李雅普诺夫：逐梦唯美天空的俄罗斯数学家

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李雅普诺夫：逐梦唯美天空的俄罗斯数学家

圣彼得堡数学学派是俄罗斯在数学领域创建最早、实力最强、影响最大的学派，是推动19世纪数学科学发展的重要生力军，使俄罗斯数学从几乎一穷二白的极端落后境地跃居世界强国之列。

李雅普诺夫（1857-1918年）便是圣彼得堡数学学派的中流砥柱，为该学派的发展和繁荣做出了卓越贡献。

本文通过采撷李雅普诺夫的动人爱情诗篇和唯美科学奋斗目标，展示了其美丽的爱情观和追求卓越的科学精神。

撰文 | 徐传胜

李雅普诺夫是俄罗斯著名天文学家和数学家，为俄罗斯跻身世界科技强国奠定了科学理论基础。为弘扬和传承他的科学思想，俄罗斯国家邮政局于1957年发行了纪念邮票。


李雅普诺夫及其纪念邮票

李雅普诺夫的父亲英年早逝，为了减轻家庭负担，母亲只能允让姑妈把11岁的李雅普诺夫领去抚养。表妹娜塔莉娅从内心喜欢这个腼腆的表哥，他们一同成长、学习和玩耍。

直到1870年，虽与表妹难舍难分，但李雅普诺夫还是回到自己家中，开始了求学生涯。

1876年李雅普诺夫考入了向往已久的圣彼得堡大学，4年后因学习成绩优异，大学毕业被留校任教。

1886年，李雅普诺夫与表妹举行了隆重婚礼。婚后夫妻俩形影相随，温柔美丽的妻子给李雅普诺夫的生活带来了欢乐，使之更加全身心地扑在教学和科学研究上。

欲上九天揽新月

在圣彼得堡大学留校任教后，李雅普诺夫仅用2年时间就通过了所有硕士课程考试。

切比雪夫建议其学位论文的研究课题为：已知在角速度影响下，椭球体不再保持原旋转液团平衡形状。则在角速度略微增大时，其可能转变为哪些新平衡形状？

这是当时学界公认的力学难题，源于天体力学，牛顿、马克劳林、雅可比等进行了一定探索，但皆未能取得实质性进展。

李雅普诺夫对该课题充满了浓厚兴趣，并展开了深入研究。虽然1年下来几乎没有多大进展，但该问题把李雅普诺夫引向椭球状旋转液团平衡形态的稳定性研究，并以此作为硕士学位论文研究内容。

尽管该论文仅讨论了“切比雪夫问题”的一个特殊情形，但其学术价值很快就引起了科学界的极大关注。

在哈尔科夫大学任职后，李雅普诺夫对有限自由度力学系统平衡形状稳定性问题展开了研究，该问题是18世纪的研究热点之一。

自1888年始，李雅普诺夫陆续发表了系列论文，并由此撰写而成博士学位论文《运动稳定性一般问题研究》，给出了系统稳定性的基本概念、研究方法和基本理论，包括稳定性分析两种基本方法，即李雅普诺夫第一方法、第二方法。

李雅普诺夫第一方法主要是通过分析非线性系统的线性化状态微分方程特征值分布来判定相关系统稳定性。

对于较为复杂的非线性系统，李雅普诺夫则根据其平衡点附近线性化系统的稳定性，来判别它局部稳定性。李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于分析线性系统和非线性系统，还能分析定常系统和时变系统的稳定性，不过第一方法只适于低维线性系统或可线性化的非线性系统。

李雅普诺夫第二方法通过对相关系统构造一个类似能量的纯量函数考察该函数随时间变化来判断系统的稳定性，可适用于任意阶系统，且不必求解系统状态方程来判定稳定性。

李雅普诺夫定理表明，对于一个控制系统，若能找到一个正定函数，其导数是负定的，则该系统就是渐近稳定的。在现代控制理论中，李雅普诺夫第二方法仍是研究系统稳定性的主要方法之一。

经过30余年的不懈努力，李雅普诺夫终于在1903年取得了关于天体形状理论探索的新突破，圆满解决了“切比雪夫问题”。

首先，他以克莱罗方程作为相关理论体系的第一步近似，证明了近似球体平衡形状的存在条件，并将该问题转化为某微分方程组之解。

第2年又继续深入研究该类微分方程组，严格证明了其中每个方程皆有一个满足某种自然条件的定解。

在1905年发表的论文中，简要介绍了其整个研究过程和研究技术路线，后以《近似于椭球体均匀旋转液团的平衡状态之研究》为题，分成4大部分内容先后发表于《圣彼得堡科学院院刊》。

在科学史上，李雅普诺夫第一个严格论证了近似于椭球体的新平衡状态存在性，而且达到所要求任何精度。他还找到了椭球数目与旋转液团倾角之间的密切关系，并给出2个马克劳林椭球和1个雅可比椭球的存在条件。

他给出了若干近似计算方法，以简化天文学问题的计算复杂性，并创造了一系列巧妙数学方法来求解微分方程。此后，李雅普诺夫仍对“切比雪夫问题”锲而不舍，发表多篇论文来完善其相关理论。

值得称道的是，李雅普诺夫1916年发表的2篇论文，应用数学工具证明了各种平衡存在性问题，并给出一些新平衡形状方程的构建模式。

而在其遗稿《论非均匀旋转液团的某些平衡形状》中，已证得任何非分叉的马克劳林椭球或雅可比椭球皆可演化为新的平衡形状，其与原形状相近且保持角速度不变，但其密度呈现弱变化。

