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瘟疫中的科学巨人 ——漫话微积分的发展,兼议数学之美

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发表于 2021-1-14 19:28 | 显示全部楼层 |阅读模式
瘟疫中的科学巨人 ——漫话微积分的发展,兼议数学之美

李文林  中国科学院数学与系统科学研究院

11月28日李文林老师受北京林业大学数学社邀请,为同学们开展了一场精彩的数学科普讲座。本文系讲座记录稿,整理发布以供大家学习参考。数学经纬网经授权发布。

主讲人简介


李文林  中科院数学与系统科学研究院研究员,我国著名的数学史专家,曾任数学研究所副所长、全国数学史学会理事长。李文林老师长期研究数学史,曾发表过大量关于数学史的研究论文,著有《数学史概论》等重要学术著作,为我国数学史的研究作出了重大贡献。

本文目录

1 疫情中的伟大发明
2 人类精神的最高胜利
3 数学之美
4 讲座提问

355年前(1665年)的冬春之交,一场瘟疫席卷伦敦并向整个英格兰蔓延,从那时起大约两年的时间,被形容为英国历史上的“至暗时刻”。鼠疫肆逆,经济停摆,学校关闭,百姓惶惶不可终日。整个疫情期间,据统计全英有8-10万人死亡。形势十分惨烈。

时年23岁的牛顿正在剑桥大学就学,迫于疫情,1665年8月,剑桥大学关闭,牛顿只好回到家乡——林肯郡伍尔索村躲避瘟疫。正是随后的两年,竟成为牛顿科学生涯中的黄金岁月:发现万有引力,创立颜色理论,制定微积分,......,可以说牛顿一生大多数科学创造的蓝图,都是在这两年绘就的。

01 疫情中的伟大发明

牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋,当时他反复阅读笛卡尔的《几何学》,对笛卡尔求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法。与此同时,牛顿钻研沃利斯的著作《无穷算术》,直接引导了有理数幂的二项式定理的发现。二项式定理在牛顿发明微积分过程中扮演了重要角色。1665年夏至1667年春,牛顿在家乡躲避瘟疫期间,继续探讨微积分并取得了突破性进展:

1665.11  正流数术(微分法)
1666.5   反流数术(积分法)
1666.10  《流数简论》(历史上第一篇微积分文献)


牛顿

牛顿在《流数简论》中提出了两个基本问题:
(a)设有两个或更多个物体 A,B,C,...,在同一时刻内描写线段 x,y,z,...。已知表示这些线段关系的方程,求它们的速度 p,q,r,...的关系。
(b)已知表示线段 x 和运动速度 p、q 之比 p/q 的关系方程式,求另一线段y。

牛顿对多项式情形给出(a)的解法,以下举例说明牛顿的解法:





牛顿的“反流数法”,即问题(b)的解法,基本上是上述流数法的逆步骤。
牛顿在《简论》中明确提出微积分基本定理并给出了一个证明。他如此来推导微积分基本定理:




这就是说,面积 y 在点 x 处的变化率是曲线在该处的 q 值。这就是微积分基本定理。利用问题 ( b )的解法可求出面积 y 。

1667春,疫情得到控制,牛顿回到剑桥,但未发表其微积分成果,只在同事之间传阅。1667年10月,他凭借着制造望远镜,成为三一学院成员。由于流数论中很多概念不严格,无穷小到底是什么说不清(贝克莱批评其为召之即来挥之即去的“鬼魂”)。所以,此后近30年里,牛顿一直在发展、完善自己的流数理论。其主要成果为:三篇论文,一本巨著。

三篇论文——(1)《运用无限多项方程的分析》(简称《分析学》,完成于1669年,发表于1711年)。牛顿从运动学观点向不可分量观点摇摆。(2)《流数法与无穷级数》(简称《流数法》,完成于1671年,发表于1736年)。牛顿又回到了运动学观点。(3)《曲线求积术》(简称《求积术》,完成于1691年,发表于1704年,《光学》附录 )。牛顿提出了“首末比方法”──极限理论。

