再进一步,当中学生沿着代数这条路走下去,就不可避免地要面临解方程和方程组的问题。可能有学生在小学时代就知道鸡兔同笼问题,那时是用具体直观的数进行计算的,所以方法上要使用技巧性很强的所谓“假设法”。而现在呢,完全不需要了,因为已经从数的计算抽象到了代数运算,“假设法”中的“假设”完全可以用设取未知量 x 列方程来代替了。而且这样不仅可以解鸡兔同笼问题,还可以解其他类似问题。
我们不妨把对称看成是一种“变中有不变”的变换,姑且称之为对称变换吧。接下来,我们固定一组研究对象的集合 S(在正三角形的例子中,S 就是其边界上的点的全体),考虑它们的全部的对称变换所构成的集合 G 。G 有什么性质呢?
首先,如果连续对 S 做两个对称变换 g 和 h,那么 S 依然是不变的(可以参考正三角形的例子),换句话说,连续进行两个对称变换 g 和 h,仍然会得到一个对称变换,记作 g·h,它正好可以看成 g 和 h 之间的运算,我们姑且称之为乘法吧。上面这个事实说得更数学化一点就是:对 G 中任意的 g 和 h,其乘积仍然属于 G 。这叫封闭律。
其次,既然 G 中两个对称变换的乘法很重要,那么我们不妨试试三个对称变换的乘法,很容易发现,存在着这样的规律:(f·g)·h = f·(g·h),这与数的运算中的结合律太像了,我们也叫它结合律吧。
第三,S 上恒等映射 e(也就是把每个点变成自身)显然不改变 S,因而是个对称变换,属于 G。而恒等映射因为实际上什么也没做,所以与 G 中的其他对称变换 g 相乘的结果还是 g 本身,这类似于数上的乘法中 1 的作用,所以我们叫它幺元(“幺”呢,就是 1 啦),这条结论就叫幺元律吧。
最后,对 G 中每一个对称变换 g,我们总能再找一个变换 h 把 g 变回去,以正三角形的对称为例,如果 g 表示正三角形绕中心逆时针旋转120度,那么 h 只要取顺时针旋转120度就可以了。换句话说,g·h 相当于什么也没动,也就是说,g·h = e(恒等变换)。如果将恒等映射类比为实数乘法中的1,那么 g 和 h 就可以类比于互为倒数的两个数,于是我们可以把它们叫做对方的逆元,这条规律也就可以叫做逆元律了。
这样就从 S 的全体对称变换的集合 G 上抽象出了四条本质属性:封闭律、结合律、幺元律和逆元律,这样的 G 再配上对称变换的乘法,就构成了置换群。按《代数的历史》的记叙,这项研究始于法国数学家柯西,并被挪威数学家阿贝尔引用,最终证明了一般的五次方程没有根式解。而正式开始研究置换群的,则是法国的苦命天才伽罗瓦,他死于一场虚妄的决斗。
再进一步抽象。把封闭律、结合律、幺元律和逆元律四条作为公理,并且规定:只要一个非空集合 G 上能定义一种运算,使得这四条公理都满足,那么,我们就说 G 和这个运算构成了一个抽象群。按《代数的历史》的记叙,它由英国数学家凯莱正式引入。这也是数学专业本科生在近世代数(或者抽象代数)这门课程中的入门概念。