随机世界求真诠

在概率论研究领域，李雅普诺夫继承和弘扬了切比雪夫概率思想，创建特征函数法来证明中心极限定理，实现了概率论极限定理研究方法的理论变革，奠定了近现代概率论基础。

在拉普拉斯概率理论基础上，切比雪夫对中心极限定理展开了研究，他将局部理论应用到概率论研究中，构造了矩方法来证明极限定理。

李雅普诺夫对中心极限定理也很感兴趣，极力寻求更加一般的定理条件和更为简洁的定理证明，即应用特征函数来证明中心极限定理。因相互独立随机变量和分布就是各加项分布之卷积，而在加项数目趋于无穷时，对卷积作数学处理较为困难，李雅普诺夫突破了这个难点，特征函数成为研究极限分布的切入点。

特征函数法为研究相互独立随机变量和的极限分布提供了简便有力的工具，现已成为解决随机变量之和问题的基本方法之一。主要原因为：

1）特征函数法要求条件更低一些，对于任意随机变量其特征函数皆存在，亦可用特征函数来确定分布函数各阶矩（若是存在的话）。

2）特征函数方法保留了随机变量分布律全部信息，而矩方法丧失了其中一部分信息。

3）无论随机变量之矩是否存在，皆可由特征函数唯一确定其分布函数，同时提供了特征函数收敛性质与分布函数收敛性质间一一对应关系。

4）相互独立随机变量之和的特征函数等于相应随机变量特征函数之积。

在1900年发表的论文中，李雅普诺夫证明了中心极限定理，其证明方法与现在用于素数理论方法相类似，其唯一要求就是存在3阶矩，避免了矩方法要求高阶矩存在的苛刻条件。

在1901年发表的论文中，李雅普诺夫试图再次减弱定理的条件，后李雅普诺夫又在2篇短文中指出，定理的条件可进一步“一般化”。

正是特征函数性质的灵活运用，使得李雅普诺夫圆满证明了所给中心极限定理。

他利用特征函数精确描述了中心极限定理的条件，首次科学诠释了大多数随机变量皆近似服从正态分布的原因：现实世界中存在较多的随机变量，其为大量相互独立随机变量之和，且每个随机变量的作用很小。

此外，这个随机变量之和的分布可为任意概率分布，而这种类型的随机变量在实际问题中经常发生。

相对于更一般的中心极限定理，李雅普诺夫定理更容易验证，如当随机变量序列的密度函数未知时，仅需要求知道随机变量的2个数字特征。

李雅普诺夫在证明过程中所构造的独特新方法，为概率极限理论研究打开了一扇新窗口，实现了概率分析方法的重大革新，为极限定理进一步精确化研究奠定了理论基础。

李雅普诺夫常常沉醉于科学问题，追求科学的至善至美，创立了运动稳定性理论和旋转液团平衡形状理论，探索了概率论中心极限定理和一系列其他深刻数学力学课题。

尤其值得赞美的是，李雅普诺夫所创立稳定性理论无论是在理论研究还是实际应用中均有着重要指导作用，引领了近半个世纪控制系统理论特别是非线性系统稳定性的研究方向。

比翼双飞天地间

时间一晃而逝，李雅普诺夫夫妇已过银婚纪念日，二人前往瑞士旅行，不幸的是，娜塔莉娅在旅行中感染了肺病，这在当时是不治之症。

1913年李雅普诺夫夫妇来到敖德萨，经过一段时间的精心治疗和温馨呵护,娜塔莉娅的病情略有好转。1917年春，李雅普诺夫夫妇到芬兰疗养，6月再度来到敖德萨。

娜塔莉娅的病情越来越重，一再昏迷虚脱，为购买高价药品，李雅普诺夫为敖德萨国立大学开设《天体形状》讲座。1918年10月28日，李雅普诺夫正在进行第7次演讲，得知爱妻病危消息后，立即向听众致歉而回家，最终娜塔莉娅在李雅普诺夫怀抱中安详离去。

李雅普诺夫悲痛欲绝，难以接受这残酷现实。他用手枪对着自己胸膛扣动了扳机，虽经家人奋力抢救，李雅普诺夫还是于1918年11月3日随爱妻而去。这就是俄罗斯版的梁祝。

作者简介：徐传胜，临沂大学数学与统计学院，教授，研究方向为近现代数学思想发展史。

本文转载自微信公众号“科技导报”。

coolboy

看来李雅普诺夫对于应用特征函数解决概率论领域中的问题也作出了很大的贡献。下面再给出一个我曾经说到的另一个关于特征函数应用的例子：

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[讨论]量子力学和流体力学有多大联系？[15楼] [2008-1-5 10:43:07]
www.cfluid.com/forum.php?mod=viewthread&tid=45337

问：量子力学和流体力学是不是近亲？据说薛定谔方程就是N-S方程的完全版，是这样吗？

答：若知道了某一随机过程的分布函数，则也就知道了该随机过程的所有特性。此外，若知道了某一随机过程的特征函数，则也就知道了它的分布函数(这是因为特征函数是分布密度函数的傅立叶变换)。在一定条件下，这描述湍流随机过程的特征函数的方程刚好与量子力学中的薛定谔方程(表示)相类似。
[又：湍流是不完全确定的流动，故我们要用概率或随机过程来描述研究它。我们不可能、不必要获得随机过程概率的分布函数这一终极（完整）解。我们通过研究各随机物理量（或分量）之间的相关函数（二阶、三阶矩）来了解研究湍流。引入了平稳均匀等假定之后，那些相关函数的计算及和实验比较就变得非常非常简单（如许多分量是零，仅仅是距离的函数而与位置无关等）。当然，对于简化了的相关函数（或含有相关函数的方程）再进行傅立叶变换也会变得简单些。]
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