一本巨著——《自然哲学中的数学原理》(简称《原理》,发表于1687年)。这是牛顿微积分理论的首次发表。为什么在1687年开始发表?一是看到莱布尼茨发表了微积分理论,着急了。二是因为天文学家哈雷的敦促。哈雷与牛顿也是好朋友,他认识到牛顿用微积分推导引力反平方律与行星椭圆轨道之间的关系的重大意义,决定出资帮助牛顿尽快发表其著作。


纪念《自然科学的数学原理》出版300周年邮票

《自然哲学中的数学原理》是牛顿公开发表其微积分理论的最早著作,但其中的流数理论披上了几何的外衣,使得很多人读起来感到困难。牛顿一生当中对无穷小给了三种表述:第一种,运动学观点,时间的无限小增量瞬;第二种,不可分量观点,一种实无穷的观点;第三种,首末比方法,极限观点。牛顿最终倾向于第三种表述,但在《原理》中还是保留了其它二种观点,这说明他很清楚建立严格的微积分基本概念的困难。

牛顿将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法——正、反流数术亦即微分与积分,并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。因此,我们说牛顿发明了微积分。

接下来李文林老师详述牛顿的生平经历,评价其为“站在巨人肩膀上的科学巨人”,并重点介绍了牛顿谦逊和勤奋的科学精神。

谦逊——“如果我看得更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上。” “我不知道世人将怎样看我。我自己认为我不过是一个在海边玩耍的小孩,偶然拣到一些比寻常更光滑的卵石或更美丽的贝壳并因此沾沾自喜。而在我面前,却仍然是一片浩瀚未知的真理的海洋。”

勤奋——“心里总是装着研究的问题,等待那最初的一线希望渐渐地变成普照一切的光明。”“除了顽强的毅力和失眠的习惯,牛顿不承认自己与常人有什么区别。”李文林老师总结说:勤奋是成才的必要条件,大才必有大勤奋!

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 楼主| 发表于 2021-1-14 19:33 | 显示全部楼层
02 人类精神的最高胜利

微积分发明到底有什么意义?恩格斯说过,微积分的发明是人类精神的最高胜利!为什么给这么高的评价?首先从数学上,微积分实现了从常量向变量、有限向无限的过渡。实际上最重要的是有限向无限的过渡。在应用方面,微积分提供了描述运动与变化的工具,从而空前地扩展了数学的应用范围与能力。

首先来看牛顿本人在《原理》中的应用。《原理》从三条基本的力学定律出发,运用微积分工具,严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论。牛顿还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系,充分显示了微积分这一新数学工具的巨大威力。

在牛顿与莱布尼茨之后,数学家们一方面大胆前进,大大扩展了微积分的应用范围,使产生了一系列新的分支,这些分支与微积分自身一起形成了被称为“数学分析”的广大领域,一方面努力探索使微积分严格化的途径,最终在19世纪建立了微积分的严格逻辑基础 。这都极大增强了微积分的应用范围与能力。

由微积分引起的新分支包括常微分方程论、偏微分方程论、变分法、微分几何、分析力学等。李文林老师从自己的本专业——偏微分方程出发,介绍了8种为世界带来重大变化的微分方程,它们分别为:









最后,李文林老师说:“微分方程的出发点是微积分,没有微积分就没有微分方程。由此也可看到,描述世界也好,改造世界也好,都离不开微积分。

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 楼主| 发表于 2021-1-28 21:35 | 显示全部楼层
03  数学之美

英国哲学家、数学家罗素说过的一句话,“数学不仅拥有真理,而且拥有至高无上的美——一种冷峻严肃的美,就像是一尊雕塑。并且这种美能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”。

李文林老师说:数学的美是抽象之美,简洁之美,统一之美,和谐之美,“数与形的美妙的和谐”,“逻辑形式与结构的完美”。首先从微积分开始,来揭示数学的这种内在之美。这需要先简要了解一下微积分发明的背景。

