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楼主: 费尔马1

一道简单的题

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发表于 2020-11-30 08:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2020-11-30 08:42 编辑

这里有篇论文我完全看不懂,看样子似乎是篇综述:https://www.math.mcgill.ca/darmon/pub/Articles/Research/12.Granville/pub12.pdf,

其中给出了一个通解:
让 a、b 互素且 a 不是 3 的倍数而 b 为奇数,A=a^4,B=b^4,C=4A-3B,则
x=C*(16*A*A+408*A*B+9*B*B); y=(144*A*B-C*C); z=a*b*(24*A+18*B);
是不定方程 x^2+y^3=z^4 的一个解。

但我在 #3 楼给出的当 x, y < 100000 时找到 4 组解中,
(433, 143, 42)
(4785, 136, 71)
(6083, 23, 78)
(32507, 1026, 215)

只有第一组才满足上述公式,所以,似乎该论文给出的通解也不是完整解。

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 楼主| 发表于 2020-11-30 12:50 | 显示全部楼层
uk702老师您好:楼上的论述我已阅读,关于给定的一个丢番图方程有无穷多组解,是这样的:仅通解式就有无穷多个,每个通解式又有无穷多组解,所以,对于一个确定的高次不定方程,谁也无法得到全部解的通解式,所得到的所谓通解式只是其中的一类。
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发表于 2020-11-30 15:06 | 显示全部楼层
费尔马1 发表于 2020-11-30 12:50
uk702老师您好:楼上的论述我已阅读,关于给定的一个丢番图方程有无穷多组解,是这样的:仅通解式就有无穷多 ...

受教了!这里头的学问太大了。

换一个我更容易理解的说法,大概是这样,不知这样的说法对不对,有无穷多个的完全平方数 d,使得 d+x^3=y^4 有(非平凡)整数解,但至于对什么样的 d 有解,d 本身并无通式。

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 楼主| 发表于 2020-11-30 20:19 | 显示全部楼层
uk702老师您好:
高次不定方程,只要有正整数解,就有各类通解式的,例如您所说的曹老师的题:
不定方程,x^3+y^3=2z^2
其中个例解:
①x=4,y=4,z=8
②x=18,y=36,z=162
③x=546,y=728,z=16562
…………………………
不定方程,x^3+2y^3=z^2
其中个例解:
①x=3,y=3,z=9
②x=17,y=34,z=289
③x=465,y=620,z=24025
…………………………
因时间关系,通解式就不写了。
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 楼主| 发表于 2020-12-1 04:10 | 显示全部楼层
uk702老师您好:
把曹老师的题,不定方程,x^3+y^3=2z^2再增加点难度:
3x^3+5y^3=2z^2
个例解:
x=16,y=16,z=128
x=636,y=954,z=50562
x=70300,y=154660,z=98841800
………………………………
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 楼主| 发表于 2020-12-1 05:19 | 显示全部楼层
不定方程,x^2019+y^2020=z^2021
答案是,
x=2^4042*(a^2020+b^2020)^4080400*(a^2020-b^2020)^4080398
y=2^4040ab*(a^2020+b^2020)^4078380*(a^2020-b^2020)^4078378
z=2^4038*(a^2020+b^2020)^4076362*(a^2020-b^2020)^4076360
其中,a、b为正整数,a>b。
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