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阿基米德与这个历时两千多年无人能解的牛群问题

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发表于 2021-5-7 18:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
阿基米德与这个历时两千多年无人能解的牛群问题


125道烧脑逻辑题、数学题、字母题和脑筋急转弯挑战你的思维边界

作者 | [英]亚历史斯·贝洛斯
来源 | 节选自《烧脑的逻辑题》,[英]亚历史斯·贝洛斯著,胡小锐译,中信出版社·鹦鹉螺出品,2021.3.

阿基米德是一位伟大的古代科学家,在圆周率、无穷大等概念上取得了惊人的理论发现,还发明了一些在他那个时代处于先进水平的技术。

此外,他还炮制出了一道史上最糟糕的智力题。

相信我,“牛群问题”真的很糟糕。

它不仅非常难,而且谈不上简洁雅致,甚至有些荒谬。但作为一本介绍趣味问题的书,用它来开篇是最恰当不过的了。首先,它的作者是阿基米德。其次,这是一个很有意思的历史趣闻。最后,平庸能反衬出优秀。分析阿基米德的牛群问题,可以确保本书的其他题目都不会犯同样的毛病。你会感谢我这个选择的。

牛群问题

太阳神养了一群牛,正在西西里岛的平原上吃草。这些牛有公有母,分白色、黑色、黄色和花色四种颜色,它们的数量可以用以下式子表示:

白色公牛=(1/2+1/3)黑色公牛+黄色公牛
黑色公牛=(1/4+1/5)花色公牛+黄色公牛
花色公牛=(1/6+1/7)白色公牛+黄色公牛
白色母牛=(1/3+1/4)黑牛
黑色母牛=(1/4+1/5)花牛
花色母牛=(1/5+1/6)黄牛
黄色母牛=(1/6+1/7)白牛
白色公牛+黑色公牛=某个平方数
花色公牛+黄色公牛=某个三角形数

请问,一共有多少头牛?

在开始思考这些让人望而却步的分数之前,先来看看它的奇特背景吧。这个问题是在阿基米德死后两千年的 18 世纪,在德国的一个图书馆里被发现的。它以古希腊语诗歌的形式,写在一份手稿中,之前一直没有人注意到。全诗由 22 组对句组成,还附有一张便条,说阿基米德把它送给了亚历山大图书馆的馆长埃拉托色尼。

从好的方面看,问题是通过诗歌的形式提出的,这至少说明作者是为了娱乐的目的。但从数学这个方面看,它就不那么有趣了。解决牛群问题需要用到大量代数知识。前 7 行可以写成 7 个方程,其中包含 8 个未知数。如果你有足够的耐心和足够的草稿纸,那么经过大量烦琐的计算和变量变换,你会发现满足前 7 行所列条件的最小可能答案是 50389082 。(这意味着西西里每 500 平方米就得有一头牛。)

如果你能做到这一步,阿基米德将会祝贺你。但不要沾沾自喜,因为他警告说:“这并不代表你的水平就很高了。”我们还没有讲到最难的部分。

第 8 行说,白色公牛和黑色公牛加在一起是一个平方数。所谓平方数,就是 1、4、9、16 这样的数,它们都是另一个数字的平方(例如,1^2,2^2,3^2,4^2)。考虑到这一要求以后,牛群里至少得有 51285802909803 头牛。(把这么多头牛分布到西西里岛上,每平方米就约有 2000 头牛。也就是说,整座岛上到处都是牛,挤得像沙丁鱼罐头一样,堆起来有几百米高。)这里的计算需要更高级的代数知识,但也不算太难。德国图书管理员戈特霍尔德·埃弗拉伊姆·莱辛(Gotthold Ephraim Lessing)发现这个问题后,把它拿给一位数学家朋友看,这位朋友算出了这个答案。

最后一行是难点所在。它说,花色公牛和黄色公牛的总数是一个三角形数,即可以排列成三角形点阵的数,如 3、6、10 等,每个三角形一次比前边一个增加一行。到了这一步,阿基米德牛群问题已经超出了 18 世纪数学的能力范围。



在接下来的 100 年里,这道牛群难题成为一道著名的未解谜题。据传,19 世纪最伟大的数学家卡尔·弗里德里希·高斯解决了这个问题。但第一个公布部分解的人是德国人奥古斯特·阿姆托尔(August Amthor)。1880 年,阿姆托尔说最小解的前三位数是 766 ,后面还有 206542 位数。换句话说,这个数字太大了,即使每头牛只有一个原子那么小,宇宙也容纳不下这么多的牛。

