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古希腊演绎数学的起源

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发表于 2020-12-31 10:39 | 显示全部楼层 |阅读模式
古希腊演绎数学的起源

作者 | 刘建新

内容提要:古巴比伦的修辞代数传入古希腊后,希腊人用演绎的方式分析各个命题,并给出正确命题的证明。其中早期的代表人物有泰勒斯和毕达哥拉斯学派。古希腊人的数学思维方式,也渗透进哲学研究中,例如柏拉图的工作。

一、修辞代数

古埃及和古巴比伦人很早就对数学感兴趣,并留下了数学的记录。公元前1700年左右的泥板书中,记录了大量的数学问题。不仅有与商业有关的问题还有抽象的数学计算,例如一元二次方程的求解,或者面积、体积的计算。可以说,巴比伦人的数学超过埃及人,但他们关于面积、体积的计算中,仍然含有大量的错误。这与他们表达数学的方式有关。


图1 泥板书

巴比伦人用文字叙述数学问题,也用文字表述解答过程,这种表达数学的方式称为“修辞代数”。

例如,在巴比伦泥板书BM13901中,有24个类似的数学问题。其中之一是:一个正方形的边长加上面积等于3/4,求它的边长。这相当于求解一元二次方程。但泥板书中,该问题的解答步骤显得晦涩而不易理解:“把1分成两个1/2,用1/2乘以1/2得到1/4,将3/4加上1/4得到1的平方。从1中减去1/2,得到1/2。这就是边长。”

总的来说,巴比伦人的修辞代数有多方面的局限性:1. 只有解题步骤,缺乏正确性的验证;2. 不利于思考;3. 不利于读者阅读,不易传播。这些都导致修辞代数中包含很多的错误内容。

二、从修辞代数到演绎数学

早期希腊数学的原始材料留存下来得很少,最早的只有柏拉图、亚里士多德的著作。其后便是公元之后的作者们对早期希腊数学的描述。从《几何原本》和一些其它作品来看,在公元前300年左右,古希腊人与古巴比伦人的数学就有了显著的差异。古巴比伦人的修辞代数只有解题的步骤。古希腊人擅长用演绎的方法进行证明,其研究对象主要是几何学。

古希腊与古巴比伦之间是否存在过数学交流,证据并不十分充分。但有历史学家认为,巴比伦数学可能在商业活动中传入了古希腊。例如希罗多德(Herodorus)认为,一天的12小时制来自巴比伦。

当巴比伦的修辞代数传入古希腊之后,自然伴随着大量的错误,和很多难以理解的解题步骤。因此,古希腊人需要验证所接受的数学知识的正确性,他们需要搞清结果背后的道理。于是演绎的数学研究方式就产生了。

三、古希腊的泰勒斯

泰勒斯(约公元前624-548年),是希腊早期的重要几何学家。通常认为,有很多几何学命题的证明归功于泰勒斯。


图2 泰勒斯

包括:1. 圆的直径将圆分成全等的两部分;2. 等腰三角形两底角相等;3. 半圆所对的圆周角是直角等。第一条命题很有趣。一种可能的证明是用反证法。假设某条直径两侧圆的部分不全等,沿着直径将圆折叠,则两侧的圆周不重合。但如此一来,必有两条半径不相等。矛盾!

在泰勒斯的时期,数学家们尝试对各种命题提供证明。每个看似显然的命题,都需要用更为清晰的方式加以分析,并提取更为基本的假设。逐渐形成系统的演绎体系。

四、毕达哥拉斯学派

著名的毕达哥拉斯学派是带有宗教色彩的学派,他们信仰数学,信条是:万物皆数。但是,他们理解的数,不是任意实数,而是正整数以及正整数的比值。西方将勾股定理归于该学派,并称该定理为毕达哥拉斯定理。传说,当他们发现勾股定理的证明时,宰了数百头牛来庆祝。


图3 正方形数


图4 三角形数

毕达哥拉斯学派有“形数”的概念,例如正方形数、三角形数等,如上图。历史学家推测,他们可能利用了与形数相关的几何方法,证明了勾股定理。如下图。一个直角三角形的边长分别是 b,b+d 。以斜边为边长的正方形面积等于第1个图中间小正方形面积,加上四个三角形面积,于是等于 d^2+2b(b+d) 。在第三个图中重新拼凑面积 d^2+2b(b+d) ,可以看出它等于小正方形面积 b^2 加上另一直角边长为边长的正方形面积 (b+d)^2 。



图5 勾股定理的证明。

该学派的另一项数学成就是无理数的发现。该学派有人发现,正方形的边长与对角线不可公度。他们的证明方式很可能是几何的。如图6,假设DB与DH可以公度。不妨设,DB与DH都是整数,而且不同时为偶数。由于正方形AGEF的面积是正方形DBHI面积的2倍,所以AG=DH为偶数。所以AGEF是4的倍数,所以DBHI是2的倍数。所以DB也是偶数。矛盾!


图6 根号2无理性的证明

当他们发现是无理数时,他们非常震惊,因为这与他们的信条矛盾。后来欧多克索斯提出比例理论,在一定程度上缓解了人们对无理数的困惑。

修辞代数有很多缺点,很多面积、体积公式都是错误的。古希腊人发展演绎数学的方式研究数学,克服了修辞代数的缺点。泰勒斯、毕达哥拉斯便是早期演绎数学的例子。

五、柏拉图与数学

希腊人逐步建立演绎的数学体系。他们的演绎方法不仅用于研究数学,也成为研究世界的方式,成为哲学家探寻真理的方式。

柏拉图曾多次强调数学的重要性,他的作品中也渗透了演绎数学的思维方式。柏拉图的雅典学园门前写着“不懂几何学者不得入内”,这里蕴含着柏拉图的深思。当时数学和几何学几乎是同义词。雅典学园的学习和研究不限于几何学,更多是哲学与政治学,但在柏拉图看来,几何学的训练使人具有更严谨的思维,同时几何学的直觉帮助人研究哲学与政治学中的真理。


图7 雅典学园

柏拉图在《理想国》中,对世界进行划分。可以感受到的世界一定处于变化之中,称为“可感世界”;而世界不变的部分,一定是理念的一部分,称为“理念世界”,它们永恒不变、神圣。理念世界更为本质,而可感世界不过是理念世界的模仿。数学是理念世界的一部分,数学是通往善的桥梁。柏拉图关于世界、城邦的很多描述,都如同使用了数学模型和演绎数学一般。例如洞穴隐喻、城邦分为三类人等模型,都体现着数学思维。

古希腊人逐渐形成演绎数学。他们从确凿无疑的假设出发,经过严谨的证明,获得关于数学、关于世界的真理,从而真正地掌握事物的本质。

参考文献

J.Gray. Ideas of space: Euclidean, non-Euclidean, and Relativistic[M].(2nd edition). Oxford: Clarendon Press. 1989.
J.Fauvel and J.Gray (eds) (1987). The history of mathematics- a reader [M]. Macmillan, London.
柏拉图. 理想国. 郭斌和, 张竹明 译. 北京: 商务印书馆. 1986.

作者简介

刘建新,科学技术史博士,信阳师范学院教师教育学院数学教师,主要研究方向为19世纪上半叶的微分几何学史与非欧几何学史。

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