所有正整数平方的倒数之和是什么？

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所有正整数平方的倒数之和是什么？

作者 | 大小吴
来源 | 大小吴的数学课堂

1 巴塞尔问题





雅各布·伯努利（1654~1705）




莱昂哈德·欧拉（1707~1783）

2 代数方程



3 一种类比的思路——巧妙的正弦函数



真是天才的想法！欧拉大神创造性地把用在有限多项式的因式乘积形式用在了无限项多项式中，从而解决了巴塞尔问题。

4 欧拉成功的秘诀

其实上述过程的做法有很大风险，很多情况下对于有限项显而易见的处理方法放在无限多项里却完全是错误的（下一期我们会单独讨论这类问题）。但是对数字极其敏锐的欧拉计算出该级数的数值大约为1.645，与他得到的结果几乎完全一样，这更加坚定了欧拉的想法。

而欧拉成功的决定性因素就是敢于大胆地类比，在欧拉以前，别的数学家曾通过从有限差分过渡到无限小的差分，从一个有限项的和过渡到一个无限项的和，从一个有限的乘积过渡到无限乘积。因此欧拉应用了从有限过渡到无限这个法则，从有限次代数方程过渡到无限次方程。正如伟大的天文学家开普勒所言：

我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它应该是最不容忽视的。

参考文献

[1]（美）G·波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,2001.

兼听明偏听暗

从有限到无限的分析，归纳出其中的规律，欧拉确实牛。