两种终极模型图的再次比较

雷明85639720

两种终极模型图的再次比较
雷  明
（二○二○十一月十八日）

敢峰先生用转型演绎法构造了他的终极图（如图1），反映的是具有双环交叉链且有经过了构形围栏顶点的环形链的构形的情况；我也仿敢峰先生的转型演绎法构造了一个图（如图2），反映的是具有双环交叉链但无经过构形围栏顶点的环形链的构形的情况。

1、我构造的图的命名
虽然以上的图1和图2两个图反映的都是具有双环交叉链的不同的两种情况的构形的情况，都是具有终极性质的图，但也不能把两个图叫同一个名称，所以我把图2叫基本模型。因为在证明四色猜测时用的是“构形”，是非极大的并非具体的图；而在这里的图却是极大的具体的图。为了区别于“构形”，我只好叫它“基本模型”。
由这个基本的模型通过“增顶—加边”或“去顶—加边”的办法，可以得到任何的极大的具体的有双环交叉链的，但无经过构形围栏顶点的环形链的模型。敢峰先生的终极图也同样有这样的性能，所以先生的终极图实际上也是一个基本模型，不过只是反映了另一种具有双环交叉链的构形的情况罢了。
这里我说的“增顶—加边”是在基本模型的面中或边上增加一个顶点并把该顶点与可连结的顶点加边连结；“去顶—加边”是在基本模型中去掉某一个顶点后得到的是一个多边形面，在不产生交叉边的情况下，并把该面中可以连结的对角顶点加边连结。二者得到的图都仍是极大平面图。
2、两个图的构造方法
敢峰先生的构造方法是逆时针转型演绎，在第十六步后半步（或第十七步前半步）得到了BAB型的终极图；我的构造方法也是逆时针转型演绎，在第八步后半步（或第九步前半步）得到了BAB型的基本模型的。敢峰先生构图时走了弯路，所增加的顶点和边全在构图时原有基本双环交叉链之上或以外；而我构图时所走的却是捷径，所增加的顶点和边全都在构图时原有基本双环交叉链以内。
3、两个图中的链的比较
两图中除了都有双环交叉的A—C链和A—D链外，敢峰先生的终极图中还有经过了围栏顶点的环形的A—B链（图1中的加粗圈），该链把双环交叉链的两个末尾顶点C、D（图1中的加大顶点C和D）与链上其他的C、D顶点（图1中的非加大的C、D顶点）分隔在了环形链A—B的两侧。交换了A—B环形链任一侧的C—D链，都可以使双环交叉链断链，图成为无双环交叉链的可约构形（如图3）。而我的基本模型虽有经过围栏顶点的环形的C—D链（图2中的加粗虚线圈），但并没有把双环交叉链的共同起始顶点和交叉顶点（图2中的两个加大圆顶点A）分隔在环形链C—D的两侧。即就是交换了环形的C—D链任一侧的A—B链，图仍会转化为有别的双环交叉链的模型（如图4）。所以我把它归入无经过构形围栏顶点的环形链的构形一类。


4、两个图的解决办法
图1的终极图的解决办法在《3、两个图中的链的比较》中已经说了，用的是断链交换法。图2的基本模型的解决，既不能交换任一条A—B链使双环交叉链断链，也不能交换带有C—D环的C—D链（这样的交换只相当于把图中所有的C色顶点和D色顶点的颜色互换了一下，不起任何作用），那就只能继续进行转型交换了。在再进行逆时针5次转型后，得到了一个只有一条连通链A—D的可约构形（如图5）。如果改用顺时针转型，则只要转型一次，就可以得到只有一条连通链A—C的可约构形了（如图6）


5、两个图的继续同方向转型
敢峰先生的终极图继续逆时针方向转型四次，又会转化成BAB型的图（如图７到图10）。每次转型后的图中都有经过了围栏顶点的环形链A—B，奇数次转型都有经过了两个围栏顶点的环形的A—B链，偶数次转型都有经过了三个围栏顶点的环形的A—B链。四个图都可以用断链交换法进行解决。虽然每一转型所得到的图都是可约的，但这样的转型却是无止境的，永远也不会终止。而总是在以4为周期的，在BAB型—CDC型—ABA型—DCD型—BAB型间进行着无穷的循环。用转型交换的办法是无法解决这类构形的着色问题的。如果改用顺时针方向转型，也有同样的结果，图总也是在BAB型—CDC型—ABA型—DCD型—BAB型间以4次转型为周期的无穷循环着。