在文艺复兴以来引起的资本主义生产力的发展过程中,对科学提出了一系列的问题,其中包括航海贸易、扩张战争等方面提出的问题。例如在天文方面,如果你要航海,在茫茫大海中能指引你方向的只有天上的星星,这就需要研究星星运动的的规律。当时德国天文学家开普勒通过观察总结出行星运动定律,如何验证开普勒的定律呢?另外你要观察星星,就要用望远镜。望远镜用的是透镜。透镜表面是一个曲面,如何打磨,需要知道它的曲线、法线方向,这是微积分的基本问题之一。再如战争中炮弹的射程问题,实质是确定极大极小值的问题,等等。

当数学史家将当时提出的科学问题归纳成四大类:第一类是瞬时速度问题,第二类是切线问题,第三类是函数极大极小值问题,第四类是面积、体积、重心、引力计算问题。可以说在17 世纪上半叶,几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些难题的新的数学工具,并且在相当短的时期内,取得了迅速的进展。经过半个世纪的酝酿,这里面有开普勒旋转体体积(1615年)、卡瓦列里《不可分量原理》(1635年)、笛卡儿“圆法”(1637年)、费马求极大值、极小值的方法、巴罗“微分三角形”(1669年)、沃利斯《无穷算术》(1655年)等等。17世纪上半叶一系列前驱性的工作,沿着不同的方向向微积分的大门逼近。但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。这些前驱者对于求解各类微积分问题确实作出了宝贵贡献,但他们的方法仍然缺乏足够的一般性,求切线,求变化率、求极大极小值以及求面积、体积等基本问题,在当时是被作为不同的类型处理的。虽然也有人注意到了某些联系,然而并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出。而作为微积分的主要特征的微分与积分的互逆关系,虽然在特殊场合已被某些学者邂逅,但他们完全没有认识到这一事实的重要意义。

因此,就需要有人站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论。 时势造英雄,时代需要巨人,牛顿和莱布尼茨正是在这样的时刻出场。完成了微积分创立中最后也是最关键的一步。他们不仅将求切线,求速度、求极大极小值等的方法统一为一种算法──微分法,将求面积,体积,重心,引力等的方法统一成一种算法──积分法,而且又通过微积分基本定理揭示了这两种算法的互逆关系,从而可以看成是一种算法。也就是说,他们将半个多世纪数学家们发现的五花八门、纷繁杂乱的方法综合成为统一的微积分理论,正是在这个意义上,我们说牛顿和莱布尼茨发明了微积分。微积分工作并非一两个人的贡献,前面经过半个世纪的积累。

了解了微积分发明的历史,也就能明白微积分基本定理是高度统一的、简洁的、优美的,极好地显示了数学的内在之美。显示数学的内在之美还有其他许多例子,比如数学的“五朵金花”——0、1、i、π、e被欧拉公式就统一起来了。

那么,数学的这种内在的美似乎只有研究数学的人才能欣赏了?其实不然!数学的抽象的内在的美,恰恰可通过艺术作品得以物化和外化。几千年来,一些抽象的数学概念,始终是艺术创作永不枯竭的美的源泉。正是那种以简洁与形式完美为目标的追求,使数学具有了与艺术相通的特质,从而使数学能为人类艺术发展提供美的源泉。

首先来看建筑,这座桥在剑桥叫做数学桥,也叫牛顿桥(桥不是牛顿造的)。牛顿死后的建筑师造的,为了纪念牛顿,就命名为牛顿桥,但是通常人们叫它数学桥。这座桥的桥拱看上去是圆,但并不是圆,这是所有的横梁在一起给你视觉上的感觉。每一根横梁实际上是一个虚的圆的切线。这是求曲线的最基本微积分问题。据说这座桥当时没有钉子,全是榫,后来人们把它拆了,重新再装,装不上了才用了钉子。(这张图是82年李文林老师在剑桥留学自己照的,李文林老师的朋友们都说这个桥挺美的。)这是从微积分基本的求切线问题来谈数学的美。


牛顿桥

再复杂一点的有微分几何、极小曲面,涉及更复杂的微积分问题。慕尼黑奥林匹克体育场就是一个应用极小曲面的建筑例子。微积分用到建筑上能让人产生一种美感啊!