但庞大的工作量并没有让所有人都退缩。1889 年,美国伊利诺伊州的三个好朋友在百无聊赖之余,决定计算出剩下的那些数字。经过 4 年的努力,他们计算出了前 32 位数和后 12 位数。但要完全解决牛群问题,还需要等到计算机时代的到来。1965 年,一台超级计算机花了 7 小时 45 分钟,用了 42 张 A4 纸,才打印出了这个数字。

莱辛等人怀疑阿基米德不一定真的是牛群问题的提出者。其他古希腊著作中没有提到这个问题,阿基米德也不可能知道这个问题的答案。但一些学者认为这个问题确实可以追溯到他。阿基米德对异常庞大的数字情有独钟。在篇幅不长的著作《沙粒计算》(The Sand Reckoner)中,他为了估算填满宇宙所需的沙粒数发明了一个新的数字系统(他的估算结果是 10^63 粒)。阿基米德提出牛群问题也许根本就不是为了解决它,而是为了证明利用单分数和 9 个简单的语句就可以确定一个(在阿基米德时代)大到无法想象的数。能设计出一个容易理解又异想天开、历时两千多年无人能解的问题,可以说是天才(鬼才)的一个标志。那首诗最后写道:“哦,朋友,如果你计算出了(答案),知道了牛的总数,那么你就可以像征服者一样欢呼雀跃,因为你已经证明你娴熟的数字计算能力。”的确如此。

作为一道趣味问题,牛群问题与其说是一道富有娱乐性的数学题,不如说是一道复杂的联立方程练习题。

本书其他问题都具有以下特点:

重视洞察力,不重视计算能力。

考验基本能力,不强调技术能力。

处理的数字不需要 42 张 A4 纸就能写下来。

不需要两千年就能解决。

我选择的问题与阿基米德牛群问题的共同点只有一个,那就是都以动物为题材。

本书第 1 章将讨论一些与动物有关的问题,包括吵闹的兔子、淘气的猫咪,还有青蛙、苍蝇、狮子、骆驼、变色龙等。动物趣题还没有形成一个专门的数学领域,但从中世纪到现在,让人挠头同时又能让人心情愉悦的趣味问题一直层出不穷。下面,我把我最喜欢的一些动物类趣味问题介绍给大家。



进入动物王国后,我们会发现自己的处境比较危险。在现实生活中,你可能永远不会被遗弃在孤岛上,被困在迷宫里,被锁在房间里,或者被关在死囚牢房里。但你在第 2 章中会发现,我们在趣味问题的世界中经常会陷入这些困境,在考虑如何逃跑时,我们需要跳出思维定式,还需要用到逻辑学甚至是拓扑学知识。有几道问题是基于计算机科学的有趣发现,要求我们像开发算法那样,设计出逃离监狱的方法。

我创作本书是为了分享我从解题中获得的乐趣。好的趣味问题不仅能激发创造性思维,还能激发人们对世界的好奇心。我精心选择的这些问题,要么答案让人眼前一亮,要么揭示了一个有趣的模式或想法。趣味问题是一种多功能媒介,涵盖了各种各样的类型,我希望本书能从各个方面挑战你的大脑。

这些趣味问题不是按照难度排列的。阅读时,你可以按章节从头读到尾,也可以有所取舍。我选择了一些背景材料,介绍了数学史以及趣味问题在其中所起的作用,并在后面给出了完整的解释和进一步的讨论。设置“暖身趣味 X 题”这个环节,目的是让你迅速进入状态。


本书英文版封面

事实上,本书的英文版封面上展示了一道关于折叠图形的问题。我很喜欢这道题,因为当你试图展开这个图形时,脑海中出现的第一个字母是 L,但这个答案是错误的。你需要开动脑筋,才会意识到这一点。然后,或许你会灵光乍现,想到那个不那么显而易见的字母。趣味问题经常以这种方式捉弄我们的头脑,故意把我们引向花园小径,或者把一个诱人但完全错误的答案展现在我们面前。等到避开陷阱,成功解决问题时,我们就能体会到那种豁然开朗的愉悦。

本书最后一章涉及概率。在这个数学领域,我们最容易受到心理因素的影响。我们的大脑理解随机性的能力比较差,而概率类趣味问题可以很好地帮助我们判断直觉出了什么问题。这类问题不仅能给我们带来惊喜和启发,还能帮助我们更清晰地思考。



事实上,这就是趣味问题的价值所在。它们不仅能给我们乐趣,还让我们有所收获。它们会让我们的大脑更加灵活,善于变通,全面发展。它们会提高我们的推理能力,训练我们发现模式的能力,让我们从不同的角度看世界,并指出我们容易受到误导的地方。

现在,赶紧准备准备,跟着我出发吧。动物们已经迫不及待地想看到你了。

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