学了微积分,就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第一卷》,了解力、热、光、时空的奥秘;学了偏微分方程,就可以无压力阅读《费恩曼物理学讲义第二卷》,了解电的奥秘。学了矩阵论,可以买一本《计算机视觉中的多视图几何》,了解成像的奥秘,编程实现图像序列的三维重建。学了概率论的同学应该会听说过贝叶斯学派和频率学派,这两个学派的人把战场拉到了机器学习领域,成就了两本经典著作 Pattern Recognition And Machine Learning和 The Elements of Statistical Learning,读了它们,我被基础数学为机器学习领域提供的丰硕成果和深刻见解深深折服。Ray Tracing from the Ground Up 是一本介绍如何用光线追踪技术渲染真实场景的书,把一些虚拟物体放在一个虚拟的场景中,用虚拟的摄像头拍摄图片,生成逼真的照片,它的基础就是一点点微积分和矩阵......
我对微分流形一直很感兴趣,最开始看的是 Do Carmo 的《黎曼几何》,没有读懂。我后来琢磨,原因可能是没有做习题。后面我看了各种各样的书,包括 Do Carmo 的另一本小册子Differential Forms and Applications,Dodson 的 Tensor Geometry,还有 Bishop 的 Tensor Analysis on Manifolds 等,对相关概念有了一定认识,但是还是感到有些困惑。直到读到 Boothby 的《微分流形与黎曼几何》才让我真正感觉到自己弄懂了。这本书写的非常罗嗦,也比较厚,这正是我需要的——一本专门为玩票和健忘家所写,不停反复强调各种概念,证明详细的书。后来我又回头去读最开始读不懂的那本 Do Carmo 的《黎曼几何》,其中有一半我已经懂了,另外一半当我静下心来仔细琢磨,发现作者虽然证明简略,但是复杂的部分却一点没省,如果仔细思考,完全能够掌握。后来我又读了 A. Zee 的 Einstein Gravity in a Nutshell。这是一本讲相对论的书,把微分流形和相对论、牛顿力学、变分法串了起来。作者在书里一遍又一遍地反复讲解各种概念,阅读体验极佳。
大概几个月前,我对交换代数和代数几何产生了兴趣。因为有 Munkres《拓扑学》和 Artin《代数》的基础,我就买了本 Risenbud 的 Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry,这本书评价很棒,作者的态度也很友好,论述清晰,但我还是感到难以阅读,只好尝试看其他相关教材,包括 Zariski 的 Commutative Algebra,AtiYah 和 Macdonald 的小册子 Introduction to Commutative Algebra 以及 Matsumura 的 Commutative Ring Theory。这些书都非常有名,虽然也可以继续往下读,但我还想再挑挑。
数学家可能喜欢这种风格,比如 Altman 和 Kleiman 在 A Term of Commutative Algebra 一书里就表达了对 AtiYah 和 Macdonald 处理交换代数的手段的赞赏,大意是应该用尽量简洁的语言把各种概念一股脑地抛给读者,让读者自己消化,但是并不对我的胃口。最终,我找到了 Rotman 的 An Introduction to Homological Algebra,毫不夸张地说,这是我读过的最好的代数教材,作者在证明定理时,甚至不喜欢用“类似可证”这样的话,坚持把各种细节都写出来,并且几乎每证明完一个定理就迫不及待地给出几个例子帮助我理解。我在网上看到一些人评价这本书“非常罗嗦”,“应该直接从第五章开始看”的言论,这些评价并不适合我,这本书对我的帮助是那些简洁的书所不能替代的,其提供的高级观点正是我期望在“消遣”中体验的。此外,Rotman 还有一本1000页的 Advanced Modern Algebra,涵盖了近现代代数领域所有基础知识,可能值得一读。
举了上面两个例子其实就是想说,读比较难的数学书时货比三家会对人很有帮助。推荐大家去下载美国研究生数学教材系列 Graduate Texts in Mathematics(GTM),有约300本教材。