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证明题 对于任意质数M≥5,(M^6 -7)/3 +2M^2都能写成两个完全立方数之和。

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发表于 2020-11-30 10:45 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 myyour 于 2020-11-30 11:46 编辑

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证明:
对于任意质数M≥5,(M^6 -7)/3 +2M^2都能写成两个完全立方数之和。
发表于 2020-11-30 14:59 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-30 15:08 编辑

令 a = (M-2)(M+2)/3, b = 2a+3,恒有 (M^6 -7)/3 +2M^2 = a^3+b^3

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谢谢!好深奥,看不懂啊。  发表于 2020-12-1 08:35
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发表于 2020-12-1 08:43 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-11-30 14:59
令 a = (M-2)(M+2)/3, b = 2a+3,恒有 (M^6 -7)/3 +2M^2 = a^3+b^3

这还看不懂啊~,意思是,不管  M 是不是质数,(M^6 -7)/3 +2M^2 其实都是两个立方和 a^3+b^3,只不过当 M 为大于 5 的质数时,M 只能是 6k-1 或 6k+1 的形式,这时 a 和 b 都是整数。

这种题目其实有套路,那就是和质数最多擦点边,并没有多大的关系,如果真是非质数不可的话,就不是一般般的难了。
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发表于 2020-12-1 10:36 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2020-12-1 10:52 编辑

有了2楼的答案,人脑才敢有下面的想法;没有2楼的答案,人脑是不敢有这样的想法的;
\(\frac{M^6-7}{3}+2M^2=\frac{M^6-7+6M^2}{3}=\frac{9M^6+54M^2-63}{3^3}\)
\(=\frac{M^6-12M^4+48M^2-64+8M^6+12M^4+6M^2+1}{3^3}\)
\(=(\frac{M^2-4}{3})^3+(\frac{2M^2+1}{3})^3\)
\(=(\frac{M^2-1}{3}-1)^3+(\frac{2M^2-2}{3}+1)^3\)
\(=(\frac{(M+1)(M-1)}{3}-1)^3+(\frac{2(M+1)(M-1)}{3}+1)^3\)
当 M 是 6k+1 时,(M-1)/3肯定是整数;当 M 是 6k-1 时,(M+1)/3肯定是整数。

点评

解得细致到位,明白了,谢谢老师。  发表于 2020-12-1 15:18
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 楼主| 发表于 2020-12-1 15:16 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2020-12-1 08:43
这还看不懂啊~,意思是,不管  M 是不是质数,(M^6 -7)/3 +2M^2 其实都是两个立方和 a^3+b^3,只不过当 M ...

终于明白了太感谢啦,
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