=6 为例)：

1. m = 6;
   
2. Do[
   
3. lst = Range[n];
   
4. a = Subsets[lst, {m}];
   
5. L = Length[a]; k = 0;
   
6. Do[b = a[[i]];
   
7.   If[Mod[Sum[b[[j]], {j, 1, m}], m] == 0, k = k + 1], {i, 1, L}];
   
8. If[Mod[n, m] == 0 || Mod[n, m] == 1 ,
   
9.   s = Binomial[n, m]/
   
10.     m - (\[LeftFloor]n/
    
11.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
    
12.        17 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 10))/12];
    
13. If[Mod[n, m] == 2 ,
    
14.   s = Binomial[n, m]/
    
15.     m - (\[LeftFloor]n/
    
16.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
    
17.        8 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 7))/12];
    
18. If[Mod[n, m] == 3 ,
    
19.   s = Binomial[n, m]/
    
20.     m - (\[LeftFloor]n/
    
21.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor]^2 -
    
22.        8 \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] - 1))/12];
    
23. If[Mod[n, m] == 4 || Mod[n, m] == 5 ,
    
24.   s = Binomial[n, m]/
    
25.     m - (\[LeftFloor]n/
    
26.        m\[RightFloor] (9 \[LeftFloor]n/
    
27.           m\[RightFloor]^2 + \[LeftFloor]n/m\[RightFloor] + 2))/12];
    
28. If[k == s, Print["n= ", n, " 时正确。"]];
    
29. , {n, 6, 30}]

复制代码

程序运行结果：

n= 6 时正确。
n= 7 时正确。
n= 8 时正确。
n= 9 时正确。
n= 10 时正确。
n= 11 时正确。
n= 12 时正确。
n= 13 时正确。
n= 14 时正确。
n= 15 时正确。
n= 16 时正确。
n= 17 时正确。
n= 18 时正确。
n= 19 时正确。
n= 20 时正确。
n= 21 时正确。
n= 22 时正确。
n= 23 时正确。
n= 24 时正确。
n= 25 时正确。
n= 26 时正确。
n= 27 时正确。
n= 28 时正确。
n= 29 时正确。
n= 30 时正确。

王守恩

天山草 发表于 2021-8-3 15:35
上述完整公式的 mathematica  验证程序 (以 m=6 为例)：

合并公式很可能没有。
\(a(6n+0)=\frac{(6n+0)!/6}{6!(6n+0-6)!}-\frac{9n^3-17n^2+10n}{12}\)
\(a(6n+1)=\frac{(6n+1)!/6}{6!(6n+1-6)!}-\frac{9n^3-17n^2+10n}{12}\)
\(a(6n+2)=\frac{(6n+2)!/6}{6!(6n+2-6)!}-\frac{9n^3-8n^2+7n}{12}\)
\(a(6n+3)=\frac{(6n+3)!/6}{6!(6n+3-6)!}-\frac{9n^3-8n^2-n}{12}\)
\(a(6n+4)=\frac{(6n+4)!/6}{6!(6n+4-6)!}-\frac{9n^3+n^2+2n}{12}\)
\(a(6n+5)=\frac{(6n+5)!/6}{6!(6n+5-6)!}-\frac{9n^3+n^2+2n}{12}\)

能把主帖解决，已经很不容易了，我们应该高兴。
如果这串数能成立，可是在《整数序列在线百科全书(OEIS)》没有的！
要在前几年，会砰到楼板上去。这几年找的多了，存的多了，见多不怪了。
看看A345731,跟我们的余数挺相近的，发表时间：2021年6月25日

独舟星海

今天编了个vfp小程序，对于5n中抽取5个不同自然数的和模5余数是0的个数进行了统计，结果显示其值为：\({C_{5n}^5-n}\over5\)+n

天山草

m=9 和 m=10  的公式也有了，见
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D2&page=3
这全依赖【数学研发】网站的大神们。但是问题还没有最终解决。

有希望对于任何 m，得到一个统一的简单公式。

天山草

这个问题发布在【数学研发论坛】上以后，经 mathe  大神研究，最终给出了一个完美的统一公式，此公式对于任何正整数 m、n  都是成立的。




此公式的 mathematica 计算代码是：

1. Clear["Global`*"];
   
2. m = 5; n = 500;
   
3. d = Divisors[m];
   
4. s = 0;
   
5. Do[a[i] =
   
6.    1/m ((-1)^(m - d[[i]]) EulerPhi[m/d[[i]]])*
   
7.     Binomial[\[LeftFloor]d[[i]]*n/m\[RightFloor], d[[i]]];
   
8.   s = s + a[i], {i, 1, Length[d]}];
   
9. Print["F (", n, "，", m, ") = ", s];

复制代码

运行结果是：

1. F (500，5) = 51048937600

复制代码