慕尼黑奥林匹克体育场

音乐最早就和数学有关系。希腊人毕达哥拉斯发现弦的长度只有满足一定的比例,才好听,这叫和弦或者和声。如果比例不搭的话,那它弹出来的声音就不对。傅里叶和贝多芬是同时代的,他也研究音乐。傅里叶分析最早是一种音乐的频谱分析。一根弦振动,发出声音,用一个正弦函数来表达,它的振幅决定音量,频率决定音调,曲线形状决定音色。傅里叶说所有要成为音乐的乐音都是正弦函数的叠加,而且每两个函数之间的频率是成倍数关系的,只有这种情况下你发出来的振动才和谐,否则就不好听。这样就指导人们创造出更多和谐动听的音乐。这是听觉上的美。


和谐的音乐

再回到视觉艺术。在绘画方面,根据特定的微分方程或无穷级数进行艺术加工可得到精美的艺术作品。下面来欣赏三幅图。第一幅图由常微分方程的解形成一个曲面,进行色彩加工,就得到这样一幅画。第二幅画由积分方程得到,第三幅是一个无穷级数经过艺术加工得到的画,像一条华丽精美的手链或项链!中国科学院数学与系统科学研究院的走廊里就挂有这样一些艺术作品。


视觉艺术(三图)

除了微积分之外,通过一些简单的数学也可以得到精美的艺术作品。最简单的就是对称,但对称是古今艺术的重要元素。下图左图为敦煌壁画,是中心对称的图案;右图是一幅现代的作品,荷兰画家埃舍尔的作品,这也是应用了对称,还涉及非欧几何、群论等现代的知识。


荷兰埃舍尔的作品

下面我们来看两幅油画。一幅是中世纪的油画(左图),也有颜色,但是远近分不出来的,看上去跟小孩子画的差不多。但文艺复兴时期的油画(右图)就不一样了,远近分明,立体感十足,为什么呢?这中间发生了什么?数学!数学进入了绘画,具体说来就是透视学。透视学不用说数学的分支,相信在座许多工科学生也要学,而这个数学分支完全是文艺复兴时期应绘画艺术的需要而诞生的。文艺复兴时期的画家们运用透视学创作出一幅又一幅名画。


透视油画的美

黄金分割在绘画中也意义非凡。有一个画家叫蒙特里安,他说,在每一幅油画中都能找到黄金分割。比如,在法国印象派画家休拉(G·Seurat)油画《阿尼爱尔沐浴》(1883年)中的就能找到三个黄金矩形。蒙特里安本人的格子画更是大量运用黄金分割。


黄金分割图画

在现代,数学应用于艺术,给人冲击最大的就是分形几何。分形几何是上世纪八十年代才问世的很年轻的数学分支,它原本是数学家们为描述不规则自然现象(海岸线、气流、洋流、生物群落、……)而创造的数学工具。在计算机上产生出来的千变万化、美妙神奇的分形图案,正在给人们带来高度的现代艺术享受,并且已被看作是一种新的艺术形式。最简单的分形曲线——雪花曲线。这个曲线的特点是,它在一个框框里面积肯定是有限的,但周长是无限的。为什么?它的“拐弯”太多了。它没有导数,但也给你一种美感。它的维度是多少呢?如果将正常的一维、二维的概念进行推广,会发现它的维度是非整数(大概是1.2618),它是一个分数,所以叫分形——分数维的图形


雪花曲线

通过复函数迭代能得到蒙德布罗依集。一个简单的带常数项的二次复函数,对于自变量的每一个值(相当于复平面上一个点),经过函数的作用会得到另一个点,这样可以无限迭代,产生无穷多个点。把这些点看成一个图形,再进行色彩的加工,就能产生复杂的图形。常数不一样,出来的图形也就不一样。蒙德布罗依是美籍法裔数学家,他最早研究分形。分形图形的一个基本特性是自相似,局部和整体相似,无论取多么小的局部。


蒙德布罗依集

最后要指出的是,抽象的数学概念与理论也提供刻画自然美的工具,从而显示了数学内在之美与自然之美的统一。比如,在林业方面。树叶的形状,具有自相似性质,也是一种分形,当然这是近似的说法。还有植物群落,也可以用数学、用分形来研究。


自然界的分形

最后,李文林老师衷心寄语:学好数学,欣赏数学的美,用数学去创造美,将数学运用于各行各业,为人类创造各种美!

