愚蠢的想法，二进制中数位上全是1的数，这样的数如果存在，它一定时最大的

awei

愚蠢的想法，二进制中数位上全是1的数，这样的数如果存在，它一定时最大的，它和那些所谓的有限数是如何肆无忌惮的玩在一起，
\[a∈R,\]
\[a=\sum_{n=-\infty}^{+\infty } 2^{-n}× \frac{sgn[a]-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}\]
\[0{<}a{<}1\]
\[a=\frac{1}{2}-\sum _{n=1}^{\infty } \frac{sgn[sin(2^{n}\pi a)]}{2^{n+1}}\]
另外两个特殊值
\[0=\frac{1}{2}-\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n+1}}\]
\[1=\frac{1}{2}+\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{n+1}}\]
这种方法，能向全体实数延伸吗？
\[ x等于+1或者-1,对于任意一个实数a,\]
\[a=？+\sum_{n=-\infty}^{+\infty } 2^{-n}x  \]  
\[能成立吗？\]

awei

\[a∈R+,\]
\[a=\sum_{n=-\infty}^{+\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}\]
\[ \ =\sum_{n=1}^{+\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}+\sum_{n=0}^{-\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}\]
\[ \ =\frac{1}{2}-\sum_{n=1}^{+\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}+\frac{2^{+\infty+1}-1}{2}-\sum_{n=0}^{-\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}\]
\[ \ =\frac{1}{2}-\sum_{n=1}^{+\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}+\frac{2^{+\infty+1}-1}{2}-\sum_{n=0}^{+\infty } 2^{n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^{-n}\pi a\right)\right]}{2}\]
\[ \ =\frac{2^{\infty+1}}{2}-\sum_{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}-\sum_{n=0}^{\infty } 2^{n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^{-n}\pi a\right)\right]}{2}\]
\[ \ =2^{\infty}-\sum_{n=1}^{\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}-\sum_{n=0}^{\infty } 2^{n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^{-n}\pi a\right)\right]}{2}\]
\[ \ =2^{\infty}-\sum_{n=-\infty}^{＋\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}\]
愚蠢而荒诞的思考

drc2000再来

三位中的111最大,但比四位的1000小.
应该在同样的几位数去考虑,

awei

drc2000再来 发表于 2021-5-5 18:40
三位中的111最大,但比四位的1000小.
应该在同样的几位数去考虑,

谢谢老师回帖，如果无穷大不是一种趋势，而是一个数，二进制的\(2^∞\)不就是数位都是1的数吗，
\[a∈R+,\]
\[a=\sum_{n=-\infty}^{+\infty } 2^{-n}× \frac{1-\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}（用二进制来分析证明很容易理解）\]
\[ \ =2^{+\infty}-\sum_{n=-\infty}^{＋\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}\]
\
\[2^{+\infty}=（……111111.111111……）_2不就是数位都是1的二进制数。\]
\[\sum_{n=-\infty}^{＋\infty } 2^{-n}× \frac{\text{sgn}\left[\sin \left(2^n\pi a\right)\right]}{2}不就相当于正实数a的二进制反码，不过是带小数点的反码\]
个人觉得这个问题好玩而已