美学视角下的数学教学 —— 读《数学的美与理》有感

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美学视角下的数学教学 —— 读《数学的美与理》有感

作者：罗燚  2021.5.14



数学家外尔曾说：“数学研究就是要统一真理与美，如果二者选其一，那我选择美。” 那些醉心于数学研究的人，无一不认为数学是美的，他们勇敢地去捍卫真正的科学，将其开拓，为之添彩，既不为厚禄所驱，也不为虚名所赶，只求上帝将真理的神辉普照大地，发扬光大。

长期以来，大部分人只在意数学的实用性和广泛性，没有借助美学准则来审视数学中的美，事实上，数学受其指导并据以评价。诸多教师把数学讲得枯燥无味，学生学数学是因为考试，而不是因为有趣。国外有一首小诗是这么形容数学课本的枯燥的，“如果又一场洪水爆发，请飞到这里来避一下，即使整个世界被淹没，这本书依旧干巴巴”。我一直在困惑，语文老师可以运用生动的语言，美妙的意境，感人肺腑的故事能把课上地生动有趣，那么“繁杂”的公式定理和题目怎么能让学生感到有意思呢？这一直是我思考的一个问题，我决不做一个“只会数学的数学老师”。当我看到《数学的美与理》这本书的名字时就被深深吸引，数学的美到底在哪里呢？我带着好奇心走进了它，希冀在书中找到答案，并在其融合在教学中。

自美索不达米亚文明以来，数学内容作为人类认识客观世界和从事实践的精神智慧成果，其蕴含着丰富的审美内容。周义澄教授于1981年在复旦大学学报发表《论科学美》一文，提出美的形态中有一种与艺术美、自然美并列的科学美的观点，数学美便是科学美的一种表现形态，由此揭开国内数学美相关问题讨论的序。一般来说，数学美包含形态美与思想美，具体体现于诸如几何图形之优美、代数结构之对称、命题条件之和谐及数学语言之精炼等。如果学生在学习过程中能感受到这些数学美，那么他们将积极主动地去学习数学，自发地去思考数学问题，执迷于对数学的追求，不再是停留在对数学内容理解的浅层，而是深入数学内容的内部，去发现和感悟数学内容中所蕴含的美。

关于美育，蔡元培先生曾说，数学中数与数常有巧合之关系，几何学上各种形式，为图案之基础……无不于智育作用中，含有美育之元素，一经教师之提醒，则学者自感有无穷之兴趣。这就是说在数学教学中应该贯彻美育原则，但这需要学生具备一定的数学美感，否则只是“水中月，镜中花”。数学美感，亦称数学审美意识，它是数学审美心理的基本形态，是指数学审美对象作用于审美主体在其头脑中的反映。美学视角下的数学教学就是以数学内容为载体，渗透美感教育，使学生在数学活动中潜移默化，丰富精神世界，发展思维能力，发挥数学方面的创造性潜能的一种教学模式。数学美是一种蕴涵在数学内容之中的内在理性美，它隐匿于公式图形或定理法则，难以被自然地感受到，就需要数学教师在课上重视数学美元素的发掘以及对学生数学美感的培育。

数学美大致从两个角度考量，即外显的表现形态和内隐的思想方法。在解题教学中，那些不期而遇的公式概念或几何图形的对称以及定理法则的简洁所呈现的美就称为数学形态美；此外，解题所用到的新奇思想方法以及数学内部诸“元件”的和谐统一便属于数学思想美。自古至今，数学始终不是一种平凡的东西，不论是形态美还是思想美，都需要用心感悟加之不断思考才有可能领略得到，数学美感是在不断的尝试和思考中产生的。一言以蔽之，解题教学课中教师要坚持以学生为“课堂主体”，让学生获得更多思考的机会，以便使其在思考过程中体验数学美感，发展数学思维，提高创造能力。

限于篇幅，下面仅以对称美为例阐释如何将数学美应用于教学。

波莱尔认为数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导并据以评价。谈到数学中的对称美，大多数人心目中呈现的是一些图形（或是函数图象）。事实上，对称美远不止于此，诸如概念、式子、图形、条件与结论的对称等等，不胜枚举。数学家们非常重视他们的方法和理论是否优美，那么究竟是什么使我们感到一个解答或一个证明优美呢？——往往是数学内容部分与部分、部分与整体之间所表现出的均衡对称[3]。因此教师应该尝试在审美视角下追求条件转化、式子变形的均衡与对称，用心、用智慧深层次地去发掘数学的对称美。那么，数学解题课才因这种和谐、对称的美而彰显魅力，撇去单调乏味的“印象”，下面以实例进行说明。



