三门问题：直觉究竟去了哪里？

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三门问题：直觉究竟去了哪里？

导语：三门问题，也被称为蒙提霍尔问题，是一道著名的概率问题：一个游戏节目中共三扇门，一扇门后有汽车，另两门后只有山羊，你选择了一扇门但不打开，这时主持人会在另两门中打开一个后面是山羊的门，现在你换不换自己刚才选择的门？30年前这一问题被美国一知名杂志刊登后引发了热议，因为直觉告诉我们换不换都是一样的，但答题人选择换。数学爱好者、专业人士纷纷加入讨论，进行了一场旷日持久的论战，还发展出了诸多变种。现在让我们来回顾一下这道经典问题，来看看直觉到底哪出错了，信息又是如何影响结果的。

撰文 | 张和持

问题背景

在美国的一档节目Let's Make a Deal 中，主持人蒙提·霍尔设置了一项小游戏：

在你的面前有三扇门，其中一扇背后藏有一辆价值不菲的汽车；剩下的两扇背后则分别是两头山羊。你现在有机会选择一扇门，选好之后先不要打开，这时主持人会在另外两扇门中，开启一扇山羊门。现在你有两个选择，是应该维持原来的选择，还是转而选择另一扇没有开启的门？


三门问题示意图/图片来源：维基百科

这看起来似乎是一个没有深度的问题。可供选择的两扇门之间没有什么不同。不管选哪个，概率都应当是相同的才对。果真如此吗？

实际上这个问题有很古老的历史，可以追溯到法国数学家伯特兰（Joseph Bertand）的盒子悖论，后来著名的数学科普大师马丁·加德纳（Martin Gardner）也提出过与三门问题相似的囚徒问题。1975年美国统计学家塞尔文（Steve Selvin）根据电视节目改编提出了这一问题，投给了《美国统计学家》，这也是蒙提霍尔问题名称的由来。而真正引发讨论是到了1990年，一位读者向当时美国知名杂志《游行》（Parade）的专栏“交给玛丽莲”提出了关于这一问题的询问。

玛丽莲·莎凡特（Marilyn vos Savant）曾被吉尼斯世界纪录认定为世界上智商最高的人，后来成为这家杂志社的专栏作者专门回答各类问题。她给出的回答是：应该换门，而且换门后，开出汽车的概率将变为原来的两倍。

玛丽莲的吉尼斯记录颇受争议，她给出的这个答案也同样。人们纷纷向她写信，质疑她的结论。一时间，社会各界都在谈论这诡异的概率。来信表示反对的占了92%，其中有将近 人拿过博士学位；65%来自大学，特别是数学等院系的信，都反对她的答案。蒙提·霍尔问题，或称三门问题，一下子成为了关注的焦点。90年代的十年间，40多种学术刊物发表了关于这一问题超过75篇论文。

反对并不是毫无根据。关于问题和答案的表述不甚严谨，表面上看，我们也看不出换不换门究竟有什么决定性的区别。玛丽莲为了说服反对者，专程组织了几次实验，其结果都证实了她的结论。

笔者听说这个问题，是在多年以前看的另一档美国电视节目 MythBusters ，中文译为 流言终结者 。两位主持人演示过的诸多实验令人印象深刻。这一次他们也同样忠实地再现了三扇门和山羊。最终他们的实验结果证实了玛丽莲的答案：不换门，概率  1/3；换门，概率 2/3 。


流言终结者节目

其实我们不一定非得大张旗鼓地搞些花里胡哨的东西，用电脑也能模拟，得出的答案没有不同。


计算机模拟29次的结果/图片来源：维基百科

那么这样看来，玛丽莲的答案是对的了。现在的问题是，我们应该如何解释这样的结果？是我们的直觉究竟出了问题吗？接下来我们并不打算解释谁的观点为什么对，谁的观点又为什么错；我们细细来看问题的前因后果，把所有条件和结论整理清楚。

简单直观的图示解答

最不动脑的方法是把所有可能列出来，如下图所示，当玩家选择1号门的情况下所有的可能性。


玩家最初选择1号门时的所有可能/图片来源：维基百科

但这并不代表我们真正理解了问题所在。为了解答疑惑，我们先一步一步理清思路。首先，三门问题与两扇门二选一究竟有何不同？或者说，我们刚刚开始选定的这扇门究竟产生了什么样的影响？

第一次的选择，的确是随机的。如果这时候把门打开，那么有车的概率就是 1/3 。而剩下的两扇门中，必然有一扇山羊门。所以打开的山羊门不会影响这个 1/3 。那么这样说来，用总的 1 去减 1/3 ，就应该是剩下那扇门开出汽车的概率，2/3 。这样的确说得过去：一开始概率分布是均匀的：


图片来源：维基百科

打开山羊门之后，2/3 的概率被“挤”到另一个门上了：


图片来源：维基百科

回到一开始的疑问：我们一开始的选择对结果产生了什么影响？

用条件概率来直接计算



用贝叶斯公式来追本溯源

虽然问题就解决了，但还是不知道我们最开始错误的直觉来自哪里。我们来思考一下主持人“提供信息”的问题。一切的改变，都是因为主持人提供给我们的信息：主持人很明显是知道门背后都是些什么，才打开山羊门的。那要是主持人根本就不知道汽车在哪里，只是随手选择了一扇门，而这扇门恰好是山羊门的话，主持人岂不是就不能提供任何信息了？



这种由果溯因的思路一般称为贝叶斯推断。这种方法最早的特例是托马斯·贝叶斯证明的，后来拉普拉斯将其推广，并应用于天体力学、医疗统计学等方面面。在面对未知的自然界时，我们无法知晓其背后的法则，但能观察到现象，比如天体力学中，就是可观测天体的大小、数量与过去的轨迹；医疗统计学中，则是患者的症状、化验结果、CT数据等，有了这些数据，我们就可以猜测，是否存在一个我们尚未观测到的天体，或是患者是否得了某种病。猜测自然有可能是错的，现在我们有了贝叶斯推断，就能反过来计算我们所作假设成立的概率。

这一方法近几十年来更多应用于机器学习领域，或者更窄的概念：统计学习。任何包含了模式识别的算法，基本上都能用上贝叶斯推断，包括人脸识别，自动驾驶，他们会用到更加复杂的概念：当事先不存在假设时，就需要人为设定一项先验分布。不过总的来说，思想与最经典的贝叶斯公式一脉相承。如今，以此为基础的统计学仍在飞速发展。

Nicolas2050

几年前写过程序给学生上课演示过