我的基本模型继续逆时针方向转型四次也会得到BAB型的图（如图11到图14），但在第五次转型后（正好是要开始第2个周期的时候）得到了只有一条连通链的可约构形（如前面的图5），不会再形成无止境的循环现象。这一现象说明了这种无经过构形围栏顶点的环形链的构形是不会出现循环转型的，一定是会在有限的5次转型之内转化成可约构形的。每次转型后的图中也都含有经过了围栏顶点的环形的A—B链，也都可以用断链法使构形转化成无双环交叉链的可约构形，可以提前结束转型。可以看出，图2和图11到图14共五个图中的任何一个，无论是从那个方向进行转型交换，都一定可以在有限的5次之内解决问题，转型的次数都是不会大于5的。


6、两个图都改用断链交换法
敢峰先生的终极图改用断链交换法时，如前所说，问题可以得到解决，图转化成为无双环交叉链的可约构形。而我的基本模型在改用断链交换法时，一种情况下，图总是BAB型的构形，另一种情况下，图总是在BAB型—ABA型—BAB型间以2次转型为周期的无限循环着（如前面的图4）。
7、敢峰先生终极图中交换C—D环内、外的A—B链
敢峰的终极图中有一条不经过围栏顶点的环形的C—D链，现在看一看交换了该环内、外的A—B链后的结果是什么。
对图1从C—D环外交换A—B得图15，对图1从C—D环内交换A—B得图16。虽然图1中原有的双环交叉链A—C和A—D都断链了，但又新生成了另外的双环交叉链，且交叉顶点（含共同的起始顶点）却由两个增加到三个。与图1中的终极图继续转型两次后得到的图是相同的，都是仍有经过了围栏顶点的A—B环形链和仍有不经过围栏顶点的C—D环形链，只是双环交叉链在A—C、A—D与B—C、B—D之间转化着。再继续这种断链交换时，图也总是在终极图与其两次转型后的图间进行着循环，以至无穷。所以终极图是不能在环形的C—D链内、外进行A—B链的交换的，而只能在经过了围栏顶点的环形的A—B链内、外进行C—D链的交换。

8、研究两个基本模型的意义
由这两个基本模型可以得到任意顶点数的有经过了围栏顶点的环形链的极大图和无经过围栏顶点的构大图。这两个基本模型是可约的，那么由其得到的任意极大图模型也就是可约的。敢峰先生的终极图说明了任何有经过了围栏顶点的环形链的构形都是可约的；我的基本模型则不但说明了任何无经过围栏顶点的环形链的构形也都是可约的，并且也还能说明任何无经过围栏顶点的环形链的构形的最多转型次数是不大于5的。任何无经过围栏顶点的环形链的构形均可以在5次转型之内，转化成只有一条连通链的可约构形，或者转化成有经过了围栏顶点的环形链的可约构形。这对于四色猜测的证明是具有决定性的作用的。
这两个模型还进一步说明了在有经过了围栏顶点的环形链的情况下，是A—B环形链的，一定可以把双环交叉链的两个末尾顶点C、D与其他的C、D顶点分隔在A—B环的两侧的，一定是可以用断链交换法解决问题的；而是C—D环形链的，不但要看其是否经过了围栏顶点，还要看其是否把双环交叉链的交叉顶点（包括两链的共同起始顶点在内）分隔在C—D环形链的两侧，是则可以使用断链法解决问题，不是时则不属于有经过了围栏顶点的环形链的构形，而是属于无经过围栏顶点的环形链的构形，则用转型交换法解决之。不能认为只要有了C—D环形链，就都可以使用断链交换法，而是有条件的。这样我们就把各种颜色冲突问题，在各种情况下的解决办法都得到了。着色时按照条件去执行就行了，任何的极大平面图都一定是可4—着色的。四色猜测是正确的。

雷  明
二○二○年十一月十八日于长安

注：此文已于二○二○年十一月十八日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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