以上一个求二元极值的例题，表明在解题中把握对称美的特征可以优化解题思路。对称性是数学美重要的特征，数学家魏尔说，美与对称紧密相连。数学练习题可谓浩如烟海，解题方法千变万化，但如果我们能在解题过程中发掘出式子结构的对称性并且加以利用，便有极大可能优化解题思路。更进一步，题设蕴含的对称性也可以帮助学生感知对称减元的解法事实上源于对称美的准则，而非神来之笔。此外，在解题教学过程中教师应在合适的时机引导学生发掘、感悟对称美，以激发学生的解题灵感。

数学的发展是悠久的，数学家们沉醉于对数学的延拓，从“毕达哥拉斯定理”到“高斯绝妙定理”，从“流数术”到“Lebesgue积分”，从“天元术”到“Galois理论”，在不同时代，不同地方，感受这超越空间和时间的数学美，如若数学中真的存在某些神秘而美丽的力量，我想可能就是这些。其实，数学很大，我们很小，作为教师，我们惟愿以启发性提示语为“楫”，带领学生泛舟于数学之海，行进途中，或看数学定理证明之精妙绝伦，或看解题思想方法之出神入化，一起感受数学之美，对于砥砺前行者，为人师者必当引领他们乘风破浪，寻梦数海；而对于半途改变航向者，若能助其在数海拾贝一二，其亦是不虚此行。

我想数学课应该是让学生有所期待，有思考、有表达，也应该是具备“审美”意义的课。数学课，我愿意把它变成蓊蓊郁郁、春光灿烂的花园，带领学生一起遨游其中。

王守恩

\(已知a>0,b>0，且a+b=1，求(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})的最小值。\)

\(恒有：a+\frac{1}{a}=b+\frac{1}{b}时，(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})取得最小值。\)

\(即：a=b=\frac{1}{2}，(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})=\frac{5}{2}*\frac{5}{2}=\frac{25}{4}。\)

\(或利用万能公式：\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)

王守恩

王守恩 发表于 2021-5-24 10:14
\(已知a>0,b>0，且a+b=1，求(a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})的最小值。\)

\(恒有：a+\frac{1}{a}=b+\fra ...

批量解题也是美！

\(1，已知a>0,b>0，且a+b=1，求(a^{n/2}+\frac{1}{a^{n/2}})*(b^{n/2}+\frac{1}{b^{n/2}})的最小值。\)
\(\ \ \ \ n=1\ \ \ \ \ 最小值=\frac{9}{2}\)
\(\ \ \ \ n=2\ \ \ \ \ 最小值=\frac{25}{4}\)
\(\ \ \ \ n=3\ \ \ \ \ 最小值=\frac{81}{8}\)
\(\ \ \ \ n=4\ \ \ \ \ 最小值=\frac{289}{16}\)
\(\ \ \ \ n=5\ \ \ \ \ 最小值=\frac{1089}{32}\)
\(\ \ \ \ n=6\ \ \ \ \ 最小值=\frac{4225}{64}\)
\(\ \ \ \ n=7\ \ \ \ \ 最小值=\frac{16641}{128}\)
\(\ \ \ \ n=8\ \ \ \ \ 最小值=\frac{66049}{256}\)
\(\ \ \ \ n=9\ \ \ \ \ 最小值=\frac{263169}{512}\)
\(\ \ \ \ \cdots\cdots\)
\(\ \ \ \ n=n\ \ \ \ \ 最小值=\frac{(2^n+1)^2}{2^n}\)

\(2，已知a>0,b>0，且a+b=1，求(a^{n/2}+\frac{1}{a^{n/2}})+(b^{n/2}+\frac{1}{b^{n/2}})的最小值。\)
\(\ \ \ \ n=1\ \ \ \ \ 最小值=3\sqrt{2}\)
\(\ \ \ \ n=2\ \ \ \ \ 最小值=5\)
\(\ \ \ \ n=3\ \ \ \ \ 最小值=\frac{9}{\sqrt{2}}\)
\(\ \ \ \ n=4\ \ \ \ \ 最小值=\frac{17}{2}\)
\(\ \ \ \ n=5\ \ \ \ \ 最小值=\frac{33}{2\sqrt{2}}\)
\(\ \ \ \ n=6\ \ \ \ \ 最小值=\frac{65}{4}\)
\(\ \ \ \ n=7\ \ \ \ \ 最小值=\frac{129}{4\sqrt{2}}\)
\(\ \ \ \ n=8\ \ \ \ \ 最小值=\frac{257}{8}\)
\(\ \ \ \ n=9\ \ \ \ \ 最小值=\frac{513}{8\sqrt{2}}\)
\(\ \ \ \ \cdots\cdots\)
\(\ \ \ \ n=n\ \ \ \ \ 最小值=\frac{2^n+1}{2^{n/2-1}}\)