好啦,看到最后——静静地来为数学之美赞叹吧!






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 楼主| 发表于 2021-1-28 22:24 | 显示全部楼层
04  讲座提问

问题1:在历史的长河中,很多数学家给我们今天留下了宝贵的知识和精神财富,那么,具体说来,老一辈数学家身上有哪些优秀品质值得我们青年学子学习呢?

这是一个很好的问题!今天的时代特别提倡科学家精神,我首先讲一讲自己对此的体会。

当时,我们还在中科大,华罗庚先生提出 “一条龙教学”,基本理论比如解析几何、代数、分析都弄成一个综合体系,由一个老师牵头主持。1958年入学的由华罗庚先生自己带,第二年入学的由关肇直先生带,两人都是院士。第三年,也就是我们这一届,由吴文俊先生带,他亲自讲微积分,我们上课从未缺席过。


华罗庚亲自编写教材并给本科生授课

从与他们的亲身接触以及后来看他们的材料,我感受最深的一点是他们的奉献精神。这一奉献精神有两个方面。

一是为科学奉献。他们渴望探索科学真理,而科学真理不是凭空来的,是需要刻苦钻研的,甚至必要时牺牲个人。

二是为国家奉献,也就是爱国精神。我体会特别深的一件事是华罗庚回国的时候,他在船上发了一篇声明——《致全体留美学生的公开信》,号召大家回到祖国。“梁园虽好,非久居之乡、归去来兮”,“为了抉择真理,我们应当回去;为了国家民族,我们应当回去,为了为人民服务,我们也应当回去”。


1950年,在回国轮船上。后排左二为华罗庚,左三为程民德。

当时,这件事感动了很多人,这封信至今仍有着强烈的爱国主义感染力。当时确有许多科学家放弃国外的优越条件,纷纷回来参加新中国的建设。吴文俊便是其中之一,他在国外研究的是拓扑学,由于他和其他三位数学家所做的工作,国际上拓扑学的面目焕然一新,人们称他们引起了一场“拓扑地震”。显然当时吴文俊先生是前途无量的,但是他毅然而然地回来了。

对于回国一事,他身边有两种意见,一部分法国的同事和老师劝他别回去,因为新中国刚成立时,世界对中国是有各种看法的,美国对中国实行着封锁政策。另外一种意见来自他的博士后导师嘉当,后者让他回去带出一批学生,发展自己国家的数学事业。后来,有人问吴文俊为什么要回来,他只是简单地回答说:“祖国和人民培育了我,我就应该回来!”华罗庚回来之后,对数学发展有个设想,这个设想后来就变成整个中国数学的蓝图,它的影响不局限于中科院数学所。总的说来,当时他们心中唯一的想法就是把我们的国家建设好。

我们1965年毕业的一帮学生,到2015年,也就是毕业50年之后,组织了一个聚会,吴文俊先生听闻,也来参加了,他坐在轮椅上发表了一个演说。他说;“看到数学院盖了一个新楼。……一看这个新楼,就感到10年变化很大。再过十年,我们祖国会有更大的变化。我们要期待这一天!”那时,吴先生,已是95岁高龄,这也是我听到的吴先生最后一次公开讲演。在生命的最后时刻,吴文俊先生还是念想着国家的强大,这是我体会最深刻的一点。


吴文俊院士

光爱国还不够,作为科技工作者,我们还要有创新精神:勇于创新,善于创新。首先是勇于创新。华罗庚说:“弄斧必到班门。”“班门”就是学术界最高水平,必须向“班门”学习,所以你要想研究某个东西,就要到最先进的地方去闯。

华罗庚自己就是这么做的。我最近刚好在整理华罗庚先生家属捐献的一些材料。华罗庚于1931年调到清华,他只有初中文凭,一直靠自学。1932年,他就开始向世界一流的数学刊物投稿!例如我们看到他向日本数学会杂志投稿的信。华罗庚1936年到英国进修,在这之前,他已给英国最有名的数学家哈代写信投稿。哈代亲笔回信告诉说文章已经转到编辑部去了。后来,编辑部来信说,文章已经被录用,需要做些修改。你想,1931年到清华,一年后就往世界上最有名的杂志投稿,这就是他说的“班门弄斧”。

勇于创新,善于创新,你得有自己的东西。华罗庚先生把代数和多复变结合起来,把矩阵用到多复变研究里面去,别树一帜创立了中国矩阵几何学派。吴文俊先生则是从研究中国古代数学中得到启发,古为今用,同时用现代数学加以改造,最后创立了数学机械化这样一个既有浓郁的中国特色又富有计算机时代气息的新领域。所以,我觉得勇于创新、善于创新也是我们应该从老一辈数学家身上学习的特别重要的一个品质。


华罗庚沉思在数学王国

其他品质,比如求实,怀疑,不迷信权威等,也是很重要的。吴文俊在法国留学时,当时拓扑学有两类示性类——惠特尼示性类和厐特里亚金示性类,恵特尼和厐特里亚金都是名重一时的拓扑学权威。数学家们搞不清楚这两类示性类的关系是什么,然而被当时名不见经传的中国留学生吴文俊给搞清楚了。当时瑞士苏黎世高工的一个有名数学家,霍普夫,还不相信这个成果,就带着学生去找吴文俊质疑,经过吴文俊的解释,最后确认吴文俊是对的。接着便邀请吴文俊去苏黎世高工讲学。吴文俊搞研究也很辛苦,当时在巴黎住的是地下室,条件很艰苦。他没有足够的钱,生活很辛苦,每天跑到街边的一个咖啡馆,要一杯便宜的咖啡,找一个角落的位置埋头研究,常常是半夜才回到住处,有时候干通宵,他这样搞了几个月,把自己最重要的拓扑学工作搞清楚了。

问题2:非数学专业的学生应该如何学习数学?

这个问题同样也问的很好,但是也很难回答。

考大学的时候,我的第一志愿是物理,录取通知书上也是物理,但是报到的时候物理系没有我的名字。当时,我很纳闷,后来才得知是学校做了调整。之后,我在数学系的名单上看到了自己的名字,也许是当时我的数学成绩比物理好吧,但是我还没有产生终身搞数学的想法。

我们的老师——吴文俊先生,第一堂课讲的是戴德金分割,我根本听不懂。当时的我很动摇,想复读重考。但是那个时候,复读代表着你不服从国家分配,所以没办法那就念吧。但是经过了数年,我对数学有更多的了解了,开始感兴趣了。


吴文俊给同学们授课

所以兴趣是可以培养的。首先,需要了解数学,如果一点都不了解数学,感觉都是抽象的公式,那就谈不上热爱。我觉得绝大多数人将来不会当数学家,国家需要的是手里头有数学武器的各行各业的专家,包括计算机、芯片设计研制等。我们的林业里面也要用数学。

我在清华教课的时候,一个计算机的学生来找我,他很彷徨,学的是电子系,但是不感觉自己以后能做多大的贡献或者做得有多么好。在我讲课结束之后,他写了一篇文档给我。他说:“我现在想好了,我要学数学,花一两年的时间把高等数学搞懂搞透。这样一来,我就掌握了一个工具,将来在计算机方面我可以做得比别人更好。”

所以,我觉得一个人首先要了解数学,逐步找到学习数学的感觉。不需要人人都成为数学家,但需要人人掌握数学这个强大的武器,运用到各个领域中去。

来源:数学经纬网

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